2022年北京科技大学-学度第1学期高等数学A试题及答案.docx

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1、北京科技高校 2006 - 2007 学年 第 一 学期高等数学试卷 A院系班级学号学习文档 仅供参考试卷卷面成果占课程考核成果70%平常 成果占 30%课程考核成果题号一二三四五六七八九十十一十二小计得分阅卷校对得 分一、填空题每题 3 分，共 15 分自觉1设遵 装| a |1 , | b |3 , 且a 与b 的夹角为, 就 | ab |6守考 订2已知试 线z2xd15y 2x1y，就全微分 d z1规3已知就 内， f dx2 x, 就 fx .2诚 不4.2信2考 得 x2arctan xcos5 xsin7x) dx.， 答试5不定积分绝 不 题作 弊得 分arctan 1 dx

2、 =x二、单项挑选题每题 3 分，共 15 分6 设f xx et20x 21) dt, x0在x0处连续，就 a 的值为【】a, x0A0B1C2D 1 27. 在空间直角坐标系下，z 轴的对称式方程为【】A x10xyC10yz ；B x010zx；D 00yz3；02yz108. 函数f x 在点 a 可导，就limf 2 xf 2 a以下结论正确的选项是【】xaxa A f a B 2 f a C 2 f a fa D 09. 已知函数f x 具有任意阶导数， 且f x f x 2 ， 就当 n 为大于 2 的整数时， f x的 n 阶导数f n x是【】（ A）n.f x n 1B

3、n fx n 1Cf x 2nD n.f x2n ；10. 设f x 的导数是sinx ，就f x 的一个原函数为【】A1+ sin xB1- sin xC1+ cosx D1- cosxx得 分三、8 分 运算 limsinx1sinx得 分x ln1t 2 1dyd 2 y四、8 分设求,2 .2y 2arctgt1t dxdx得 分五、8 分 求不定积分arcsinxdx1x自 觉 遵 装守 考 订试 线规得 分就 内，六、8 分 利用定积分定义运算极限lim 12npppn诚 不np 1信考 得试， 答绝不 题作 弊 p0得 分七、8 分求极限11 cosxlimx0sin xx得 分

4、八、8 分求定积分312x dx得 分九、8 分求极限lim12ecos xt d tx0ln1x 2 自 觉 遵 装守 考 订试 线规就 内，诚 不得 分信十、5 分已知汽车行驶每小时的耗油费用为y 元，它与行驶速度 x 公里 / 小考 得试时的关系为 y， 答12500x3 假设汽车行驶时除耗油费用外的其它费用为每小时100 元，绝问汽车最经济的行驶速度为多少？不 题作弊学习文档 仅供参考得 分十一、5 分如图：已知半径为R 的半球形水池布满了水，求当抽出水所做的功为将水全部抽出所做的功的一半时，水面下降的高度；得 分十二、4 分学习文档 仅供参考设函数f x 在区间 0, 上可导,f 0

5、1 ，且满意等式1 求导数ff x x；f x1xx1 0f t dt02证明: 当 x0 时，成立不等式 e xf x1 .A 卷一填空题1 7北京科技高校 2006 2007 学年度第一学期高等数学试卷 A题答案及评分标准注：此答案及评分标准应于评阅试卷一同存档参 考 答 案2 2x3 1 165 y 2xy2 ln 2x5 y22 x2 xy）dx5 y ln 2 x5 y52 x2xy）dy .5 y4155 x arctan 1x1 ln 12x2 C二挑选题6 A7 B8 C9 A10 Bx三 limsinx1sinx = lim 2cosx1x sinx1x 3分）x +22=l

6、imx1x1分）x+2cossin3=0 2 分22（ x1x）四、 dy dx1tt 2 5 分d 2 ydx212t 12tt 2 3 分五 解法 1：；令 tarcsinx, 就xsin t 2 , dx2sin t costdt原式t cost2sin t costdt3 分2t sintdt2 td cost3 分=2 1x arcsinx2 xC2 分解法 2：原式 =2 arcsinxd1x 3 分2 1x arcsinx2 dx 3 分2 1x arcsinx2xC 2 分六 Inlimni 1pi13 分 =nn1x p dx 4 分0=11 分p1ln sin xx七解：原

7、式lime1 cosx3 分x0考虑极限limln sin xx等价无穷小代换limsin xx13 分x0 1cosxx0x22lim 2sin xx13x0x31原式e3 2 分八解：设原积分I ，就设原积分 I ，就2I21xdx3 x2dx25 分=53 分九解：原式 =2lim21tcosx edt（3分）x 0xelimcos2 xsin x1（ 3分）x 02x（2分）2eL十解： 设汽车行驶了L 公里，就耗时小时x总费为F xL1x 3x2500L 100Lxx2 2500100x，其中 x0 3 分此问题是求函数F x 在区间0 , 上的最小值依据 F xx3125000L1

8、250， 可得驻点 x50 1 分由实际问题考虑，此函数的最小值存在，且驻点是唯独的 就当行驶速度为 50 公里 /小时时总费用最省1 分十一如图：dWgxR2x 2 dxRWg xR 2x2 dxR 4g3 分04当水面下降高度为h 时，hWhg02x R2x dx22h g 2R42h 1 分由上二式可以解得h十二22 R21 分1解： 由题设知 x1 f x x1 f x1f t dt00上式两边对于x 求导得： x1 fx x2 f x ；dux2Ce x设 ufx ，得到u，解之得到f xu；dxx1x1由 f 01 及 f0f 00 ，得到f 01 ，从而 C1即 f xe；2 分xx12证：当 x0 时， fx0 ， 即f x 单调削减，又f 01 ，所以f xf 01 ；1 分 设gxf xe x ， 就 gxf xe xxe xx1x当 x0 时，g x0 ， 即 g x单调增加，因而g xg 00 ， 即有f xe； 综上所述得到当 x0 时 e xf x11 分