2022年最新高中数学知识点总结-选修2-3.docx

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1、精品文档第一章计数原理1.1 分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法； 分类要做到“不重不漏” ；分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤；做第 1 步有 m 种不同的方法, 做第 2 步有 n 种不同的方法, 那么完成这件事共有 N=mn 种不同的方法； 分步要做到“步骤完整”；n 元集合 A=a1, a2. ,an的不同子集有 2n 个；1.2 排列与组合1.2.1 排列一般地,从 n 个不同元素中取出 mmn个元素,依据肯定的次序

2、排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列arrangement；从 n 个不同元素中取出 mmn个元素的全部不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的 排列数,用符号表示；排列数公式：.n 个元素的全排列数规定： 0.=11.2.2 组合一般地,从 n 个不同元素中取出 mmn个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合combination；从 n 个不同元素中取出 mmn个元素的全部不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数,用符号或表示；组合数公式：.精品文档规定：组合数的性质：“构建组合意义”“殊途同归”

3、（杨辉三角）*1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理 binomial theorem.N*其中各项的系数k0,1,2, . ,n叫做二项式系数 binomial coefficient；式中的叫做二项绽开式的通项 ,用 Tk+1 表示通项绽开式的第 k+1 项：* 留意二项绽开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念；1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质* 表现形式的变化有时能帮忙我们发觉某些规律！1 对称性2 当 n 是偶数时,共有奇数项,中间的一项取得最大值；当 n 是奇数时,共有偶数项,中间的两项,同时取得最大值；(3) 各二项式系数的和为.(4) 二项式绽开式中, 奇

4、数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：.(5) 一般地,.其次章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布2.1.1 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量 random variable；随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数 把实数映为实数； 试验结果的范畴相当于函数的定义域,随机变量的取值范畴相当于函数的值域；全部取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 discrete random variable；概率分布列 probability distribution serie,s简称为 分布列 distribution ser

5、ies；Xx1x2.xi.xnPp1p2.pi.pn也可用等式表示：, , . ,依据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质：1 pi0,i=1,2,. , n；2随机变量 X 的均值mean或数学期望 mathematical expectation：.它反映了离散型随机变量取值的平均水平；随机变量 X 的方差variance刻 画了随机变量 X 与其均值 EX的平均偏离程度其算术平方根为随机变量 X 的标准差 standard deviation；如随机变量X 的分 布具 有下 表的形 式,就称 X 听从 两点分布 two-point distribution,并称 p=PX=1为

6、胜利概率； 两点分布又称 0-1 分布；由于只有两个可能结果的随机试验叫 伯努利试验 ,所以两点分布又叫 伯努利分布 XP01-p1p如 X 听从两点分布,就,一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,就,k=0,1,2,. , mX01.mP.其中 m=minM ,n ,且 N, MN, n, M,NN*假如随机变量 X的分布列具有上表的形式, 就称随机变量 X 听从超几何分布hypergeometric distribution；2.2二项分布及其应用2.2.1 条件概率一般地,设 A,B 为两个大事,且 PA0,称为在大事 A 发生的条件下,大事 B

7、 发生的条件概率 conditional probability；假如 B 和 C是两个互斥大事 ,就2.2.2 大事的相互独立性设 A,B 为两个大事,如就称大事 A 与大事 B 相互独立 mutually independent；可以证明,假如大事 A 与 B 相互独立,那么 A 与 , 与 B, 与 也都相互独立；2.2.3 独立重复试验与二项分布一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验 independent and repeated trials；.其中 Ai i=1 , 2, . ,n 是第 i 次试验的结果；一般地,在 n 次独立重复试验中,用 X 表示大

8、事 A 发生的次数,设每次试验中大事 A 发生的概率为 p,就, , , . ,此时称随机变量 X 听从二项分布 binomial distribution,为胜利概率；如,就记作, ,并称 p* 随机变量的均值是常数,而样本的平均值是随着样本的不同而变化的,因此样本的平均值是随机变量；随机变量的方差是常数, 而样本的方差是随着样本的不同而变化的, 因此样本的方差是随机变量；精品文档2.4正态分布一般地,假如对于任何实数 a, b a0 ,该面积随着的削减而变大；这说明越小, X 落在区间 , 的概率越大,即 X 集中在 四周概率越大；特殊有精品文档精品文档在实际 应用 中,通 常认 为 听从

9、于 正态分布 N, 2 的 随机变 量 X 只取之间的值,并简称之为原就；第三章统计案例3.1 回来分析的基本思想精品文档回来分析 regressionanalysis是常用方法；对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种对于一组具有线性相关关系的数据, . ,其中, , 称为样本点的中心 ,回来直线过样本点的中心；回来方程：线性回来模型：,其中 a 和 b 为模型的未知参数, e 是 y 与 bx+a 之间的误差； 通常 e 为随机变量,称为 随机误差 random error；与函数关系不同,在回来模型中, y 的值由 x 和随机因素 e 共同确定,即 x只能说明部分 y 的变化,因此我们

10、把 x 称为说明变量 ,把 y 称为预报变量 ；随机误差 e 的方差越小,用 bx+a 预报真实值 y 的精度越高； 随机误差是引起预报值与真实值 y 之间存在误差的缘由之一 ,其大小取决于随机误差的方差；另一方面, 和 为斜率和截距的估量值,它们与真实值a 和 b 之间也存在误差,这种误差是引起预报值与真实值 y 之间存在误差的另一个缘由；由于随机误差,所以是 e 的估量量；对于样本点它们的随机误差为其估量值为, . , , . , , . ,称为相应于点,的残差 residual；可以通过残差发觉原始数据中的可疑数据,判定所建立模型的拟合成效；以样本编号为横坐标,残差为纵坐标,可作出残差图

11、；检查残差较大的样本点, 确认采集该样本点过程中是否有人为错误, 如有, 应予以订正,再重新利用线性回来模型拟合数据；如没有,就需查找其它缘由；另外,对于已经猎取的样本数据,中的为确定的数；因此越大,意味着残差平方和越小,即模型拟合成效越好；越小,残差平方和越大,即模型拟合成效越差；表示说明变量对于预报变量变化的奉献率,越接近于 1,表示回来的成效越好；一般地,建立回来模型的基本步骤：(1) 确定讨论对象,明确哪个变量是说明变量,哪个变量是预报变量；(2) 画出说明变量和预报变量的散点图, 观看它们之间的关系 如是否存在线性关系等(3) 有体会确定回来方程的类型 如我们观看到数据呈线性关系,

12、就选用线性回来方程(4) 按肯定规章 如最小二乘法 估量回来方程中的参数；(5) 得出结果后分析残差图是否有反常 如个别数据对应残差过大, 残差出现不随机的规律性等 ；如存在反常,就检查数据是否有误,或模型是否合适等；回来模型的适用范畴：(1) 回来方程只适用于我们所讨论的样本的总体；(2) 我们所建立的回来方程一般都有时间性；(3) 样本取值的范畴会影响回来方程的适用范畴；(4) 不能期望回来方程得到的预报值就是预报变量的精确值；一般地,比较两个函数模型的拟合程度的步骤如下：(1) 分别建立对应于两个模型的回来方程,与,其中 和分别是参数 a 和 b 的估量值(2) 分别运算两个模型的 R2

13、 值(3) 如,就模型 1 比模型 2 拟合成效更好；如,就模型 2 比模型 1 拟合成效更好；3.2 独立性检验的基本思想不同的“值”表示不同类别的变量叫做 分类变量 ；列出两个分类变量的频数表称为列联表 contingency table； 常用等高条形图 展现列联表数据的频率特点；利用随机变量 K2 来判定“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验 test of independence；反证法原理与独立性检验原理的比较反证法原理独立性检验原理在假设 H0 下,假如推出一个冲突,就证明白H0 不成立在假设 H0 下,假如显现一个与 H0 相冲突的小概率大事, 就推断 H0 不成立,且该

14、推断犯错误的概率不超过这个小概率一般地,假设有两个分类变量X 和 Y,它们的取值分别为 x1,x2和y1, y2,其样本频数列联表 称为 22 列联表为：y2y1总计ba+bx1ax2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d假设 H0： X 与 Y 没有关系,即 X 与 Y 独立；就有 PXY=PXPY；依据频率近似于概率,故有化简得因此,越小,两者关系越弱；越大,两者关系越强； 基于以上分析,构造随机变量,其中为样本容量K2 的值越小就关系越小, K2 的值越大就关系越大； 实际应用中通常要求 a,b, c,d 都不小于 5运算 K2 的观测值 k 并与 K2 作比较；统计学讨论发觉,在 H

15、0 成立的情形下,即在 H0 成立的情形下, K2 的观测值超过 6.635 的概率特别小,近似为 0.01,是一个小概率大事；如观测值 k 大于 6.635,就有理由判定 H0 不成立,即“ X 与 Y 有关系”；但这种判定会犯错误,犯错误的概率不会超过0.01 .* 这里概率运算的前提是H0 成立,即 H0：两个分类变量没有关系 如要推断的论述为 H1：“X 与 Y 有关系”；可以通过频率直观地判定两个条件概率 PY=y1|X=x1和 PY=y1|X=x2是否相等；假如判定它们相等,就意味着X 和 Y没有关系；否就就认为它们有关系； 由上表可知,在 X=x1 的情形下,Y=y1 的频率为；

16、 在 X=x2 的情形下, Y=y1 的频率为；因此,假如通过直接运算或等高条形图发觉和相差很大,就判定两个分类变量之间有关系；利用独立性检验原理可以进一步给出推断 “两个分类变量有关系” 犯错误的概率；详细做法是：(1) 依据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界 ,然后查下表确定临界值 k0.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(2) 利用公式运算随机变量K2 的观测值 k.(3) 假如 K2 的观测值 k 大于判定规章的临界值 k0,即 kk0,就推断“ X 与 Y 有关系”,这种推断犯错误的概率不超过 ；否就,就认为在犯错误的概率不超 过 的前提下不能推断 “ X 与 Y有关系”,或者在样本数据中没有发觉足够证据支持结论“ X 与 Y 有关系”；依据上述规章,把“两个分类变量之间没有关系”错误地判定为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过.定义：就如“ X和 Y没有关系”就有有 可推出即可取于是有以下判定规章：当 W 的观测值时,就判定“ X 和 Y有关系” ；否就,判定“ X和 Y没有关系”；这里为正实数,且满意在“ X 和 Y没有关系”的前提下