2022年有理数的概念知识点归纳及练习题演示教学.docx

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1、此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除有理数的概念学问梳理有理数的概念 一、目标认知 学习目标：明白正数、负数、有理数的概念,会用正数和负数表示相反意义的量；把握一个数的相反数的求法和性质,学习使用数轴,借助数轴懂得相反数的几何意义,会借助数轴比较有理数的大小；把握一个数的肯定值的求法和性质,进一步学习使用数轴,借助数轴懂得肯定值的几何意义；重点：有理数的概念及其分类, 相反数的概念及求法, 肯定值的概念及求法,数轴的概念及应用； 有理数比较大小难点：肯定值的概念及求法,特殊是用字母表示的时候的意义；运用数轴懂得肯定值的几何意义；有理数比较大小的方法的把握；二、学问要点梳理学问点一：负数

2、的引入要点诠释：正数和负数是依据实际需要而产生的,随着社会的进展,学校学过的自然数、分数和小数已不能满意实际的需要,比如一些有相反意义的量：收入200 元和支出 100 元、零上 6和零下 6等等,它们不但意义相反,而且表示肯定的数量,怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的,把另一种和它意义相反的的量规定为负的,这样就产生了正数和负数；用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种意义为正, 是可以任意挑选的, 但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负；学问点二：正数和负数的概念要点诠释：（ 1） 像 3、1.5 、 、584 等大于 0

3、的数,叫做正数,在学校学过的数,除0 以外都是正数, 正数比 0 大；（ 2） 像 3、1.5 、 、 584 等在正数前面加“” 读作负 号的数,叫做负数；负数比0小；（3） 零既不是正数也不是负数,零是正数和负数的分界；留意：（1） 为了强调,正数前面有时也可以加上“”（读作正）号, 例如： 3、1.5 、 也可以写作 3、 1.5 、 ；（2） 对于正数和负数的概念,不能简洁懂得为：带“”号的数是正数,带“”号的数是负数；例如： a 肯定是负数吗？答案是不肯定；由于字母a 可以表示任意的数, 如 a 表示的是正数,就 a 是负数；如 a 表示的是 0,就 a 仍是 0； 当 a 表示负数

4、时, a 就不是负数了（此时 a 是正数）；学问点三： 有理数的有关概念要点诠释：1、 有理数：整数和分数统称为有理数；注：（ 1）有时为了讨论的需要,整数也可以看作是分母为1 的数,这时的分数包括整数；但是本节中的分数不包括分母是1 的分数；（ 2）由于分数与有限小数和无限循环小数可以互化,上述小数都可以用分数来表示, 所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数；（ 3）“0”即不是正数,也不是负数,但“ 0”是整数；2、整数包括正整数、零、负整数；例如：1、2、3、0、 1、 2、 3 等等；3、分数包括正分数和负分数,例如：、 、0.6 、 、 、 0.6 等等；学问点四：有理数的分类要

5、点诠释：1、按整数、分数的关系分类：2 、 按正数、负数与0 的关系分类：注： 通常把正数和 0 统称为非负数,负数和0 统称为非正数,正整数和0 称为非负整数（也叫做自然数）,负整数和0 统称为非正整数；假如用字母表示数,就a0 说明 a 是正数； a 0 说明 a 是负数； a 0 说明 a 是非负数； a 0 说明 a 是非正数；学问点五：数轴的概念要点诠释：只供学习与沟通规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴数轴的定义包含三层含义：（1）数轴是一条直线,可以向两端无限延长；（2）数轴有三要素原点、正方向、单位长度,三者缺一不行；（3）原点的选定、正方向的取向、单位 长度大小的确定,

6、都是依据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）；学问点六：数轴的画法要点诠释：1、画一条直线（一般画成水平的直线）；2、在直线上选取一点为原点,并用这点表示零（在原点下面标上“0”）；3、确定正方向（一般规定向右为正）,用箭头表示出来；4、选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3；从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1, 2,3 注：（ 1）原点的位置、单位长度的大小可依据实际情形适当选取；（2）确定单位长度时,依据实际情形,有时也可以每隔两个 或更多的 单位长度取一点, 从原点向右,依次表示为2,4,6,；从原点向左,依次表示为2, 4

7、, 6,；学问点七：数轴上的点与有理数的关系全部的有理数都可以用数轴上的点表示出来,反过来,不能说数轴上全部的点都表示有理数；要点诠释：正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示；学问点八：利用数轴比较有理数的大小要点诠释：在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大；正数都大于0；负数都小于 0；正数大于一切负数；学问点九：相反数的概念1、相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数；2、相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同）,我们说其中一个是另一个的相反数,0 的相反数是 0；要点诠释：

8、（1） “只”字是说仅仅是符号不同,其它部分完全相同；（2）相反数是数,不是量；（3） 相反数是成对显现的；学问点十：相反数的表示方法要点诠释：一般地,数a 的相反数是 a；这里 a 表示任意的一个数,可以是正数、负数、或者 0；学问点十一：多重符号的化简把多重符号化成单一符号,假如是正号,就可以省略不写,实际上,多重符号的化简是由“- ”的个数来定,如“ - ”个数为偶数个时,化简结果为正,如-4=4；如“ - ”个数为奇数个时,化简结果为负,如-+-4=-4；要点诠释：1、在一个数的前面添上一个“”号,仍旧与原数相同,如5 5,（ 5） 5；2、在一个数的前面添上一个“”号,就成为原数的相

9、反数；如 3 就是 3 的相反数, 因此, 3 3；学问点十二：肯定值的概念要点诠释：1、肯定值的几何定义：一个数a 的肯定值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离,数a 的肯定值记作“ ”2、肯定值的代数定义：一个正数的肯定值是它本身；一个负数的肯定值是它的相反数；0 的绝对值是 0；即学问点十三：两个负数大小的比较要点诠释：由于两个负数在数轴上的位置关系是：肯定值较大的负数肯定在肯定值较小的负数的左边,所以,两个负数,肯定值大的反而小；比较两个负数大小的方法是：一、先分别求出这两个负数的肯定值；二、比较这两个肯定值的大小；三、依据“两个负数,肯定值大的反而小” 做出正确的判定；学问点十四：有

10、理数大小的比较法就要点诠释：正数都大于 0,负数都小于 0,正数大于一切负数, 两个负数, 肯定值大的反而小；三、规律方法指导有理数与学校所学的数,主要区分在于负数；有理数可以用数轴上的点来表示,任何一个有理数都能在数轴上找到表示它的位置,而是唯独确定的点；数轴上的点可以表示三类数；在数轴上表示零的点称做原点,以这个点为界,正有理数（正整数、正分数）用原点右边的点来表示；负有理数（负整数、负分数）用原点左边的点来表示,这就说明,数轴是有方向的；由于数轴规定了方向,因而在数轴上排列着的数就是有次序的；从左到右一个数比一个数大；即数轴上表示的数,右边的总比左边的大；在数轴上,原点左、右两边距离原点

11、等远的点所表示的有理数,它们只有符号不同,这样的一对数称为互为相反数；假如数轴上的点只考虑它到原点的距离,而不考虑它的正、负方向的数,就表示这个有理数的肯定值；经典例题透析类型一：有理数分类的问题例 1：请把以下各数填入它所属于的集合的大括号里；1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, , .正整数集合 : 负整数集合 : 整数集合 : 正分数集合 :负分数集合 : 分数集合 : 思路点拨 :这种关于有理数的分类问题,关键是要把握各种数的概念；学校时所学的自然数就是正整数和零,进入中学,显现了负整数,而整数的范畴就扩大到了正整数、零和负整数；有限小数和无限循

12、环小数都可以写成分数的形式,因此,它们都是分数；解析：正整数： 1；负整数： -700 ；整数： 1,0,-700 ；正分数： 0.0708 , 3.14159265 , ； 负分数： -3.88 , ；分数： 0.0708 , 3.14159265 , , -3.88 ,总结升华：有理数包括整数和分数,分数包含有限小数和无限循环小数,但须留意的是,不是全部的小数都是分数,比如 等；所以,我们也不能说学校学过的全部数都是有理数,仍有一部分数不是有理数,那么这部分数我们将在今后学习讨论；举一反三：【变式 1】在数 -100, 70.8, -7, ,-3.8, 0, , ,中, 不是分数的是; 不

13、是小数的是; 不是有理数的是；【变式】以下四种说法,正确选项 .(A) 全部的正数都是整数B 不是正数的数肯定是负数C 正有理数包括整数和分数D0不是最小的有理数类型二：正负数的概念例 2：如把向北走 7km 记为 7km,就 10km表示的含义是（）A. 向北走 10kmB. 向西走 10kmC. 向东走 10kmD. 向南走 10km思路点拨 ：“正”和“负”相对, 7km 表示向北走 7km,就 10km表示向南走 10 km.答案： D总结升华 ：在一对具有相反意义的量中,如先规定一个为正, 就另一个就用负表示；如先规定一个为负,就另一个就用正表示；举一反三：【变式】 1 假如收入 3

14、00 元记作 +300 元,那么支出500 元用表示, 0 元表示 .(2) 如购进 50 本书,用 -50 本表示,就盈利30 元如何表示？ 类型三：与数轴相关的问题例 3:数轴上有一点到原点的距离是5.5 ,那么这个点表示的数是 .思路点拨 :到原点的距离等于 5.5的点既可以在原点左边,也可以在原点右边,因此这样的点有两个；解析：5.5 或-5.5总结升华 ：与数轴相关的问题仍有数轴的画法以及借助数轴来比较有理数的大小；例 4：如右图所示,数轴的一部分被墨水污染了,被污染的部分内含有的整数为 .2 几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧,并且到原点的距离相等这两点是关于原点对称的

15、思路点拨 : 数轴上的点表示的数右边的比左边的大；因此,被污染的部分的数大于-1.3 , 小于 2.6 ,再考虑这一范畴内的整数即可；解析：-1,0,1,2总结升华： 利用数轴解决问题是数形结合数学思想的的一个重要应用,要能由“形” 看出“量”的一些关系；举一反三：【变式 1】实数 在数轴上表示如下列图,就以下结论错误选项（）A. B.C.D.【变式 2】一个点从数轴的原点开头, 先向右移动 3 个单位长度 , 再向左移动 5 个单位长度 , 就终点表示的数是.【变式 3】数轴上点 A 对应的数为 -3, 那么与 A相距 1 个长度的点 B 所对应的数是.类型四：与相反数相关的问题例 5：（

16、1） 的相反数是, 3 与互为相反数（ 2） 的相反数是, 的相反数是,的相反数是. （ 3）0 的相反数是 .（ 4）已知 那么 的相反数是. 已知 ,就 a 的相反数是. 思路点拨 :1 代数意义：只有符号不同的两个数互为相反数,特殊地,O的相反数是 0相反数必需成对显现,不能单独存在例如+5 和 5 互为相反数,或者说+5 是 5 的相反数, 5 是+5 的相反数,而单独的一个数不能说是相反数另外,定义中的“只有”指除符号以外,两个数完全相同,留意应与“只要符号不同”区分开例如+3 与 3 互为相反数,而 +3 与 2 虽然符号不同,但它们不是相反数(3) 求任意一个数的相反数,只要在这

17、个数的前面添上“一”号即可一般地,数a 的相反数是 a；这里以 a 表示任意一个数,可以为正数、0、负数,也可以是任意一个代数式注 意 a 不肯定是负数留意： 当 aO时, a0 正数的相反数是负数 ； 当 a=O时, a=O0 的相反数是 0 ；当 a0 时, a O 负数的相反数是正数 (4) 互为相反数的两个数的和为零,即如a 与 b 互为相反数,就a+b=0,反之,如 a+b=O,就a 与 b 互为相反数(5) 多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“”号,都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“”号,也可以把“”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“”号,就化简后只保留一个“”号,既“奇

18、负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数的奇偶数,“负正”是指化简的最终结果的符号） .解析：（1） ,3； （ 2） m,-m+1,-m+1; 3 0 4 -9, 9总结升华： 求相反数时,要紧紧抓住“只有符号不同”这一条件,即“符号不同而数字相同”的两个数；举一反三： 【变式 1】(1) 一个数的相反数的倒数是 -4, 这个数是.(2) 假如 与-3 互为相反数 , 那么 等于 A. 3B. -3C.D.类型五：与肯定值相关的问题例 6： 的肯定值是.思路点拨 :（1） 取肯定值也是一种运算,这个运算符号是“”,求一个数的肯定值, 就是依据性质去掉肯定值符号.（2） 肯定值具有非负

19、性,取肯定值的结果总是正数或0.（3） 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的肯定值,如：5,符号是负号,绝对值是 5.解析：C、正整数和负整数统称为整数；D、整数和分数统称为有理数9、下面两个数互为相反数的是总结升华： 肯定值符号具有括号的功能,依据肯定值的意义去掉肯定值符号即可举一反三：【变式 1】已知 x=4 , y =6,求代数式 x+y的值 .1A、 2 和0.2B、123 和 0.333C 、 2.75 和34D 、9和 9有理数的概念课后练习一、挑选题：1如一个数的肯定值大于零,这个数肯定是（）（ A）正数 （ B）任意有理数（ C）非零数 （ D）负数2 在有理数中,下面说

20、法正确选项（）（A）有最小的数 （ B）有最大的数（ C）没有最小的数,也没有最大的数（ D）以上答案都不对3. 下面四句话中错误选项（）（ A）负分数肯定是负有理数（ B）分数中除正分数就是负分数（ C）a 的相反数是 -a（ D）有理数中除了正数就是负数4. 以下说法正确选项（）（A）带有“ - ”的数是负数（B）任何数的肯定值都是正（ C）任何负数都小于它的相反数（ D）一个数的相反数肯定是负数5一个数的肯定值肯定是（）（）正数 （）负数 （）非正数（）非负数6. 有理数 a, b, c 在数轴上的位置如图,以下结论错误选项（）（A ）c ba （ B）a-b 0（C） b0, c 0

21、（ D）c b 7、以下说法中,正确选项（）A、一个数不是正数就是负数；B 、正有理数和负有理数组成全体有理数；C、零是最小的有理数；D、零既不是正数,也不是负数,但零是整数8、以下说法中,正确选项（）A、 非负有理数就是正有理数；B、零表示没有,不是有理数；10、一个数的肯定值大于它本身,那么这个数是A、正有理数B、负有理数C、零D、不行能11、a是一个有理数,那么-a （）A、负数；B、正数；C、零；D、以上都可能；12、已知数轴上表示 2和 101的两个点分别为 A,B,那么 A,B两点间的距离等于 （）（A） 99（ B） 100（ C） 102（ D）103 13、数轴上原点及左边的

22、点表示的数是（）A、负数；B、正数；C、非负数；D、非正数；14、“互为相反数 ”是指（）A、一个正数 , 一个负数；B、一个数前面添加上 “- ”号所得的数；C、数轴上原点两旁的两个点所表示的两个数；D、只有符号不同的两个数,且0的相反数是 0； 15、假如 a+b=0,那么肯定有（）A、a=0且b=0 ； B 、a=0或b=0 ； C 、a、b异号； D 、a、b互为相反数；16、以下四个推理中,正确选项（）A、假如 |a|=|b| ,那么 a=b； B 、假如 |a|=b , 那么 a=b； C、假如 a=-b ,那么 |a|=|b| ； D 、假如 |a|=b ,那么 a=-b ； 二

23、. 填空题：1. -2.5的相反数是,肯定值是；2. 最小的正整数是,最大的负整数是,肯定值最小的数是 ；3在有理数 -3,0, , ,3.1416, -（ -7）, , 中,属于负数集的是, 属于正分数集的是,属于整数集的是 4 |-7|=, | |= ；5化简 - （ -2002）=, -（ -3.14）=,；6. a的相反数是 -11,那么；如3是x的相反数, 那么x=,3（ -x ）=；7. 相反数大于 -4的正整数是,肯定值不大于 2的整数是 负分数集合： 非负数集合： 非正数集合： 8. 一个数的肯定值与它的相反数相等,这个数为的本身,这个数为； ,一个数的相反数大于它2把以下各数

24、表示在数轴上,并比较他们5的大小；-3, 1/2 , 0. , 3,. -2.59如两个数的肯定值相等,这两个数可能是 ； 10如一个数的相反数不小于零,那么这个数为；10如 |-m|=-（ -0.3）,那么 m= ；11在数轴上点 B表示数 -3,那么与 B点相距 4个单位长度的点表示的数是 ；12、外表的指针顺时针方向旋转90记作 -90 ,那么逆时针旋转 180应记作.13、说明下面一段话的意义：汽车从前进+50米,再前进 -30 米,即；14、数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离是6,就这两个数为 15、简化以下各数的符号：（ 1）- （-5 ）=（ 3）- （ -4 ）=16、L市

25、在冬季的某一天最高温度为4,最低温度为 -1 ,这天温差 是.17、假如 |x|=3.5,那么x=；假如 |-x|=|-2 1|,那么 x=18、数轴上离开原点 2个单位长度的点表示的数是 19、肯定值最小的有理数是 ；肯定值等于 3的数是； 肯定值等于本身的数是 ；肯定值等于相反数的数是 数；20、肯定值不大于 3的非负整数有21、观看下面一列数,依据规律写出横线上的数,3、（ 1）写出肯定值大于 3而小于 8的全部有理数；4、运算：（1） |-15|-|-6|（2）|0.24|+|-5.06|5已知|a|=3 ,|b|=2 ,求|a+b| 的值；11111121 1 1 ； 2三. 解答题

26、：； 3 ； 4；第 2006个数是；6、比较大小： 145 ； 213 ）3 ；1. 把以下各数填在相应的大括号内：10,-0.082 ,-30 1/2,3.14 , -2 , 0,-98 , -3 1/221/8 ,1, 3/53+ 4.2 43整数集合： 分数集合： 正分数集合： 7. 求以下各数的相反数和肯定值（1） 102（ 2）0（ 3）1324（4）48. 一个病人每天下午要测量一次血压,下表是该病人星期一至星期五血压变化情形,该病人上个星期日的血压为 160单位,血压的变化与前一天比较：星期一二三四五血压的变化升 30 单位降 20 单位升 17 单位升 18 单位降 20 单位请算出星期五该病人的血压9、出租车司机小李某天下午运营全是在东西走向的人民大道上进行的,假如规定向东为正, 向西为负,这天下午他的行车里程（单位：千米）如下：15, 2, 5, 1, 10, 3, 2, 12, 4, 5, 6（ 1）将最终一名乘客送到目的地时,小李距下午出车时的动身点多远？（ 2）如汽车耗油量为 3 升/ 千米,这天下午小李共耗油多少升？