2022年期权定价模型2.docx

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1、精品学习资源期权定价模型【学习目标】本章是期权部分的重点内容之一； 本章主要介绍了闻名的Black-Scholes 期权定价模型和由 J. Cox、S. Ross和 M. Rubinstein 三人提出的二叉树模型，并对其经济懂得和应用进行了进一步的讲解； 学习完本章，读者应能把握Black-Scholes 期权定价公式及其基本运用，把握运用二叉树模型为期权进行定价的基本方法；自从期权交易产生以来，特殊是股票期权交易产生以来，学者们 即始终致力于对期权定价问题的探讨；1973 年，美国芝加哥高校教授 Fischer Black 和 Myron Scholes发表期权定价与公司负债 1一文，提出

2、了闻名的 Black-Scholes 期权定价模型，在学术界和实务界引起剧烈的反响， Scholes并由此获得 1997 年的诺贝尔经济学奖；在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其中最闻名的是 1979 年由 J. Cox、S. Ross和 M. Rubinstein 三人提出的二叉树模型；在本章中， 我们将介绍以上这两个期权定价模型， 并对其进行相应的分析和探讨 2；1 Black, F., and Scholes 1973 “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Econom

3、y , 81 May-June, p. 637-6592 从本书难度的设定动身，本章只介绍期权定价模型的基本内容及其懂得，而不具体推导模型，更深化的内容可参见郑振龙 . 金融工程 . 北京: 高等训练出版社 , 2003. 第六章欢迎下载精品学习资源第一节 Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 期权标的资产为一风险资产（ Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为 S；S 遵循几何布朗运动 1，即dSdtdzS其中， dS 为股票价格瞬时变化值，

4、 dt 为极短瞬时的时间变化值，dz 为均值为零，方差为 dt 的无穷小的随机变化值（ dzdt ，称为规范布朗运动， 代表从规范正态分布（即均值为0、规范差为 1.0 的正态分布）中取的一个随机值） ， 为股票价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示） ，就是股票价格的波动率，即证券收益 率在单位时间内的规范差；和 都是已知的；简洁地分析几何布朗运动， 意味着股票价格在短时期内的变动 （即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化， 被称为漂移率，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项， 即 dz，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分；2. 在期权有效期

5、内，标的资产没有现金收益支付；综合1 和 2， 意味着标的资产价格的变动是连续而匀称的，不存在突然的跳动；3. 没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素；综合 2 和 3，意味着投资者的收益仅来源于价格的1 有关股票价格及其衍生证券所遵循的随机过程的具体信息，可参见郑振龙. 金融工程 . 北京: 高等训练出版社, 2003. 115 页-121 页欢迎下载精品学习资源变动，而没有其他影响因素；4. 该标的资产可以被自由地买卖，即答应卖空，且全部证券都是完全可分的；5. 在期权有效期内，无风险利率r 为常数，投资者可以此利率无限制地进行借贷；6. 期权为欧式看涨期权，

6、其执行价格为X ，当前时刻为 t ，到期时刻为 T ；7. 不存在无风险套利机会；二、Black-Scholes 期权定价模型（一） Black-Scholes期权定价公式在上述假设条件的基础上， Black 和 Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的一个微分方程：2ff122frSSrftS2S 2（ 11.1）其中 f 为期权价格，其他参数符号的意义同前；2通过解这个微分方程， Black 和 Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：欢迎下载精品学习资源cSNd 1 Xe r Tt N d（ 11.2）欢迎下载精品学习资源其中，欢迎下载精品学习资源l

7、n S / X rTln S / X rt2/ 2Tt d 1TtTtd12 / 2Tt欢迎下载精品学习资源d 2c 为无收益资产欧式看涨期权价格； N（ x）为规范正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），依据规范正态分欢迎下载精品学习资源布函数特性，我们有N x1N x ；欢迎下载精品学习资源（二） Black-Scholes 期权定价公式的懂得1.期权价格的影响因素第一，让我们将 Black-Scholes 期权定价公式与第十章中分析的期权价格的影响因素联系起来； 在第十章中， 我们已经得知期权价格的影响因素包括： 标的资产市场价格、 执行价格、波动率、无风险利率、到期

8、时间和现金收益；在式（ 11.2）中，除了由于我们假设标的资产无现金收益之外， 其他几个参数都包括在内， 且影响方向与前文分析的一样；2. 风险中性定价原理其次我们要谈到一个对于衍生产品定价特别重要的原理：风险中性定价原理；观看式（ 11.2），以及第十章中的期权价格影响因素分析，我们可以留意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的；即在第一节我们描述标的资产价格所遵循的几何布朗运动时曾经显现过的预期收益率 在期权定价公式中消逝了； 这对于寻求期权定价的人们来说无疑是一个很大的好消息； 由于迄今为止， 人们仍旧没有找到运算证券预期收益率的确定方法；期权价格与 的无关性，明显大欢迎下载精品学习资

9、源大降低了期权定价的难度和不确定性；进一步考虑，受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在期权的价值打算公式中， 公式中显现的变量为标的证券当前市价（ S）、执行价格（ X ）、时间（ t）、证券价格的波动率（）和无风险利率 r ，它们全都是客观变量，独立于主观变量风险收益偏好；既然主观风险偏好对期权价格没有影响，这使得我们可以利用Black-Scholes 期权定价模型所揭示的期权价格的这一特性，作出一个可以大大简化我们工作的简洁假设：在对衍生证券定价时，全部投资者都是风险中性的；在全部投资者都是风险中性的条件下（有时我们称之为进入了一个“风险中性世界”），全部证券的预期收益率都可

10、以等于无风险利率 r，这是由于风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担 风险；同样，在风险中性条件下，全部现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值；这就是风险中性定价原理；应当留意的是，风险中性假定仅仅是一个人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情形，也适用于投资者厌恶风险的全部情形；为了更好地懂得风险中性定价原理，我们可以举一个简洁的例子来说明；假设一种不支付红利股票目前的市价为 10 元，我们知道在 3 个月后，该股票价格要么是 11 元，要么是 9 元；现在我们要找出一份 3 个月期协议价格为 10.5 元的该股票欧式看涨期权的价值；欢迎下载精品学习资源

11、由于欧式期权不会提前执行， 其价值取决于 3 个月后股票的市价；如 3 个月后该股票价格等于 11 元，就该期权价值为 0.5 元；如 3 个月后该股票价格等于 9 元，就该期权价值为 0；为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合； 如 3 个月后该股票价格等于 11元时，该组合价值等于（ 110.5）元；如 3 个月后该股票价格等于9 元时，该组合价值等于 9元；为了使该组合价值处于无风险状态， 我们应挑选适当的值，使 3 个月后该组合的价值不变，这意味着：11 0.5=9=0.25因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25 股标的股

12、票；无论 3 个月后股票价格等于 11 元仍是 9 元，该组合价值都将等于 2.25 元；在没有套利机会情形下，无风险组合只能获得无风险利率；假设现在的无风险年利率等于 10%，就该组合的现值应为：欢迎下载精品学习资源2.25e0.10.252.19元欢迎下载精品学习资源由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25 单位股票多头，而目前股票市场为 10 元，因此：欢迎下载精品学习资源100.25ff0.31元2.19欢迎下载精品学习资源这就是说，该看涨期权的价值应为0.31 元，否就就会存在无风险套利机会；从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票欢迎下载精品学习资源价格上涨到 1

13、1 元的概率和下降到 9 元的概率；但这并不意味着概率可以随心所欲地给定；事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了；例如，在风险中性世界中，无风险利率为 10%，就股票上升的概率 P 可以通过下式来求：欢迎下载精品学习资源10e0.1 0.2511P91P欢迎下载精品学习资源P=62.66%；又如，假如在现实世界中股票的预期收益率为15%，就股票的上欢迎下载精品学习资源升概率可以通过下式来求：10e0.15 0.2511P91P 欢迎下载精品学习资源P=69.11%；可见，投资者厌恶风险程度打算了股票的预期收益率，而股票的 预期收益率打算了股票升跌的概率； 然而， 无论

14、投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何， 该期权的价值都等于0.31 元；3. 对期权定价公式的经济懂得；第一，从 Black-Scholes期权定价模型自身的求解过程来看 1，Nd 2实际上是在风险中性世界中 ST 大于 X 的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，因此， e-rT-t XNd 2是 X 的风险中性期望值的现值， 更朴实地说，可以看成期权可能带来的收入现值；SNd1= e-rT-t ST Nd1是 ST 的风险中性期望值的现值，可以看成期权持有者将来可能支付的价格的现值； 因此整个欧式看涨期权公式就可以被看作期权未1 Black-Scholes 期权定价

15、模型的具体推导过程参见郑振龙. 金融工程 . 北京: 高等训练出版社 , 2003. 115 页-133 页欢迎下载精品学习资源来期望回报的现值；欢迎下载精品学习资源其次，N（d1dfdS，明显反映了标的资产变动一个很小的单位欢迎下载精品学习资源时，期权价格的变化量；或者说，假如要防止标的资产价格变化给期 权价格带来的影响，一个单位的看涨期权多头，就需要单位的标的资产空头加以保值；事实上，我们在第十二章中将看到，N（ d1 是复制交易策略中股票的数量， SN（ d1就是股票的市值 , -e-rT-t XNd 2就是复制交易策略中负债的价值；最终，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产

16、或 无价值看涨期权（ Asset-or-noting call option）多头和现金或无价值看涨期权（ cash-or-nothing option）空头， SNd1是资产或无价值看涨期权的价值， -e-rT-t XNd 2是 X 份现金或无价值看涨期权空头的价值；这是由于， 对于一个资产或无价值看涨期权来说， 假如标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；假如高于执行价格，就该期权支付一个等于资产价格本身的金额，依据前文对 Nd2和 SNd1 的分析，可以得出该期权的价值为 e-rT-t STNd1= SNd1的结论； 同样，对于（规范）现金或无价值看涨期权，假如标的资产价格在到

17、期时低于执行价格，该期权没有价值；假如高于执行价格，就该期权 支付 1 元，由于期权到期时价格超过执行价格的概率为Nd 2，就 1 份现金或无价值看涨期权的现值为 -e-rT-t Nd2；（三） Black-Scholes期权定价公式的拓展1. 无收益资产欧式看跌期权的定价公式Black-Scholes 期权定价模型给出的是无收益资产欧式看涨期权的欢迎下载精品学习资源定价公式， 依据欧式看涨期权和看跌期权之间的平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：欢迎下载精品学习资源pcXer T t SXer T t N d2 SNd1欢迎下载精品学习资源（ 11.3）2. 无收益资产美式期权

18、的定价公式在标的资产无收益情形下，由于 C=c，因此式（11.2）也给出了无收益资产美式看涨期权的价值；由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美式看跌期权的定价仍没有得到一个精确的解读公式，但可以用数值方法以及解读近似方法求出；3. 有收益资产期权的定价公式到现在为止， 我们始终假设期权的标的资产没有现金收益； 那么， 对于有收益资产， 其期权定价公式是什么呢？实际上， 假如收益可以精确地猜测到， 或者说是已知的， 那么有收益资产的欧式期权定价并不复杂；在收益已知情形下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分；当期权到期时，这部

19、分现值将由于标的资产支付现金收益而消逝；因此，我们只 要用 S 表示有风险部分的证券价格；表示风险部分遵循随机过程的波动率 1，就可直接套用公式（ 11.2）和（ 11.3）分别运算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值；1从理论上说 ,风险部分的波动率并不完全等于整个证券价格的的波动率,有风险部分的波动率近似等于整个 证券价格波动率乘以 S/SV ，这里 V 是红利现值； 但在本书中， 为了便利起见， 我们假设两者是相等的；欢迎下载精品学习资源当标的证券已知收益的现值为I 时，我们只要用（ SI ）代替式（ 11.2）和（ 11.3）中的 S 即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格

20、；当标的证券的收益为按连续复利运算的固定收益率q（单位为年）欢迎下载精品学习资源时，我们只要将Se q Tt 代替式（ 11.2）和（ 11.3）中的 S 就可求出支欢迎下载精品学习资源付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格；在各种期权 中，股票指数期权、 外汇期权和期货期权的标的资产可以看作支付连续红利率，因而它们适用于这肯定价公式；具体的内容，我们将在第十三章深化阐述；另外，对于有收益资产的美式期权，由于有提前执行的可能，我 们无法得到精确的解读解， 仍旧需要用数值方法以及解读近似方法求出；三、Black-Scholes 期权定价公式的运算（一）Black-Scholes期权定价模

21、型的参数我们已经知道， Black-Scholes 期权定价模型中的期权价格取决于以下五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利 率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的规范差）；在这些参数当中， 前三个都是很简洁获得的确定数值；但是无风险利率和标的资产价格波动率就需要通过肯定的运算求得估量值；1. 估量无风险利率在发达的金融市场上，很简洁获得对无风险利率的估量值；但是欢迎下载精品学习资源在实际应用的时候仍旧需要留意几个问题； 第一，我们需要挑选正确的利率；一般来说， 在美国人们大多挑选美国国库券利率作为无风险利率的估量值； 由于美国国库券所报出的利率通常为贴现率 （即利息占票

22、面价值的比例） ，因此需要转化为通常的利率，并且用连续复利的方式表达出来，才可以在Black-Scholes 公式中应用；其次，要当心地挑选国库券的到期日； 假如利率期限结构曲线倾斜严峻， 那么不同到期日的收益率很可能相差很大， 我们必需挑选距离期权到期日最近的那个国库券的利率作为无风险利率；我们用一个例子来说明无风险利率的运算；假设一个仍有 84 天到期的国库券，其买入报价为8.83，卖出报价为 8.77；由于短期国库券市场报价为贴现率， 我们可以推算出其中间报价对应的现金价格 （面值为 100 美元）为欢迎下载精品学习资源PTB1008.838.7784236097.947美元欢迎下载精品

23、学习资源进一步应用连续复利利率的运算公式得到相应的利率：欢迎下载精品学习资源r T t100r 0.23100欢迎下载精品学习资源eer0.0902欢迎下载精品学习资源PTB97.947欢迎下载精品学习资源2. 估量标的资产价格的波动率估量标的资产价格的波动率要比估量无风险利率困难得多，也更 为重要；正如第十章所述， 估量标的资产价格波动率有两种方法：历史波动率和隐含波动率；（1） 历史波动率所谓历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中运算出价格收欢迎下载精品学习资源益率， R（或者为）就为连续复利收益率 （估量） 均值， VarR （或者 2 ）就是连续复利收益率（估量）方差，就是相应的（估

24、量）规范差（波动率），即 Black-Scholes 公式运算时所用的参数；在表11-1中，共有 11 天的收盘价信息，因此得到10 个收益率信息；RtPtR1TPt 1 Tln Rtt 1T2VarR1T1 t 1ln RtR表 11-1 历史波动率运算益率的规范差；以股票价格为例，表11-1 列出了运算股票价格波动率的一个简洁说明；很明显，运算波动率的时候，我们运用了统计学 中运算样本均值和规范差的简洁方法； 其中， Rt 为股票价格百分比收天数PtRtln Rtln RtR20100.001101.501.01500.01490.000154298.000.9655-0.03510.00

25、1410396.750.9872-0.01280.0002344100.501.03880.03800.0012645101.001.00500.00500.0000066103.251.02230.02200.0003827105.001.01690.01680.0002058102.750.9786-0.02170.000582欢迎下载精品学习资源9103.001.00240.00240.00000010102.500.9951-0.00490.000053样本均值0.0247 /100.00247总计0.02470.004294样本方差20.004294 / 90.000477样本规范差

26、0.021843在 Black-Scholes 公式所用的参数中，有三个参数与时间有关：到期期限、无风险利率和波动率；值得留意的是，这三个参数的时间单 位必需相同，或者同为天、周，或者同为年；年是常常被用到的时间 单位，因此，我们常常需要将诸如表11-1 中得到的天波动率转化为年波动率；在考虑年波动率时，有一个问题需要加以重视：一年的天 数到底依据日历天数仍是依据交易天数运算；一般认为， 证券价格的波动主要来自交易日；因此，在转换年波动率时，应当依据一年252个交易日进行运算；这样，表11-1 中运算得到的天波动率相应的年欢迎下载精品学习资源波动率为yearday2520.3467 ；欢迎下载

27、精品学习资源在我们的例子中， 我们使用的是 10 天的历史数据；在实际运算时， 这个天数的挑选往往很不简洁；从统计的角度来看，时间越长，数据 越多，获得的精确度一般越高；但是，资产价格收益率的波动率却又 常常随时间而变化， 太长的时间段反而可能降低波动率的精确度； 因此，运算波动率时，要留意选取距离今日较近的时间，一般的体会法 就是设定度量波动率的时期等于期权的到期期限；因此，假如要为9个月的期权定价，可使用 9 个月的历史数据；欢迎下载精品学习资源（2） 隐含波动率从 Black-Scholes 期权定价模型本身来说，公式中的波动率指的是将来的波动率数据， 这使得历史波动率始终存在着较大的缺

28、陷； 为了回避这一缺陷， 一些学者将目光转向隐含波动率的运算； 所谓的隐含波动率，即依据Black-Scholes 期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入， 运算得到的波动率数据； 明显， 这里运算得到的波动率可以看作是市场对将来波动率的预期；当然，由于 Black-Scholes 期权定价公式比较复杂，隐含波动率的运算一般需要通过运算机完成；（二） Black-Scholes 期权定价公式的运算：一个例子为了使读者进一步懂得 Black-Scholes 期权定价模型，我们下面用一个简洁的例子，来说明这一模型的运算过程；例 11.1 假设某种不支付红利股票的市价为50

29、 元，无风险利率为12%，该股票的年波动率为 10%，求该股票协议价格为 50 元、期限1 年的欧式看涨期权和看跌期权价格；在此题中，可以将相关参数表达如下： S 50，X 50， r=0.12, =0.1,T=1,运算过程可分为三步：欢迎下载精品学习资源第一步，先算出d1d1 和d 2 ；0.11d10.111.15ln50 / 500.120.01/ 211.25欢迎下载精品学习资源d2欢迎下载精品学习资源其次步，运算N d1和 Nd2；欢迎下载精品学习资源N d1N 1.250.8944N d 2N 1.150.8749第三步，上述结果及已知条件代入公式（11.2），这样，欧式看涨期权和

30、看跌期权价格分别为：欢迎下载精品学习资源c500.8944500.8749e0.12 15.92美元欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ep5010.87490.12 15010.89440.27美元欢迎下载精品学习资源在本例中，标的资产执行价格和市场价格正好相等，但是看涨期 权的价格却与看跌期权的价格相差悬殊； 其中的缘由在于利率和到期期限对期权价格的影响； 在本例中， 利率高达 12%，到期期限长达一年；在这种情形下，执行价格的现值将大大降低；对于欧式看涨期权 来说，这意味着内在价值的大幅上升；而对欧式看跌期权来说，却意 味着内在价值的大幅降低；因此，在运算了执行价格的现值以后，看 涨

31、期权是实值期权而看跌期权就是一个虚值期权；事实上，由于实际中的市场短期利率通常较低， 期权到期期限一般不超过 9 个月， 因此假如标的资产市场价格与执行价格相等， 同样条件下的看涨期权价格和看跌期权价格一般比较接近；四、Black-Scholes 期权定价公式的精确度实证要求证 Black-Scholes 期权定价公式的精确度，我们可以运用Black-Scholes 期权定价公式运算出期权价格的理论值， 然后与市场上的期权价格进行比较； 假如两者不存在显著的差别， 那么这个定价公式的精度应当是令人中意的；从总的实证争论结果来看， Black-Scholes 期权定价公式存在肯定欢迎下载精品学习

32、资源偏差，但它依旧是迄今为止说明期权价格动态的正确模型之一；与CAPM 说明股票价格差异的才能相比， Black-Scholes 期权定价公式可以较好地说明期权的价格差异； 这也正是 Scholes得以获得 1997 年诺贝尔经济学奖的重要缘由；一般认为，造成用 Black-Scholes 期权定价公式估量的期权价格与市场价格存在差异的缘由主要有以下几个：1. 运算错误；2. 期权市场价格偏离均衡；3. 使用的错误的参数；4. Black-Scholes 期权定价公式建立在众多假定的基础上；五、Black-Scholes 期权定价公式的应用Black-Scholes 期权定价公式除了可以用来估

33、量期权价格， 在其它一些方面也有重要的应用； 主要包括评估组合保险成本、 给可转换债券定价和为认股权证估值；（一）评估组合保险成本证券组合保险是指事先能够确定最大缺失的投资策略；比如在持有相关资产的同时买入看跌期权就是一种组合保险；假设你掌管着价值 1 亿的股票投资组合， 这个股票投资组合于市场组合特别类似；你担忧类似于1987 年 10 月 19 日的股灾会吞噬你的股票组合，这时购买一份看跌期权或许是合理的；明显，期权的执 行价格越低， 组合保险的成本越小， 不过或许我们需要一个准确的评欢迎下载精品学习资源估，市场上可能根本就没有对应的期权，要精确估算成本特别困难， 此时 Black-Sch

34、oles 期权定价公式就特别有用；比如或许10的缺失是可以接受的，那么执行价格就可以设为9000 万，然后再将利率、波动率和保值期限的数据代进公式，就可以合理估算保值成本；（二）给可转换债券定价可转换债券是一种可由债券持有者转换成股票的债券，因此可转换债券相当于一份一般的公司债券和一份看涨期权的组合；即欢迎下载精品学习资源VCBVBVC欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源其中 VCB表示可转换债券的价值，VB 代表从可转换债券中剥离出欢迎下载精品学习资源来的债券的价值， VC 代表从可转换债券中剥离出来的期权的价值；在实际中 VC 的估量是特别复杂的， 由于VC 对利率特别敏锐， 而布莱克

35、_舒尔斯期权定价公式假定无风险利率不变，对VC 明显不适用；其次，从可转换债券中隐含的期权的执行与否会由于股票股利和债券 利息的问题复杂化； 第三，很多可转换债券的转换比例会随时间变化；仍有就是绝大多数可转换债券是可赎回的； 可赎回债券的分解更加复杂；对债券持有者而言，它相当于一份一般的公司债券、一份看 涨期权多头（转换权）和一份看涨期权空头（赎回权）的组合；可赎 回的可转换债券对股票价格变动很敏锐， 而且对利率也特别敏锐； 当利率下降的时候，公司可能会挑选赎回债券；当然，利率上升的时候 债券价值也会上升；（三）为认股权证估值认股权证通常是与债券或优先股一起发行的， 它的持有人拥有在欢迎下载精

36、品学习资源特定时间以特定价格认购肯定数量的一般股， 因此认股权证其实是一份看涨期权， 不过两者之间仍是存在微小的差别，看涨期权执行的时候，发行股票的公司并不会受到影响， 而认股权证的执行将导致公司发行更多的股票，因此，认股权证的执行存在稀释效应，在估值的时 候必需考虑这一点；其次节 二叉树模型Black-Scholes 模型的提出，对期权定价的争论而言，是一个开创性的争论；然而， 由于该模型涉及到比较复杂的数学问题，对大多数人而言较难懂得和操作； 1979 年， J. Cox、S. Ross 和 M. Rubinstein 三人发表期权定价：一种被简化的方法1一文，用一种比较浅显的方法导出了期

37、权定价模型，这一模型被称为“二叉树模型（the Binomial Model ）”或“二叉树模型” ，是期权数值定价方法的一种； 二叉树模型的优点在于其比较简洁直观， 不需要太多的数学学问就可以加以应用；同时，它不仅可以为欧式期权定价，而且可以为美式期 权定价；不仅可以为无收益资产定价，而且可以为有收益资产定价， 应用相当广泛，目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一；一、二叉树模型的基本方法我们从简洁的无收益资产期权的定价开头讲解二叉树模型，之后1 J. Cox, J., Ross, S., and Rubinstein: Option Pricing 1979 “ a Simplifie

38、d Approach , Jou”rnal of Financial Economics, September, p.7欢迎下载精品学习资源再逐步加以扩展；二叉树模型第一把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t ，并假设在每一个时间间隔t 内证券价格只有两种运动的可能： 从开头的S 上升到原先的 u 倍，即到达 Su；下降到原先的 d 倍，即 Sd ；其中，u1 ，d1 ，如图 11.1 所示；价格上升的概率假设为q ，下降的概率假设为1q ；SuqS1-qSd图 11.1t 时间内资产价格的变动欢迎下载精品学习资源相应地，期权价值也会有所不同，分别为fu 和f d ；欢迎下载精品学习资源留意，

39、在较大的时间间隔内，这种二值运动的假设当然不符合实 际，但是当时间间隔特别小的时候，比如在每个瞬时，资产价格只有 这两个运动方向的假设是可以接受的； 因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动；（一）单步二叉树模型运用单步二叉树为期权定价，可以有两种方法：无套利方法和风险中性定价方法；1. 无套利定价法欢迎下载精品学习资源由于期权和标的资产的风险源是相同的，在如图11.1 的单步二叉树中，我们可以构造一个证券组合，包括股资产多头和一个看涨期权空头；假如我们取适当的值，使SufuSdfd就无论资产价格是上升仍是下跌，这个组合的价值都是相等的；欢迎下载精品学习资源

40、也就是说，当fufd时，无论股票价格上升仍是下跌，该组合的欢迎下载精品学习资源SuSd价值都相等；明显，该组合为无风险组合，因此我们可以用无风险利率对 Suf u或Sdf d 贴现来求该组合的现值；在无套利机会的假设下，该组合的收益现值应等于构造该组合的成本，即欢迎下载精品学习资源SfSufue r t欢迎下载精品学习资源将fuf d代入上式就可得到：SuSd欢迎下载精品学习资源r ter tder td欢迎下载精品学习资源fefu1fd（ 11.4）欢迎下载精品学习资源udud2. 风险中性定价法在第一节中我们已经探讨过，期权定价可以在风险中性世界中进行，同样，我们也可以在二叉树模型中应用风

41、险中性定价原理，确定参数 p 、 u 和d ，从而为期权定价；这是二叉树定价的一般方法；在风险中性世界里：（1） 全部可交易证券的期望收益都是无风险利率；（2） 将来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现；在风险中性的条件下，标的证券的预期收益率应等于无风险利率r ，因此如期初的证券价格为 S ，就在很短的时间间隔t 末的证券价欢迎下载精品学习资源格期望值应为Sert ；因此，参数 p 、 u 和d 的值必需满意这个要求，欢迎下载精品学习资源即：欢迎下载精品学习资源Ser tpSu1pSd欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源er tpu1p d欢迎下载精品学习资源11.5二叉树模型也假设证券

42、价格遵循几何布朗运动，那么在一个小时欢迎下载精品学习资源间段 t 内证券价格变化的方差是S2e2 T t e2 T t 1 1；依据方差的定欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源义，变量 Q 的方差等于E Q 22E Q，因此：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源S2e2 T t e2 T t 1pS2u21pS2d 2S2 pu1pd2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源e2 T t e2 T t 1pu 21pd 2pu12p) d11.6欢迎下载精品学习资源式（11.4）和11.5给出了运算 p 、u 和d 的两个条件；第三个条件的设定就可以有所不同，Cox、Ross和 Rubinstein 所用的条件 2是：u1（ 11.7）d从以上三个条件求得，当t 很小时：er tdpud（ 11.8）uet（ 11.9）det（ 11.10）1 遵循几何布朗运动意味着股票价格符合对