2022年最新函数的奇偶性的经典总结.docx

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1、精品文档精品文档一、函数奇偶性的基本概念函数的奇偶性1. 偶函数：一般地,假如对于函数f x 的定义域内任意一个x ,都有 fxfx ,f xf x0 ,那么函数f x 就叫做偶函数；2. 奇 函 数 ： 一 般 地 , 假如对 于 函数 fx 的 定 义 域内 任一 个 x , 都 有 fxfx ,f xf x0 ,那么函数f x 就叫做奇函数；留意： （ 1）判定函数的奇偶性,第一看定义域是否关于原点对称,不关于原点对称是非奇非偶函数,如函数的定义域是关于原点对称的,再判定fxfx之一是否成立；（ 2）在判定fx 与 fx 的关系时,只需验证fxfx0 及 f x =1是否成立刻f x可来

2、确定函数的奇偶性；题型一判定以下函数的奇偶性；f xx1 xf xx2x, （ 2）f xx3x（ 3）f xxx21G xf xfx , xR 45f xx cos x6f xx sin x7f xxx22, 8提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判定（ 1）判定上述函数的奇偶性的方法就是用定义；（ 2）常见的奇函数有：f xx , f xx3 ,f xsin x ,f x1 x（ 3）常见的奇函数有：f xx2 ,f xx , f xcos x（ 4）如 fx 、 gx 都是偶函数 ,那么在f x 与 g x的公共定义域上,f x + g x 为偶函数, fxg x 为偶函数；当

3、g x 0 时,f x为偶函数；g x（ 5）如 fx , gx 都是奇函数,那么在f x 与 g x的公共定义域上,f x + g x是奇函数, f xg x 是奇函数, fxg x 是偶函数,当g x 0 时,f x是偶函数；g x（ 6）常函数 fxc c为常数是偶函数, fx0 既是偶函数又是奇函数；（ 7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商分母不为零 仍为偶函数 ; 奇函数和、差仍为奇函数;奇偶 数个奇函数积、商 分母不为零 为奇 偶函数 ;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（ 8）对于复合函数 F xf g x；如 g x为偶函数 ,fx 为奇（偶）函数,就F x 都为偶函数；

4、如g x 为奇函数,f x 为奇函数 ,就 Fx 为奇函数 ;如 g x为奇函数,fx 为偶函数,就 F x为偶函数 .题型二三次函数奇偶性的判定已知函数f xax3bx2cxd ,证明：（ 1）当 ac0 时,f x是偶函数（ 2）当 bd0 时,f x是奇函数提示： 通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型,如f xax 2bxc ,当 b0 , f x是偶函数；当ac0 , f x是奇函数；题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1 函数fxax2bx3ab 是偶函数,定义域为a1 ,2 a1,就 ab32 设 f xax2bx2 是定义在 1a,2上的偶函数,就f x的值域是10

5、,23 已知f xsin x是奇函数,就 a 的值为1 x1 xa4 已知f xsin x ln xx2a 是偶函数,就 a 的值为 1提示： （ 1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,f xf x, f xf x ；（ 2）由于是填空题,所以仍可以用f 1f 1, f 1f 1 ；（ 3）仍可以用奇偶性的性质,如奇函数乘以奇函数是偶函数,奇函数乘以偶函数是奇函数等；题型四利用函数奇偶性的对称1 以下函数中为偶函数的是（B）A. yx2 sin xyxByx2 cosxC yln xD y2 xx2 以下函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是AA yxexB. yx1 xC. y21 2 x

6、D. y1x243 以下函数中,为偶函数的是（C）A yx1B y1 xC yxD yx4 函数f x1x 的图像关于（C）xA y 轴对称B 直线 yx对称 C 坐标原点对称D 直线 yx 对称5 已知函数f x1) 是 R上的奇函数,且f 14 ,就f 3 =-46 已知函数f x2) 是 R上的偶函数,就f 33 ,就f 7=-3提示： （ 1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,f xf x, f xf x ；(2) 奇函数关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称；(3) 在原点有定义的奇函数必有f 00 ；（ 4）已知函数f xt 是 R 上的奇函数,就f x 关于点t ,0对称；5

7、 已知f xt 是偶函数,就f x 关于直线 xt 对称；题型五奇偶函数中的分段问题1 设 f x为定义在 R上的奇函数, 当 x0 时, f x2x2 xb（ b 为常数） ,就f 1-32 已知 fx 是奇函数,且当x0 时,fxx x2 ,求 x0 时, fx 的表达式；f xx x23 已知函数f x是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f x2 x3x 2 ,就 f 3 =-454 已知 fx 是偶函数,当 x0 时,f xx22 x ,求 f 4245 设偶函数f x 满意f xx24x0 ,就x fx20 = x | x0或x4提示： （ 1）已知奇函数f x ,当 x0 ,

8、fxg x ,就当 x0 时,f xgx ；（ 2）已知偶函数f x ,当 x0 , f xg x ,就当 x0 时,f xgx ；类型六奇函数的特别和性质71 已知函数f x353ax2 ,求 f 2 f 2 的和为 42 已知 f x xbxcxdx6 ,且 f312 ,就 f3 =03 已知f x53xaxbxx2x8 , f 2110 ,2f 2=_-26 44 已知函数f x x21,如 f a,就 f3a3提示： 已知f x满意,f xg xt ,其中g x是奇函数,就有f af a2t ；题型七函数奇偶性的结合性质1 设 f x 、g x 是 R 上的函数,且f x 是奇函数,g

9、 x是偶函数,就结论正确选项A. f xg x 是偶函数B .|f x | gx 是奇函数C . f x| g x |是奇函数D .|f xg x|是奇函数2 设函数f x 和g x 分别是 R上的偶函数和奇函数,就以下结论恒成立的是A f xg x是偶函Bf xg x是奇函数C f xg x | 是偶函数Df xgx | 是奇函数3 设 函 数f x 与g x的 定 义 域 是 xR 且 x1 , f x是 偶 函 数,g x是 奇 函数 , 且f xg x1,求 f x1x和 g x 的解析式 ,f x1x21, g xx；x21提示： （ 1）已知f x是奇函数,就f x是偶函数；（ 2

10、 ）已知h x是 R 上的函数,且f x也是 R 上的偶函数和g x也是 R 上的奇函数,满意h xf xg x ,就有g xhx 2h x,f xh xhx；2题型八函数的奇偶性与单调性1 以下函数中,既是偶函数又在区间0, 上单调递减的是（）A y1 xB ye xCyx21D ylg x2 以下函数中,既是偶函数,又在区间（1,2）内是增函数的为（ A ） ycos 2 x , xR（ B） ylog 2x , xR 且 x0exe x（ C）y, xR（ D ）2yx31, xR3 设 f xxsinx,就f x（ B）A 既是奇函数又是减函数B 既是奇函数又是增函数C 有零点的减函数

11、 D 没有零点的奇函数4 设奇函数f x在 0, 上为增函数,且f 10 ,就不等式f xf x x0 的解集为（ 1,00,1）5 已知偶函数 fx 在 0,单调递减, f20 ,如 fx10 ,就 x 的取值范畴是1,3 .6 已知偶函数f x在区间0, 单调增加,就满意f 2 x1 1x12f 的3取值范畴是,33提示： （ 1）已知f x是奇函数,且在,0 上是增（减）函数,就在0, 上也是增（减）函数；（ 2）已知f x 是偶函数,且在 ,0 上是增（减）函数,就在0, 上也是减（增）函数；（ 3）已知f x 是偶函数,必有f xf xf x ；题型九函数的奇偶性的综合问题1 已知函

12、数 fx ,当 x, yR 时,恒f xyf xf y ,且 x0时, fx0 ,又1f1（ 1）求证： fx 是奇函数； （ 2）求证：2f x在 R 上是减函数； （ 3）求f x 在区间2,6 上的最值；最大值1,最小值 -3；2 设 f x 在R上是偶函数,在区间,0 上递增,且有f 2a2a1f 2a22a3,求 a的取值范畴； 2 , 3练习题一、 判定以下函数的奇偶性（ 1）f xxx21（ 2）f xx21（ 3） fxx111x , x x1,1（ 4）f xx2x2（ 5）f x1, xR （ 5）f x0, x2,2 （ 6）f xeln x7f xx3x8f xsin

13、xtan x（ 9 ）f xx21, 10f xx1 ,11f xexex, 12f xx sin x213f xx2x, 14f xx2 cos x ,15f x2 x , 16f xx lnx1x ,17f xln1| x |121x二、利用函数的奇偶性求参数的值1 如函数 fxm1x22mx3 是偶函数,求 m 的值； 02 如函数f xx3a1) x2bxc4 是奇函数,求 ac 25 的值； 43 函数f xax 3b1 x2x 是奇函数,定义域为b1, a ,就 ab2) 2 的值是 94 如 f x12 x1a 是奇函数,就a125 如函数f xx 2xa 为偶函数,就实数 a

14、0.6 设函数f xxexae x xR 是偶函数,就实数 a -1 7 如函数f x xlog a xx22 xm2a 2 是奇函数,就 a=2.28 如 f x为奇函数 , 就实数 m -2.x9 如函数f xx ln xax2 为偶函数,就 a110 如 fxln e3x1ax 是偶函数,就 a 3.2三、 函数奇偶性定义的应用1 函数 y= y2log 22x 的图像 Ax（ A ）关于原点对称（B）关于直线 yx 对称（ C）关于 y 轴对称（ D）关于直线 yx 对称2 已知函数 fx1x2 , xR就 （B ）A.fxfxB. fx 为偶函数 C.fxfx0D. fx 不是偶函数

15、3 如 fx 是偶函数,就kfx （ k 为常数） AA. 是偶函数B. 不是偶函数C.是常数函数D.无法确定是不是偶函数4 函数 fx =1, x1, x0. 就 fx 为（B ）0A. 偶函数B. 奇函数C.既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数5 已知 fx 为奇函数,就fxx 为（ A） A 奇函数B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数D. 既是奇函数又是偶函数6 已知点 1,3 是偶函数fx 图像上一点,就f1 等（ B ）A.-3B.3C.1D.-17 如点1,3 在奇函数 yfx 的图象上,就2A.0B.-1C.3D.-3f 1 等于（ D）8 已知 yf xx 是

16、奇函数 , 且f 11 . 如g xf x2 , 就 g 1 -1.9 设 f x 是定义在 R上的一个函数,就函数F xf xf x ,在 R 上肯定是（A）A 奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D 非奇非偶函数10 设f x是 R 上的奇函数,且 yf x 的图象关于直线 x1 对称,就2f 1f 2f 3f 4f 5011 已知偶函数f x的图像关于直线 x2 对称,f 33,就f 1 3.12 设函数 fx 对于任意x, yR 都有 fxyfxfy ,求证：fx 是奇函数；13 已知 tR ,函数f x2xt, x g x, x0, 为奇函数,就t-1,g f0, 2-714 已知奇

17、函数f x的,且方程f x0 仅有三个根x1, x2, x3 ,就 x1x2x3 的值 0515 设函数 fx 是 R 上为奇函数,且f x2f xf 2 ,在f 5 的值216 已知偶函数f x2x4 x0 ,求f 2 x4 f x30 的个数 717 已知偶函数f xx24 x6 x0,求f 3 x12 f2 x44 f x480 的个数 9四、 函数奇偶性的性质1 已知f x3 是偶函数,且f 02 ,就 2 f63 的值为 12 已知f xx2 ,就 f 3f 3的值 43 已知f xax3bx4 其中a, b 为常数,如f 22 ,就f 2的值等于 -104 已知f xax2 ,就

18、f 3f 3的值-45 已知f xaxb x2 ,就f ln 3f ln1 的值 -436 已知f xaxb xcsin x3 ,就f ln 3f ln1 的值 637 已知函数 fxln1x2x2 ,就 flg 51flg5（ 4）8 已知函数 fxln19 x23 x1,.就flg 21flg229 已知函数f xax3b sin x4a, bR ,f lglog 2 105 ,就f lglg 2310 设函数f x x12x2sin x 1的最大值为 M ,最小值为 m ,就 Mm =_2 11 已知函数f x 是定义在 R上的奇函数,当 x,0 时,f x2 x3x2 ,就f 211

19、在 R 上的奇函数 fx 和偶函数 g x 满意f xgxa xa x2 a 0, 且 a0 . 如g 2a ,就 f2 = 15412 如函数f x, g x 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满意f xg xex ,就有（ D）Af 2f 3g 0Bg 0f 3f 2C f2g 0f 3D g 0f 2f 313 如函数 fx为 R 上的偶函数, 且当 0x10 时, fxln x ,就fefe2314 函 数f x是 定 义 在 实 数 集 R上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有xf x11xf x ,就f 5 2的值是 015 函 数f x是

20、定 义 在 实 数 集 R上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有xf x11xf x ,就f f 5 2的值是 016 如函数f xxax2bx在1,1 上是奇函数 ,就1f x的解析式为 fxx .x2117 设f x是 R 上的奇函数,且当x0,时, f xx13 x ,就当 x, 0 时f x x13 x _18 已知定义在 R 上的奇函数f x ,当 x0 时,f xx 2| x |1 ,那么 x0 时,f xx2x1.19 函数f xlnx1x23ex ex1在区间1k, k k0 上的最大值为M ,最小值为m ,就 Mm420 奇函数f x的

21、定义域为 R,如f x2 为偶函数,且f 11 ,就f 8f 9（ 1）21 设定义在 R 上的奇函数,满意f xf x2 ,那么f 1f 2f 2022 的值 022 已知函数f x 是 R 上的偶函数,当 x0 ,都有f x2f x,且当 x 0,2 时,f xlog 2 x1) ,就有 f 2022f 2022的值 1五、函数奇偶性和单调性的应用1 已知函数f xk2 x2 k1x3 是偶函数,就f x的递减区间是0,2 设奇函数f x在 0, 上为增函数,且f 10 ,就不等式f xf xx0 的解集为（ 1,00,1）3 已知函数f x3x1 x ,就3f x（ A）是偶函数,且在R

22、 上是增函数（B）是奇函数,且在R上是增函数（ C）是偶函数,且在R 上是减函数（D）是奇函数,且在R上是减函数4 已知奇函数f x在 R 上是增函数 . 如 aflog1) , bflog4.1,cf2 0.8 ,就 a,b,c225的大小关系为5 已知f x是定义在 R 上的偶函数, 且f x4f x2) . 如当 x3,0时, fx6 x ,就 f 919.6 已知偶函数 fx 在 0,单调递减, f20 ,如 fx10 ,就 x 的取值范畴是1,3 .7 已知偶函数f x在区间0, 单调增加,就满意f 2 x1 1x12f 的3取值范畴是,338 如偶函数f x 在, 1 上是增函数,

23、就以下关系式中成立的是（D）Af 3 2f 1f 23B. f 1f 3 23f 2C. f 2f 1f 2D. f 2f 2f 19 设偶函数f x 满意f xx38 x0 ,就 x |f x20 x | x0或x410 已 知 函 数 fx是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 在 区 间,上 单 调 递 减 , 如f3x1f10 ,就 x 的取值范畴是 2 ,311 已知f x是定义在 R上的偶函数,且在区间,0 上单调递增,如实数a 满意f 2|a1|f 2 ,就 a 的取值范畴是（ 1 , 3 ）2212 已 知 定 义 在 R上 的 函 数 fx2 x m1（ m为 实 数

24、 ） 为 偶 函 数 , 记af log0.5 3,bflog2 5 , cf2m,就a, b,c 的大小关系为 cab13 f x 是定义在 R上的偶函数, 在 ,0上是减函数, 且f 20 ,就使得f x0 的 x 的取值范畴是 2,214 已 知 函 数f x是 偶 函 数 , 在 0, 上 单 调 递 减 , 就f 12x 的 单 调 递 增 区 间 是2, 10,115 已知函数f x4 是偶函数,在4, 上单调递减,就f log 2 x4 x5 的单调递减区间为 1,416 已知f x, g x 都是奇函数,假如f x0 的解集是4,10, g x0 的解集为2,5 ,就f xg

25、x0 的解集为 5, 4 4,517 已 知 函 数f x是R 上 的 偶 函 数 , 且 在0,上 是 增 函 数 , 令af sin 2 7, bf cos 57, cf tan 57 ,就a, b,c 的大小, cab18 已知函数f x是 R上的奇函数, 如当 x0, 时,f xlg x4 ,就满意f x0 的解集, 5,05,19 设f x是奇函数,且在0, 内是增函数,又f 30 ,就xf x0 的解集是（x | x3或 0x3 ）20 设 fx 是定义在上 R 的偶函数,且当 x0 时, fx2x . 如对任意的xa, a2 ,不等式 fxaf 2x 恒成立,就实数 a 的取值范

26、畴是a3221 函数 fx是 R 上的偶函数,且在 0, 上单调递增,就以下各式成立的是（B ）A f 2f 0f 1B f 2f 1f 0C f1f 0f 2D f 1f 2f 022 R 上的偶函数f x 满意：对任意的x1, x20, x1x2 ,有f x2 f x10 .就 A.x2x1（ A）f 3f 2f 1Bf 1f 2f 3Cf 2f 1f 3Df 3f 1f 223 设函数 fxln 1xln 1x ,就 fx 是（ A）A奇函数,且在0,1 上是增函数B奇函数,且在0,1 上是减函数C偶函数,且在0,1 上是增函数D偶函数,且在0,1 上是减函数24 已知函数f xln x

27、ln2x ,就A fx 在（ 0,2）单调递增Bf x在（ 0,2）单调递减C y=f x 的图像关于直线 x=1 对称D y=f x 的图像关于点（ 1,0）对称25 函数f x在 , 单调递减, 且为奇函数 如f 11 ,就满意 1f x21 的 x的取值范畴是26 函数fxx0 是奇函数,且当 x0,时是增函数,如f10 ,求不等式 fx10 的解集；227 已知f x是奇函数并且是 R上的单调函数,如函数yf x22f 2 xm 只有一个零点,就函数g xmx4 x x11 的最小值是（ 5 ）28 已知定义在 R上的奇函数f x ,满意f x4f x ,且在区间 0,2 上是增函数 ,如方程f xm m0在 区 间8,8上 有 四个 不 同 的 根x1, x2, x3, x4,就x1x2x3x4 . -829 已知函数f xx34x ,求f x20 的解集0,24,30 已知 R上的奇函数f xx 24 x4b x0 ,求f x23x8x 的解集为六、函数奇偶性综合应用1 已知函数f x是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f x1 xa 22x2a 23a 2 ；如 xR,f x1f x , 就实数 a 的取值范畴为 6 ,6 662 已知函数f xx 2m2 m 3