2022年有限元基础知识归纳.docx

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1、有限元学问点归纳1. 、有限元解的特点、缘由？答：有限元解一般偏小,即位移解下限性缘由：单元原是连续体的一部分,具有无限多个自由度；在假定了单元的位移函数后,自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度,即位移函数对单元的变形进行了约束和限制,使单元的刚度较实际连续体加强了,因此,连续体的整体刚度随之增加,离散后的刚度较实际的刚度K 为大,因此求得的位移近似解总体上将小于精确解；2、形函数收敛准就（写出某种单元的形函数,并争论收敛性）P49(1) 在节点 i 处 N i=1,其它节点 N i=0;(2) 在单元之间,必需使由其定义的未知量连续；(3) 应包含完全一次多项式；(4) 应满意 Ni=

2、1以上条件是使单元满意收敛条件所必需得；可以推证,由满意以上条件的形函数所建单元是完备和谐的单元,所以肯定是收敛的；4、等参元的概念、特点、用时留意什么？（王勖成P131）答：等参元为了将局部坐标中几何外形规章的单元转换成总体（笛卡尔） 坐标中的几何外形扭曲的单元, 以满意对一般外形求解域进行离散化的需要,必需建立一个坐标变换；即：为建立上述的变换,最便利的方法是将上式表示成插值函数的形式,即：其中 m 是用以进行坐标变换的单元节点数,xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值,Ni 称为外形函数,实际上它也是局部坐标表示的插值函数；称前者为母单元,后者为子单元；仍可以看到坐标变

3、换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的；假如坐标变换和函数插值采纳相同的结点,并且采纳相同的插值函数,即m=n, Ni =Ni, 就称这种变换为等参变换；5、单元离散？ P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分,各部分之间用有限个点相连；每个部分称为一个单元, 连接点称为结点； 对于平面问题, 最简洁、 最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元, 单元之间在三角形顶点上相连；这种单元称为常应变三角形单元；常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元；6、数值积分,阶次挑选的基本要求？答：通常是选用高斯积分积分阶次的挑

4、选采纳数值积分代替精确积分时,积分阶数的选取应适当,由于它直接影响运算精度, 运算工作量；挑选时主要从两方面考虑；一是要保证积分的精度,不缺失收敛性；二是要防止引起结构总刚度矩阵的奇特性,导致运算的失败；1 有限元法的基本原理是一种工程物理问题的数值分析方法,依据近似分割和能量极值原理,把求解区域离散为有限个单元的组合,争论每个单元的特性,组装各单元,通过变分原理,把问题化成线性代数方程组求解；分析指导思想：化整为零,裁弯取直,以简驭繁,变难为易单元位移函数应满意什么条件a、 位移模式必需能反映单元的刚体位移b、 位移模式必需能反映单元的常量应变c、 位移模式应尽可能反映位移的连续性,相邻单元

5、间要和谐刚度矩阵具有什么特点A 、刚度矩阵是对称矩阵 B、 每个元素有明确的物理意义C、 刚度矩阵的主对角线上的元素总是正的D 、刚度矩阵是一个稀疏矩阵E、 刚度矩阵是一个奇特阵1. 单元分析（平面桁架单元、平面梁单元、平面3 节点三角形单元、平面4 节点四边形单元、平面8 节点四边形单元）整体平稳方程中约束条件的处理A 、划行划列法：零位移约束条件、非零位移约束条件B、 乘大数法13. 有限元分析的基本步骤（ 1）将结构进行离散化,包括单元划分、结点编号、单元编号、结点坐标运算、位移约束条件确定（ 2）等效结点力的运算（ 3）刚度矩阵的运算（先逐个运算单元刚度,再组装成整体刚度矩阵）（ 4）

6、建立整体平稳方程,引入约束条件,求解结点位移（ 5）应力运算14. 形函数的性质a、形函数 Ni 在结点 i 上的值等于 1,在其他结点上的值等于0 b、在单元中的任一点,三个形函数之和等于1c、在三角形单元边界ij 上一点（ x,y ）,有形函数公式Ni x, y1xxiN j x ,y1 xxixjxix jxiNm x, y0d、形函数 Ni 在单元上的面积积分和边界ij 上的线积分公式为ANi dxdyA3N dl1 ijiij2ij 为 ij 边的长度15. 平面问题中的应力重量应满意哪些条件A 、平稳微分方程、相容方程、应力边界条件、多连体中的位移单值条件B、代入相容方程,不满意相

7、容方程,不是可能的解答C、代入相容方程,不满意相容方程,由此求得的位移重量不存在6、 位移函数的收敛性条件（和谐元、非和谐元）及单元和谐性的判定影响有限元解的误差：1）离散误差 2）位移函数误差.收敛准就：1） 位移函数必需包括常量应变（即线形项）uxx2vyy6 3 节点三角形单元为例证明xyuv35yx2） 位移函数必需包括单元的刚体位移（即单元应变2 ,u6 ,35 为 0 时的位移）（ 即常量项）v10 y40 x（平动和转动） ,3） 位移函数在单元内部必需连续（连续性条件）,由于线性函数,内部连续；4） 位移函数应使得相邻单元间的位移和谐（和谐性条件）,（相邻单元在公共边界上位移值

8、相同）；设公共边界直线方程为y=Ax+B ,代入位移函数可得：边界上位移为u 12xv 45x3 AxB6 AxBu,v 仍为线性函数,即公共边界上位移连续和谐；综上所述,常应变三角形单元的位移函数满意解的收敛性条件,称此单元为和谐单元注：上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三个条件称为必要条件；满意四个条件的位移函数构成的单元称为和谐元；满意前三个条件的单元称为非和谐元；满意前两个条件的单元称为完备元；5、 位移函数的构造方法及基本条件定义：有限单元法的基本原理是分块近似,对每个单元挑选一个简洁的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律,该简洁函数可由单元节点上物理量来表示通常

9、称为插值函数或位移函数2n1. 广义坐标法构造一维单元位移函数：u x01 x1 x. nx简记为T1u x 2nxx. xu 12xv 45x3y3 节点三角形单元的位移函数6y012.ni 为待定系数,也称为广义坐标2. 插值函数法即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和；n一维：u xN1xu1nN2 xu2.u x, y二维：1NiuiNi 可为形函数Ni xui1v x, ynNi vi1.挑选位移函数的一般原就（基本条件）：1） 位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；2） 所选位移函数必需保证有限元的解收敛于真实解；注：为了便于微积分运算,位移函数

10、一般采纳多项式形式,在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解1、 平面应力 /平面应变问题；空间问题/ 轴对称问题；板壳问题；杆梁问题；温度场；线性问题/非线性问题（材料非线性 /几何非线性）等1. ）平面应力问题 ：如等厚度薄板； 弹性体在一个坐标方向的几何尺寸远小于其他两个方向的几何尺寸, 只受平行于板面,且不沿厚度变化的外力（表面力或体积力）；在六个应力重量中,只需要争论剩下的平行于XOY平面的三个应力重量,即x 、y 、xyyx（ z0,zxxz0, zyyz0 ）；一般z0 , z 并不肯定等于零,但可由x 及 y 求得,在分析问题时不必考虑；于是只需要考虑x、 y、x

11、y 三个应变重量即可；2）平面应变问题： 如长厚壁圆筒（受匀称内压或外压）重力坝一纵向 即 Z 向很长,且沿横截面不变的物体,受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力,全部一切应力重量、 应变重量和位移重量都不沿Z 方向变化, 它们都只是 x 和 y 的函数； 此外, 在这一情形下, 由于对称 任一横截面都可以看作对称面,全部各点都只会有x 和 y 方向的位移而不会有Z 方向的位移,即 w = 0 这种问题称为平面位移问题,习惯上常称为平面应变问题；zyzzx0只剩下三个应变分量x、y、 xy ；也只需要考虑x、y、 xy 三个应力重量即可；两种平面问题,几何方程,虚功方程,物理方程相同；

12、弹性矩阵不同；3.空间轴对称问题 即弹性体内任一点的位移、应力与应变只与坐标r、 z 有关,与无关.几何外形关于轴线对称；.作用于其上的载荷关于轴线对称；.约束条件关于轴线对称；轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区分）.轴对称单元为圆环体,单元与单元间为节圆相连接；.节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；.单元边界是一回转面；.应变重量中显现了urr,即应变不是常量；且应变矩阵在r- 0 时,存在奇特点,需特别处理,通常用该单元的形心坐标替代节点坐标；4.力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小许多的平板1180100t11b58薄板 ,且能承担横向或垂直于板面的载荷；如板不是平板而为曲

13、的指一个单元,就称为壳问题； 如作用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷,就称为平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷,就称为板的弯扭问题,常简称板的弯曲问题；.常用的单元有三角形和矩形；为了使相邻单元间同时可传递力和力矩,节点当作刚性节点,即节点处同时有节点力和节点力矩作用；每个节点有三个自由度,即一个扰度和分别绕x, y 轴的转角.薄板矩形 / 三角形单元是非和谐单元（相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不肯定连续）；但实践说明,当单元细分,其解完全能收敛真实解；3、 有限元法的基本思想（二次近似）与有限元分析的基本步骤（5 步）有限元法的基本思想 :.先将求解域离散为有

14、限个单元,单元与单元只在节点相互连接；即原始连续求解域用有限个单元的集合近似代替（第一次近似）.对每个单元挑选一个简洁的场函数近似表示真实场函数在其上的分布规律,该简洁函数可由单元节点上物理量来表示通常称为插值函数或位移函数（其次近似）.基于问题的基本方程,建立单元节点的平稳方程（即单元刚度方程）.借助于矩阵表示,把全部单元的刚度方程组合成整体的刚度方程,这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组,引入边界条件求解该方程组即可；有限元分析的基本步骤:.所争论问题的数学建模.物体离散（ 第一次近似）网格划分 即把结构按肯定规章分割成有限单元边界处理 即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节

15、点载荷要求： 1）离散结构必需与原始结构保形- 单元的几何特性 2）一个单元内的物理特性必需相同单元的物理特性.单元分析（其次近似）.整体分析与求解,整体分析的四个步骤：1、）建立整体刚度矩阵；2、）依据支承条件修改整体刚度矩阵；3、）解方程组,求节点位移（消元法和迭代法）；4、）依据节点位移求出应力；.结果分析及后处理10、形函数特点即插值基函数,反映了单元的位移外形,由节点位移求单元内任意一点的位移1) 形函数 Ni 为 x、y 坐标的函数,与位移函数有相同的阶次；Ni xi , yi 1Ni x j , y j 0Ni xm , ym 02) 形函数 Ni 在 i 节点处的值等于 1,

16、类似N j xi , yi 0Nm xi , yi 0N j xj , y j 1 Nm x j , yj 0N j xm , ym 0 Nm xm , ym 1而在其他节点上的值为0；3) 单元内任一点的三个形函数之和恒等于1；Ni x, yN j x, yNm x,y14) 形函数的值在0 1 间变化；11、单元刚度矩阵的性质及元素的物理意义e1. 对 常 应 变 三 角 形 单 元 ： 单 元 刚 度 阵 的 一 般 格 式 可 表 示 为 KBTDBdxdydz就VeeeFK 它建立了单元的节点力与节点位移之间的关系,是 6*6 矩阵, 其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时

17、引起的节点力,它打算于该单元的外形、大小、方位和弹性常数,而与单元的位置无关,即不随单元或坐标轴的平行移动而转变；2.平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵单元刚阵 K 的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的才能；其元素kij的意义为：当第j 个自由度发生单位位移,而其他自由度的位移为0 时,在第 i 个自由度上所施加的力；如按节点来说明,就刚阵中每个子块 kij表示：当节点 j 处发生单位位移,而其他节点固定时,在节点i 上所施加的力； K 的脚码,标有 “-”的表示水平方向,没有标“-”的表示垂直方向；Kij表示节点 j 在垂直方向产生单位位移时,在节点i 所需要施加的水平节点力的大小

18、单元刚度矩阵的性质：1）对称阵 2）主对角线元素恒为正值3）奇特阵,即 |K|=0 , 4）全部奇数行的对应元素之和为零,全部偶数行的对应元素之和也为零；由此可见,单元刚阵各列元素的总和为零；由对称性可知,各行元素的总和也为零；12、常用单元的特性（如单元内部边界位移/ 应变/ 应力分布,相邻单元边界的和谐性分析）（常应变单元三角形 / 四周体；矩形单元；等参四边形单元；矩形板单元）1.三节点三角形单元 的位移函数为线性函数,就单元的应变重量均为常量,故这类三角形单元称为常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化,应变为常量）应变矩阵 B 反映了单元内任一点的应变与节点位移间的关系.应力矩阵

19、S 反映了单元内任一点的应力与节点位移间的关系.明显,常应变三角形单元的应变矩阵B 为常量矩阵,说明在该单元上的应力和应变为常值；由此可见,在相邻单元的边界处,应变及应力不连续,有突变；u2.矩形单元： 4 节点 8 自由度矩形单元；位移函数v12 x3 y56 x7 y4xy8 xy.该位移函数满意收敛性条件,单元为和谐元；且为等参单元.应变矩阵 B 的元素是 x,y 的函数, 应力也是随 x 或 y 线性变化的； 较常应变单元有更高的运算精度矩形板单元：13、等参单元定义、存在条件及特性定义：矩形单元比三角形有更高的精度,而三角形有较矩形单元更好的边界适应性；实际工程中,往往更期望有单元精

20、度高、边界适应性好的单元；等参单元具有此特点；即以规章外形单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数,进行坐标变换所获得的单元；由于单元几何边界的变换式与规章单元的位移函数有相同的节点参数,故称由此获得的单元为等参单元；借助于等参单元可以对一般任意外形的求解域便利地进行有限元离散；.等参变换：采纳相同的节点数和形函数,将局部坐标下的规章外形单元转换为总体坐标下几何外形扭曲的单元,以满意任意外形离散的要求存在条件及特性：.等参单元为和谐元,满意有限元解收敛的充要条件；.等参单元存在的充要条件是：J0 J 称为 Jacobi 矩阵,由坐标变换式确定,当J的逆存

21、在时,就形函数对 x, y 的导数可求,即应变阵可求；.为了保证能进行等参变换即总体坐标与局部坐标一一对应,通常要求总体坐标系下的单元为凸, 即不能有内角大于或等于或接近180 度情形；.等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时,简洁用很少的单元去靠近曲线边界；.上述等参单元的理论公式可适应三次以上的曲线型等参元,只是阶次提高,单元自由度相应增加, 运算更复杂, 积分更困难,实际中,很少超过3 次曲线型；.上述推导要求： 保持坐标变换中几何模式阶次与描述单元位移函数中形函数的阶次相同；如取坐标变换的几何模式阶次较单元的位移函数的阶次高,就称此单元为超单元,反之,为亚单元；这两类单元的收敛性

22、也可得到满意；15、总体刚度矩阵组装原就及总刚阵特点iiii1） 在整体离散结构变形后,应保证各单元在节点处仍旧和谐地相互连接,即在某一节点处全部单元在该节点上有相同位移,12n2） 整体离散结构各节点应满意平稳条件；即围绕每个节点的全部单元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷Ri ,F eRiie1.对称性；只存贮矩阵的上三角部分,节约近一半的存贮容量；2.稀疏性；矩阵的绝大多数元素都是零,非零元素只占一小部分；节点 5 只与四周的六个节点 2、 3、4、6、8、9用三角形单元相连,它们是5 的相关节点；在矩阵K 中,第 5 行的非零子块只有七个即与相关节点对应的七个子块；3.

23、带形分布规律；矩阵 K 的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内,称为带形矩阵；在半个带形区域中包括对角线元素在内 ,每行具有的元素个数叫做半带宽,用d 表示；半带宽的一般运算公式是：半带宽d = 相邻结点码的最大差值+ 1 * 2利用带形矩阵的特点并利用对称性,可只存贮上半带的元素,叫半带存贮；同一网格中,应当采纳合理的节点编码方式,以便得到最小的半带宽,从而节约存贮容量；e2、 单元刚阵运算在单元刚阵ek中,kij表示 j 节点单位位移,其他节点位移为零时,单元e 在 i 节点引起的节点力；类似,在整体刚阵中,kij表示 j 节点单位位移,其他节点位移为零时,整体结构在i 节点引起的节点

24、力（由于结构已被离散为一系列单元,即全部与i、j 节点相关的单元在i 节点引起的节点力之和） ；如：运算k23时,与节点2 和 3 相关的单元有单元和,当节点3 发生单位位移时,相关单元和同时在节点2引起节点力,将相关单元在节点2 的节点力相加,就得出结构在节点2的节点力kk1k32323233、 总体刚度矩阵组装1.结构中的节点编码称为节点的总码,各个单元的三个节点又按逆时针方向编为i,j,m, 称为节点的局部码；在单元刚度矩阵中,把节点的局部码换成总码,并把其中的子块依据总码次序重新排列；得到扩大的单元刚度方程2.据节点力平稳,各个单元相应节点力叠加=节点载荷：F eRi=1,.6iie3.整理可得整体平稳方程：KR ,其中 K 为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩阵