2022年华南理工大学高等数学教学课件2.docx

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1、精品学习资源其次节数列极限一、 整标函数与数列 积分学的基本思想高等数学的主要内容就是 微积分学 ；积分学和微分学原是数学领域两个不同的分支；积分学的起源要早于微分学，它起源于运算 几何形体的长度、面积、体积等等；下面我们用运算面积的情形 明白一下积分学的基本思想；欢迎下载精品学习资源怎样运算抛物线 yx 2 和直线 y0,x1 所围成的平面图形的面欢迎下载精品学习资源积？我们主要分四步处理1化整为零分割把所处理图形剪成许多小片；2近似代替作乘积把每一小片近似看着长方形；3积零为整求和把全部小片的近似面积加起来；4无限趋近取极限当分割越来越细时，查找和式越来越接近的数；如图 5欢迎下载精品学习

2、资源10.148148 ,1330.114583 , 130.093333 , 130.0787037, 130.0680272 ,欢迎下载精品学习资源10.0348639 ,3, 10.0189842 ,3, 10.0137603 ,3, 10.0099333 ,3欢迎下载精品学习资源1112,32 n6n欢迎下载精品学习资源简洁看出，当 n 越来越大时，所求的近似面积会越来越接近1 数3欢迎下载精品学习资源列极限，所以我们所求平面图形的面积为 1 ；3欢迎下载精品学习资源 数列的概念以上我们得到的这一列数就称为数列；下面我们再看几个数列的例子：欢迎下载精品学习资源1 , 1 ,n21 ,

3、1 ,48n,1,2等比数列欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1 ,1 , 1 ,1 , 1 ,1,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ln 1 ,ln 2 ,ln 3 ,ln 4 , ln n ,欢迎下载精品学习资源数列我们通常记作 an ，其中 an 称为通项；如上面所提到的数列可分别记为欢迎下载精品学习资源1132n16n 2n1n,12,ln n欢迎下载精品学习资源其实数列仍是一个以自然数为定义域的函数； 例如对于数列 an 对任意的自然数 n 有唯独的数 an 与之对应；所以数列有时也可以记作 f n ；当把数列看着一个函数时，我们称此函数为整标函数 ；二、极限的定义对于数

4、列 an ，我们称常数 A 是它的极限，是指当 n 越来越大时，对应的 an 越来越接近 A ；这种说法很形象， 但不够精确； 当我们需要严格论证与极限有关的一些问题时， 它的弊端就显露出来； 例如要证明数列极限的唯独性这样一个简洁命题都不太好说；随着问题的深化，我们迫切需要一个精确的量化的数列极限的定义；这个定义最终由德国数学家魏尔斯特拉斯给出；定义 ：假如数列 an 与 A 常数有以下关系，对任意给的正数任欢迎下载精品学习资源意小 ，总存在正数 N ，当 nN 时，不等式anA欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源成立，就称常数 A 是数列an 的极限，或者称数列an 收敛于 A ；记为

5、欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源lim an nA或 anAn欢迎下载精品学习资源注 1 ：定义中的正数 N 是与任意给定的正数有关的，对任意给定的存在相应的 N ；注 2 ：对给定的 对应的正整数 N 不唯独；注 3 ：数列的有限项的变化对其极限没影响；欢迎下载精品学习资源例 1 ：证明：3n 2n3lim2；欢迎下载精品学习资源n2 n12证明：对于任给 任意小的03n 2n32n35n52n2122 2n 212n22n欢迎下载精品学习资源N取5 ，当 n 2N 时，有23nn32n212欢迎下载精品学习资源3n 2n3所以 lim2；n2n12欢迎下载精品学习资源例 2 ：证明

6、：limnn 21n0 ；欢迎下载精品学习资源证明：对于任给 任意小的0欢迎下载精品学习资源n21n011n 21n2n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源取N12，当 nN 时，有n21n0欢迎下载精品学习资源n所以 limn21n0 ；欢迎下载精品学习资源例 3 ：设 0a1 ，证明：lim a n0；n欢迎下载精品学习资源证明：对于任给 任意小的0 无妨设1a n0a n欢迎下载精品学习资源取Nlog a，当 nN 时，有a n0欢迎下载精品学习资源n所以 lim a n0 ；欢迎下载精品学习资源留意：当 0a1 时，函数log ax 是递减函数；欢迎下载精品学习资源三、数列极限的性

7、质欢迎下载精品学习资源性质 1 ：极限的唯独性假如数A , B 是数列 an的极限，就一欢迎下载精品学习资源定有 AB ；欢迎下载精品学习资源证明 ：假设 AB ；无妨设 AB ，取AB ；由于2lim anA，n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以存在正数N1 ，当nN1 时有ABanA2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又由于lim an nB ，因此存在正数N 2 ，当 nN 2 时有欢迎下载精品学习资源ABanB2欢迎下载精品学习资源取NmaxN1 , N 2，当 nN 时有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ABanBanAanBanAAB欢迎下载精品学习资源这是一

8、个冲突，从而证明AB 成立；假如对于数列 an ，存在一正数 M ，对任意的 n 都有anM欢迎下载精品学习资源就称数列an 有界；否就称数列an无界；欢迎下载精品学习资源性质 2 ：收敛数列的有界性 假如数列 an 收敛，那么数列 an欢迎下载精品学习资源肯定有界；证明 ：设lim an nA ，取1 ，就存在正数 N ，当nN 时有欢迎下载精品学习资源anA1即有欢迎下载精品学习资源anAanA1an1A欢迎下载精品学习资源取Mmax a1, a2 , aN, 1an欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就对任意的 n 都有 anM ，即数列an有界；欢迎下载精品学习资源性质 3：极限的

9、保号性 假如数列性质 an 的极限为 A ，且 A0 ，欢迎下载精品学习资源就存在正数 N ，当 nN 时，有an 与 A 同号；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明： 无妨设 A0 ，取A ，由于2lim an nA ，所以存在正数 N ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当nN 时有即有AanA2na0nAaAAA222欢迎下载精品学习资源性质 4 ：假如数列性质 an 的极限为 A ；如存在一正数 N ，当 nN欢迎下载精品学习资源时， an0 ，就 A0 ；如存在一正数 N ，当 nN 时， an0 ，就 A0 ；欢迎下载精品学习资源此命题是性质 3 的逆否命题；摸索题：性质 4 中的“ ,”能否换成“,”；四、数列子列欢迎下载精品学习资源在数列中任意抽取无限项并保持这些项在原数列中的先后次序所得的新数列叫原数列的子数列；定理：收敛数列与子数列之间的关系 数列 an 收敛于 A 的充分必要条件是它的任一子数列都收敛于A ；作业：习题 1 2：2 题 1、2 小题、 4 题、 6 题、 7 题；欢迎下载