2022年最新高二-数学-《圆锥曲线方程》知识点总结讲解学习 .docx

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1、学习资料椭圆双曲线抛物线精品文档1. 到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a2a|F1F2|的点的轨迹定义2. 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹 .（ 0e1 ）1. 到两定点 F1,F2 的距离之差的肯定值为定值 2a02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 .标准方方程22xy1 ab 022xy1 a0,b0y2=2pxa 2b 2a 2b 2参数程方程x a cosy bsinx a secy b tanx2 pt 2t 为参数 参数 为离心角）参数 为离心角）y2 pt范畴axa, by b|x|a, yRx 0中心原点 O（0, 0）原点 O（0, 0）顶点a,

2、0, a,0,0,b , 0, ba,0, a,00,0对称轴x 轴, y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bx 轴,y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b.x 轴焦点F1c,0, F 2 c,0F1c,0, F 2 c,0pF ,02焦距2c（c=a 2b2）2c（c=a 2b2 ）离心率准线渐近线ce0aa 2x=ce1cee1 aa 2x=cbe=1xp2y=xa焦半径raex左加又右减rexarxp 2通径焦参数2b2aa2c2b 22paa 2Pc圆锥曲线 概念、方法、题型、及应试技巧总结2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：2（

3、1 ） 椭 圆：焦点 在 x 轴上 时 xa 2y1 （ ab2b 20 ） ,焦点在y 轴 上时 y2a 2x 22 1b（ ab0 ）；方程 Ax 2By 2C 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0,且 A ,B ,C 同号, A B）；22xy11如（ 1）已知方程1表示椭圆, 就 k 的取值范畴为 （答： 3, U , 2 ）；3k2k22（2）如x, yR ,且 3x22 y26 ,就 xy的最大值是 ,x2y2 的最小值是 （ 答： 5, 2 ）2（ 2） 双曲线 ：焦点在 x 轴上： xa 222y=1 ,焦点在 y 轴上： y b2a 22x 1（ a b 20,b0 ）；方

4、程 Ax2By 2C 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0,且 A , B 异号）；如设中心在坐标原点O,焦点F1 、 F 2 在坐标轴上, 离心率 e2 的双曲线 C 过点P4,10 ,就 C 的方程为（答： x2y26 ）（ 3 ） 抛 物 线 ： 开 口 向 右 时y22 px p0 , 开 口 向 左 时y22 px p0 , 开 口 向 上 时x22 py p0 ,开口向下时x22 py p0 ；如定长为 3 的线段 AB 的两个端点在y=x 2 上移动, AB 中点为 M ,求点 M 到 x 轴的最短距离； 544. 圆锥曲线的几何性质 ：（ 1） 椭圆 （椭圆0e1 , e

5、越小,椭圆越圆； e 越大,椭圆越扁；22xy1025如（ 1） 如椭圆1的离心率e,就 m 的值是 （答： 3 或）；5m53（ 2） 双曲线（ 双曲线e1 ,等轴双曲线e2 , e 越小,开口越小,e 越大,开口越大； 两条渐近线 ： yb x ；a（ 3） 如 （ 1）双曲线的渐近线方程是13 ）；33x2y0,就该双曲线的离心率等于 （答：13 或2（ 3）抛物线（ 抛物线e1 ；如设 a0,aR,就抛物线 y4ax2 的焦点坐标为（答： 0,116a ）；6直线与圆锥曲线的位置关系：（1） 相交2例如：直线 y kx 1=0 与椭圆 x5（ 5,+）；y21 恒有公共点,就 m 的取

6、值范畴是（答： 1 ,5）m（2） 相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3） 相离 ：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离；如（ 1）过点 2,4 作直线与抛物线 y28x 只有一个公共点,这样的直线有 （答： 2）；（ 3） 过双曲线 x2y1的右焦点作直线 l 交双曲线于A 、B 两点,如 AB4,就满意条件的22直线 l 有 条（答： 3）；7、焦半径x2y2如（ 1） 已知椭圆1上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3,就点 P 到右准线的距离为 （答： 35 ）；325162（ 2） 已知抛物线方程为等于 ；y8x,如抛物线上一点到y 轴的

7、距离等于5,就它到抛物线的焦点的距离（ 3） 如该抛物线上的点 M 到焦点的距离是4,就点 M 的坐标为（答： 7,2,4 ）；（ 5） 抛物线（答： 2）；y22x 上的两点 A、 B 到焦点的距离和是5,就线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 x2y 2（ 6）椭圆1 内有一点P 1,1 ,F 为右焦点, 在椭圆上有一点 M ,使MP2 MF之43值最小,就点 M 的坐标为（答：10、弦长公式 ： 26 ,31 ）；如直线ykxb 与圆锥曲线相交于两点A 、 B ,且x1, x2分别为A 、 B的横坐标,就AB 21kx1x2 ,如 y , y 分别为 A 、B 的纵坐标,就AB 11yy

8、,12k 212如弦 AB 所在直线方程设为xkyb ,就 AB 1k 2y1y2 ；特殊地,焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的运算,一般不用弦长公式运算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解；如（ 1） 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （ x 1, y1）, B（ x2, y2）两点,如 x1+x 2=6 , 那么 |AB| 等于（答： 8）；（2） 过抛物线 y 22x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,已知 |AB|=10 , O 为坐标原点,就 ABC重心的横坐标为 （答： 3）；211、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法

9、”求解；在 椭圆x2y2a 2b 21 中,以P x00, y0 为中点的弦所在直线的斜率k= b 2 xb x0 a 2 y；在双曲线 x2a 22y1 中,以b20P x, y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 ；在抛物线y22 px p0 中,以P x, y 为中点00的弦所在直线的斜率k=p ；y0x2y2a 2 y00如（ 1）假如椭圆3691 弦被点 A（ 4,2）平分,那么这条弦所在的直线方程是（答：x2 y80 ）；x2y2（ 2） 已知直线 y= x+1 与椭圆221ab ab0 相交于 A 、B 两点,且线段 AB 的中点2在直线 L ： x 2y=0 上,就此椭圆的离心率为

10、 （答：）；2特殊提示 ：由于0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0 ！13动点轨迹方程 ：（1） 求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范畴；（2） 求轨迹方程的常用方法：直接法 ：直接利用条件建立x, y 之间的关系F x, y0 ；如已知动点 P 到定点 F1,0和直线 x3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程（答：2y12 x43x4 或2y4 x0x3 ）；待定系数法 ：已知所求曲线的类型,求曲线方程先依据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数；如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M （ m, 0） m0 ,

11、端点 A 、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x轴为对称轴,过 A 、O、 B 三点作抛物线,就此抛物线方程为（答： y22x ）；定义法 ：先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如1 由动点 P 向圆 x2y 21作两条切线 PA、 PB,切点分别为A、 B,0APB=60,就动点 P 的轨迹方程为（答： x2y24 ）；（ 2） 点 M与点 F4,0的距离比它到直线l：x5 0的距离小于 1,就点 M的轨迹方程是 （答：2y16 x ）；3一动圆与两圆 M： x 2y2为（答：双曲线的一支）；1 和 N： x2y 28 x120 都外切,就动圆圆心

12、的轨迹代入转移法 ：动点P x, y依靠于另一动点Q x0 , y0 的变化而变化,并且Qx0, y0 又在某已知曲线上,就可先用x, y 的代数式表示x0,y0 ,再将x0 , y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P 是抛物线 y2x21 上任一点, 定点为A 0,1 , 点 M分 PA 所成的比为 2,就 M的轨迹方程为（答： y6 x21 ）；3参数法 ：当动点Px, y坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时, 可考虑将x, y均用一中间变量（参数）表示,得参数方程,再消去参数得一般方程）；如（ 1） AB是圆 O的直径,且 |AB|=2 a,M为圆上一动点,作MN A

13、B,垂足为 N,在 OM上取点 P ,使 |OP | | MN|,求点 P 的轨迹；（答： x2y2a | y | ）；（ 2） 如点Px , y 在圆x2y21上运动,就点Q xy , xy 的轨迹方程是（答：y22 x1| x |111 ）；21111（ 3） 过抛物线 x24y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,就弦 AB的中点 M的轨迹方程是 （答：x22 y2 ）；15.圆锥曲线中线段的最值问题：例 1、1 抛物线C:y 2=4x 上一点 P 到点 A3,42 与到准线的距离和最小,就点 P 的坐标为2 抛 物线 C:y 2=4x上 一 点 Q 到 点 B4,1 与到

14、 焦 点 F的 距离 和 最 小 , 就 点 Q的坐 标为；分析： （ 1）A 在抛物线外,如图,连PF,就 PH现,当 A 、P、F 三点共线时,距离和最小；PF ,因而易发A QHPB F（2）B 在抛物线内,如图,作QR l 交于 R,就当 B 、Q、R 三点共线时,距离和最小；解：（ 1）（ 2, 2 ）（ 2）（1 ,1 ）4点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”相互转化的一个典型例题,请认真体会；x2y 2例 2、F 是椭圆1 的右焦点, A1,1 为椭圆内肯定点,P 为椭圆上一动点；43（1） PAPF 的最小值为yAPH（2）PA2 PF的最小值为F0Fx分析： PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径PF 或准线作出来考虑问题；解：（ 1） 4-5设另一焦点为PAPFF ,就 FPA2a-1,0 连PFA F2a,P F PFPA2aAF45当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时,PAPF 取得最小值为4-5 ；（2） 3作出右准线 l ,作 PH l 交于 H,因 a2=4, b2=3, c2=1, a=2, c=1 , e= 1 ,2 PF1 PH2,即2 PFPHA PA2 PFPAPH2当 A 、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为ax413 c