2022年南京市届第一次高三学情调研考试.docx

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1、精品学习资源南京市 2021 届高三学情调研考试数学留意事项：1. 本试卷共 4 页，包括填空题第1 题第 14 题、解答题第 15 题第 20 题两部分本试卷总分值为 160 分，考试时间为 120 分钟2. 答题前，请务必将自己的、学校、班级写在答题纸上试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试终止后，交答复题纸参考公式欢迎下载精品学习资源12n 21n欢迎下载精品学习资源样本数据 x1， x2， xn 的方差 s n xi x i 1，其中x nxii 1欢迎下载精品学习资源锥体的体积公式：V 1Sh，其中 S为锥体的底面积， h 为锥体的高3一、填空题 本大题共 14 小题，每题

2、5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上1已知集合 A 1， 0，1 ，2， B x| x2 1 0，就 A B 2. 已知复数 z 满意： z1 i 24i，其中 i 为虚数单位，就复数z 的模为 3. 某射击选手连续射击5 枪命中的环数分别为： ， ，就这组数据的方差为 4从 2 个红球， 2 个黄球， 1 个白球中随机取出两个球，就两球颜色不同的概率是 5已知向量 a1， 2，b m， 4，且 a 2a b，就实数 m 的值为 6如图，它是一个算法的流程图，最终输出的k 值为 开头k1y3S0欢迎下载精品学习资源S20N输出 k终止kk 1S S 2k Y

3、1O 33x第 7 题图欢迎下载精品学习资源第 6 题图7如图，它是函数 f x Asinx A0， 0，0 ，2 图象的一部分， 就 f 0的值为 欢迎下载精品学习资源x2y2欢迎下载精品学习资源8. 已知双曲线 a2 b2 1 a 0， b 0的一条渐近线的方程为2x y 0 ，就该双曲线的离心率为欢迎下载精品学习资源9. 直三棱柱 ABC A1B1C1 的各条棱长均为 2，E 为棱 CC1 的中点，就三棱锥A1 B1C1E 的体积为 10. 对于直线 l，m，平面 ，m，就“l m”是“ l ”成立的 条件在“充分不必要” 、“必要不充分” 、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个31

4、1. 已知函数 f x1x3 x2 2ax 1，假设函数 fx在1，2上有极值，就实数 a 的取值范畴为 欢迎下载精品学习资源12. 已知平行四边形 ABCD中，AD 2， BAD60假设 E 为 DC 中点，且 AE BD 1，就 BD BE欢迎下载精品学习资源的值为 13. 已知等比数列 an的公比 q1，其前 n 项和为 Sn假设 S4 2S2 1，就 S6 的最小值为 14. 在平面直角坐标系xOy 中， A， B 为 x 轴正半轴上的两个动点，P异于原点 O为 y 轴上的一个定点假设以 AB 为直径的圆与圆 x2y 22 1 相外切，且 APB 的大小恒为定值，就线段OP 的长为 二

5、、解答题 本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内15. 本小题总分值 14 分在 ABC中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 acosB bcosA b1求 a的值；2假设 sinA1sinC 欢迎下载精品学习资源 3，求4) 的值欢迎下载精品学习资源16本小题总分值14 分如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD为平行四边形，E 为侧棱PA的中点1求证： PC / 平面 BDE；C B2假设 PCPA， PD AD，求证：平面BDE平面 PABD AEP第 16 题图17. 本小题总分值 14 分某

6、市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段注：一个标段是指肯定长度的机动车道的基础上，新建 x 个标段和 n 个道路交叉口， 其中 n 与 x 满意 n ax 5已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍1写出新建道路交叉口的总造价y万元与 x 的函数关系式；2设 P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比假设新建的标段数是原有标段数1的 20%，且 k3问： P 能否大于 20，说明理由欢迎下载精品学习资源18. 本小题总分值 16 分x2y22欢迎下载精品学习资源已知椭圆a2 b 2 1ab 0的离心率 e 2 ，一条准线方程为x = 2 过

7、椭圆的上顶点A 作一条与欢迎下载精品学习资源x 轴、 y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P， P 关于 x 轴的对称点为Q1求椭圆的方程；2假设直线 AP， AQ 与 x 轴交点的横坐标分别为m， n，求证： mn 为常数，并求出此常数yAQOxP第 18 题图19. 本小题总分值 16 分已知函数 fx ex， gx x b， b R1假设函数 f x的图象与函数gx的图象相切，求 b 的值；2设 Txfx agx， aR，求函数 Tx的单调增区间；3设 hx| gx| fx， b 1假设存在 x1， x2 0 ， 1，使 | hx1 hx2| 1 成立，求 b 的取值范畴欢迎下载精品学习资

8、源20. 本小题总分值 16 分已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 2a5 a3 13， S4 161求数列 an的前 n 项和 Sn ；欢迎下载精品学习资源n2设 Tn 1iai，假设对一切正整数n，不等式 Tn an1 1n 1an 2n 1 恒成立，求实欢迎下载精品学习资源i=1数 的取值范畴；3是否存在正整数m，nn m 2，使得 S2， Sm S2， Sn Sm 成等比数列？假设存在，求出全部的 m， n；假设不存在，说明理由南京市 2021 届高三学情调研考试数学附加题9留意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用2. 本试卷共 40 分，考试时间30 分钟3. 答题前，

9、考生务必将自己的、 学校写在答题纸上 试题的答案写在答 题纸上对应题目的答案空格内考试终止后，交答复题纸21. 【选做题】 在 A、B、C、D 四小题中只要选做2 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修 41：几何证明选讲在圆 O 中， AB， CD 是相互平行的两条弦，直线AE 与圆 O 相切于点 A，且与 CD 的延长线交于点 E，求证： AD2AB EDABOED学习文档 仅供参考C欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源B. 选修 4 2：矩阵与变换已知点 P3， 1在矩阵 Aa2b 1变换下得到点 P5， 1试求矩阵

10、 A 和它的逆矩阵 A 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C. 选修 4 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程为x=m+2cos ， y=2sin 为参数， m 为常数以原点 O欢迎下载精品学习资源4=2假设直为极点， 以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 cos 线 l 与圆 C 有两个公共点，求实数m 的取值范畴D. 选修 4 5：不等式选讲设实数 x， y， z 满意 x 5y z 9，求 x2 y2 z2的最小值【必做题】 第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题纸指定区域内 作答解答应写出文字

11、说明、证明过程或演算步骤欢迎下载精品学习资源22. 本小题总分值 10 分假定某射手射击一次命中目标的概率为23现有 4 发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，欢迎下载精品学习资源否就就始终独立地射击到子弹用完设耗用子弹数为X，求：1X 的概率分布；2数学期望 EX欢迎下载精品学习资源23本小题总分值 10 分如图，已知正方形ABCD和矩形 ACEF中， AB2， CE 1， CE平面 ABCD1求异面直线DF 与 BE 所成角的余弦值；2求二面角 A DF B 的大小EFCBDA第 23 题图南京市 2021 届高三学情调研考试数学参考答案及评分标准2021.09说明：1. 本解答给出的解

12、法供参考假如考生的解法与本解答不同，可依据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细就2. 对运算题，当考生的解答在某一步显现错误时，假如后续部分的解答未转变该题的内容和难度， 可视影响的程度打算给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；假如后续部分的解答有较严峻的错误，就不再给分3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4. 只给整数分数，填空题不给中间分数欢迎下载精品学习资源一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分51 221034 45 2欢迎下载精品学习资源6 5733228593310必要不充分欢迎下载精品学习资源11 ， 412 3132

13、331432欢迎下载精品学习资源二、解答题：本大题共6 小题，共 90 分15. 解：1由 acosB bcosA，得 sinAcosB sinBcosA，3 分即 sinA B 0由于 A， B 0，所以 A B ， ，所以 A B 0，b所以 ab，即a 16 分欢迎下载精品学习资源12由于 sinA 3，且 A 为锐角，所以cosA223 8 分欢迎下载精品学习资源42所以 sinC sin 2A sin2A 2sinAcosA 9， 10 分9cosCcos 2A cos2A 1 2sin2A 712 分 8 72欢迎下载精品学习资源4所以 sinC 4 sinCcos cosCsin

14、 41814 分欢迎下载精品学习资源16. 证明 ：1连结 AC，交 BD 于 O，连结 OE由于 ABCD是平行四边形，所以 OA OC 2 分由于 E 为侧棱 PA的中点，所以 OE PC 4 分由于 PC/ 平面 BDE， OE 平面 BDE，所以 PC / 平面 BDE 6 分2由于 E 为 PA 中点， PDAD，所以 PA DE 8 分由于 PC PA， OE PC，所以 PA OE由于 OE 平面 BDE， DE 平面 BDE， OE DE E，CB所以 PA平面 BDE12 分O由于 PA 平面 PAB，所以平面 BDE平面 PAB14 分DAEP17解：1依题意得 y mkn

15、 mkax 5，x N* 4 分2方法一依题意 x a6 分欢迎下载精品学习资源mx所以 P y x kax5a ka2 5aka2 258 分欢迎下载精品学习资源a1111欢迎下载精品学习资源 3a2 253a25 a 3 2a25 30 20 13 分a 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1答： P 不行能大于 2014 分欢迎下载精品学习资源方法二依题意 x a6 分欢迎下载精品学习资源所以 Pmx xaa8 分欢迎下载精品学习资源ykax5ka2 5ka2 25欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1假设 P20，得 ka2 20a 25k 010 分欢迎下载精品学习资源由于

16、k 3，所以 1004 k2 0，不等式 ka2 20a25k 0 无解13 分1欢迎下载精品学习资源答： P 不行能大于2014 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ca18. 解： 由于 2a22 ， c= 2，欢迎下载精品学习资源所以 a 2， c 1，所以 ba2 c2x2欢迎下载精品学习资源故椭圆的方程为 y214 分2欢迎下载精品学习资源解法一设 P 点坐标为 x1， y1，就 Q 点坐标为 x1， y1欢迎下载精品学习资源y1 1由于 kAP x1 0y1 1，所以直线 AP 的方程为 yx1y1 1xx 11欢迎下载精品学习资源令 y = 0，解得 m x1.8 分欢迎下

17、载精品学习资源y1 1 y1 1y1 1y1 1欢迎下载精品学习资源由于 kAQx1 0x1，所以直线 AQ 的方程为 yx1x 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1令 y 0，解得 ny1112 分欢迎下载精品学习资源x1 x1x12欢迎下载精品学习资源所以 mn y1 1y1 12 14 分1 y1欢迎下载精品学习资源又由于 x， y 在椭圆x2+ y2 = 1 上，所以22xx1 + y2= 1，即 1 y2 =1 ，欢迎下载精品学习资源1122x12112欢迎下载精品学习资源所以 12 2，即 mn 2y1欢迎下载精品学习资源所以 mn 为常数， 且常数为 216 分解法二

18、设直线 AP 的斜率为 kk0，就 AP 的方程为 y = kx +1，1令 y = 0，得 m k6 分2y = kx + 1，欢迎下载精品学习资源联立方程组x + y2 1， 2欢迎下载精品学习资源消去 y，得 1 2k2x2 4kx0 ，解得 x4k0， x =， 8 分欢迎下载精品学习资源12k 2所以 yP kxP 112k 2，4kA1 2k2P1 + 2k2欢迎下载精品学习资源就 Q 点的坐标为 1 + 2k2， 1 2k2 10 分1 2k2 1 2k2 111欢迎下载精品学习资源所以 kAQ4k1 + 2k2 2k，故直线 AQ 的方程为 y 2kx1欢迎下载精品学习资源令

19、y 0，得 n 2k，14 分所以 mn k 2k 2所以 mn 为常数，常数为 2 16 分19. 解： 1 设切点为 t，et ，由于函数 fx的图象与函数 gx的图象相切， 所以 et 1，且 et tb，解得 b 1 2 分2 Tx ex axb， Txex a当 a0 时， Tx 0 恒成立 4 分当 a 0 时，由 Tx 0，得 x ln a 6 分所以，当 a 0 时，函数 Tx的单调增区间为 ， ；当 a 0 时，函数 Tx的单调增区间为 ln a， 8 分xb ex， x b，欢迎下载精品学习资源3 hx | gx| fx x b ex， x b.欢迎下载精品学习资源当 xb

20、 时， hx x b 1 ex0，所以 hx在b， 上为增函数；当 xb 时， hx x b 1 ex，由于 b1 x b 时， h x x b 1 ex 0，所以 hx在 b 1，b上是减函数；由于 x b 1 时， h x x b 1 ex 0，所以 hx在， b 1上是增函数10 分 当 b 0 时， hx在0，1上为增函数所以 hxmax h1 1 be， hxmin h0 b由 hxmax hxmin 1，得 b 1，所以 b 012 分e当 0b e 1时，由于 b x 1 时， hx x b1 ex 0，所以 hx在b， 1上是增函数， 由于 0 x b 时， hx xb 1 e

21、x 0，所以 hx在0， b上是减函数所以 hxmax h11 be，hxmin hb0e由 hx maxh x min 1，得 be 1欢迎下载精品学习资源e由于 0 be 1，所以 0 b e 1e14 分欢迎下载精品学习资源当 e b1 时，e 1同理可得， hx在 0， b上是减函数，在 b， 1上是增函数 所以 hxmax h0b， hxmin hb0由于 b 1，所以 hxmax hxmin 1 不成立综上， b 的取值范畴为 ，e 1e16 分20. 解： 1设数列 an的公差为 d 由于 2a5 a3 13， S4 16，2a1 4d a1 2d 13，解得 a欢迎下载精品学习

22、资源所以 4 a1 6d 161 1， d 2，2 分欢迎下载精品学习资源所以 an 2n 1， Sn n24 分2当 n 为偶数时，设 n 2k，k N* ，就 T2ka2 a1 a4 a3 a2k a2k 1 2k 5 分欢迎下载精品学习资源代入不等式 Tn an 1 1n1an 2n4k1 ，得 2k 4k，从而 2k欢迎下载精品学习资源设 fk4k，就 fk 1 fk4k14k4k3k 1 欢迎下载精品学习资源2k2k+12k2kk 1由于 k N* ，所以 fk 1 fk0，所以 fk是递增的，所以 fkmin 2，所以 27 分当 n 为奇数时，设n 2k 1， k N* ，就 T

23、2k 1 T2k 12ka2k 2k 4k1 1 2k 8 分欢迎下载精品学习资源代入不等式 Tn 1n 1k，欢迎下载精品学习资源n an 1 1从而 4kan 2，得 1 2k 2k 14欢迎下载精品学习资源由于 k N* ，所以 4k 的最大值为 4，所以 4综上， 的取值范畴为 4 210 分3假设存在正整数 m， nn m 2，使得 S2， Sm S2， Sn Sm 成等比数列， 就Sm S22 S2 Sn Sm，即 m2 424n2 m 2，所以 4n2 m 2 22 12，即 4n 2m2 22 12， 12 分即2nm 2 22nm 2 2 12 14 分由于 nm 2，所以

24、n 4， m3，所以 2n m 2 215由于 2nm 2 2 是整数，所以等式 2n m2 22nm 2 212 不成立，欢迎下载精品学习资源故不存在正整数 m， nnm2，使得 S2， Sm S2， Sn Sm 成等比数列 16 分欢迎下载精品学习资源南京市 2021 届高三学情调研考试数学附加题参考答案及评分标准2021.0921. 【选做题】 在 A、 B、C、D 四小题中只能选做2 题，每题 10 分，共 20 分A. 选修 41：几何证明选讲证明： 连接 BD，由于直线 AE 与圆 O 相切，所以 EAD ABD4 分又由于 AB CD， 所以 BAD ADE，所以 EAD DBA

25、8 分欢迎下载精品学习资源从而EDAD，所以 AD DABA2AB ED 10 分欢迎下载精品学习资源B. 选修 4 2：矩阵与变换欢迎下载精品学习资源解： 依题意得a2b 133a 213b15 1 ， 2 分欢迎下载精品学习资源3a 25，所以 3b 1 1， 解得12a 1， b 0欢迎下载精品学习资源所以 A6 分0 112欢迎下载精品学习资源由于 det A0 1 1 1 0 2 1，8 分欢迎下载精品学习资源所以 A 1 120 110 分欢迎下载精品学习资源C. 选修 4 4：坐标系与参数方程解： 圆 C 的一般方程为 x m2y242 分欢迎下载精品学习资源直线 l 的极坐标方

26、程化为22 cos22 sin2，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2即 2 x22 y2，化简得 xy 2 04 分欢迎下载精品学习资源由于圆 C 的圆心为 Cm ， 0，半径为 2，圆心 C 到直线 l 的距离 d| m 2 | ，2所以 d | m2 | 2，82分解得 2 22 m 2 2210分D. 选修 4 5：不等式选讲解： 由柯西不等式得 x2 y2 z21 2 52 12 1x 5 y 1 z2 6 分由于 x 5y z 9，所以 x2 y2 z2 3，8 分欢迎下载精品学习资源当且仅当 x1， y 353， z13时取等号欢迎下载精品学习资源所以 x2 y2 z2的最

27、小值为 310 分【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分欢迎下载精品学习资源22. 解：耗用子弹数 X 的全部可能取值为1， 2， 3， 42当 X 1 时，表示射击一次，命中目标，就PX 13；2当 X 2 时，表示射击两次，第一次未中，其次次射中目标，就PX 2 1 3分229 ； 23欢迎下载精品学习资源22当 X 3 时，表示射击三次，第一次、其次次均未击中，第三次击中，就PX 31 31 3232 27；4分当 X 4 时，表示射击四次，前三次均未击中，第四次击中或四次均未击中，2222222213333327就 PX 4 1 3 1 3 13 1 1 1

28、 1 X 的概率分布为X1234欢迎下载精品学习资源P22392222271401276 分欢迎下载精品学习资源2EX 1 3 2 9 327+4 27 2710 分欢迎下载精品学习资源23. 解：以， CB， CE CD为正交基底，建立如图空间直角坐标系C xyz，欢迎下载精品学习资源就 D2， 0， 0， F2， 2，1， E0， 0， 1，B0， 2 ，0， C0， 0， 0， 所以 DF 0，2，1， BE 0， 2， 1， 2 分从而 cos1 14 分z333E1欢迎下载精品学习资源所以直线 DF 与 BE 所成角的余弦值为5 分3F欢迎下载精品学习资源CDy2平面 ADF 的法向量为 m 2， 0， 0. 6 分CB设面 BDF的法向量为 n = x，y，z又 2， 0， 1BFDAx欢迎下载精品学习资源DF由 n 0， n BF 0，得2y z 0，2x z0，取 x1，就 y 1，z 2，所以 n = 1，1， 2，8 分21欢迎下载精品学习资源所以 cos422欢迎下载精品学习资源又由于 0， ，所以 3 欢迎下载精品学习资源所以二面角 A DF B 的大小为 10 分3欢迎下载