2022年向量复习知识总结及相关题型研究2.docx

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1、向量学问点归纳与常见题型总结向量学问点归纳1. 与向量概念有关的问题向量不同于数量,数量是只有大小的量（称标量）,而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小,而向量不能比较大小,只有它的模才能比较大小 . 记号“ a b ”错了,而 | a | | b | 才有意义 .有些向量与起点有关,有些向量与起点无关. 由于一切向量有其共性（大小和方向）,故我们只争论与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时,可平移向量.平行向量（既共线向量）不肯定相等,但相等向量肯定是平行向量,既向量平行是向量相等的必要条件.单位向量是模为 1 的向量,其坐标表示为（x, y）, 其中 x 、 y 满意 x

2、2y 2 1（可用（ cos,sin）（0 2）表示）. 特殊：AB| AB |表示与 AB 同向的单位向量；uuuruuur例如：向量|uAuBuruAuCurAB | AC0 所在直线过ABC 的内心 是BAC 的角平分线所在直线 ；|uuuruuuruuuruuur例 1. O是平面上一个定点, A、B、C不共线, P 满意 OPOAABAC uuuruuuur| AB | AC0,. 就点 P 的轨迹肯定通过三角形的内心；变式 已知非零向量 AB 与AC 满意 AB|AB |AC+ |AC|AB BC =0 且 |AB |AC |AC|1=2 ,就 ABC 为 A. 三边均不相等的三角

3、形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.等边三角形 06 陕西 0 的长度为 0,是有方向的,并且方向是任意的,实数0 仅仅是一个无方向的实数.有向线段是向量的一种表示方法,并不是说向量就是有向线段.7 相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是a ；2. 与向量运算有关的问题向量与向量相加,其和仍是一个向量. （三角形法就和平行四边形法就）当两个向量 a 和 b 不共线时, ab 的方向与 a 、 b 都不相同,且 | ab | | a | | b | ；当两个向量 a 和 b 共线且同向时, ab 、 a 、 b 的方向都相同,且 | ab | a | b | ；当向

4、量 a 和 b 反向时,如 | a | | b | , ab 与 a 方向相同,且| ab |=| a |-|b | ；如| a | | b | 时, ab 与b 方向相同,且 | a b |=|b |-|a |.向量与向量相减,其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法就适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法就适用于共起点的向量求和；例 2：P 是三角形 ABC 内任一点,如CBPAPB,R ,就 P 肯定在（）A 、 ABC 内部B、AC 边所在的直线上C、AB 边上D、BC 边上例 3、如2ABBCAB0 ,就 ABC是： A.Rt B. 锐角 C. 钝角 D. 等腰 R

5、t 例 4、已知向量 acos, sin, b3,1 ,求 | 2ab |的最大值；22分析：通过向量的坐标运算,转化为函数（这里是三角）的最值问题,是通法；解 ： 原 式 =5| 2 cos3 ,2 sin1 |2 cos32 sin1=88sin ； 当 且 仅 当32k k6Z 时,| 2ab | 有最大值 4.评 析 ： 其 实 此 类 问 题 运 用 一 个 重 要 的 向 量 不 等 式 “| a | b | | ab | | a | b |” 就 显 得 简 洁 明 快 ； 原 式| 2a | b |= 2 | a | b |2124 ,但要留意等号成立的条件（向量同向）； 围

6、成 一 周 （ 首 尾 相 接 ） 的 向 量 （ 有 向 线 段 表 示 ） 的 和 为 零 向 量 . 如 , ABBCCA0, （ 在 ABC 中 ）ABBCCDDA0 . ABCD中判定两向量共线共线向量定理对空间任意两个向量a、bb 0 , a b存在实数使 a=b数量积的 7 个重要性质两向量的夹角为 0 .aba b0 （=90,cos0在实数运算中 ab =0a =0 或 b=0. 而在向量运算中a b = 0a = 0 或 b = 0 是错误的, 故 a0 或 b0 是 ab =0 的充分而不必要条件 .当 a 与 b 同向时 ab =| a | b |=0,cos=1;当

7、a 与 b 反向时, ab =- | a | b |= ,cos=-1 ,即 a b 的另一个充要条件是rr| a b | a | b |.当为锐角时, a . b 0,且 ab0 a、b 不同向 ；rr当为钝角时, a . b 0,且 ab0 a、b 不反向 ,41例 5. 如已知 a,2 , b3 ,2,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是（答：或0 且）；33例 6、已知 i , j 为相互垂直的单位向量,ai2 j , bij ；且 a 与 b 的夹角为锐角,求实数的取值范畴；分析：由数量积的定义易得“解：由 a 与 b 的夹角为锐角,得a,ba b a b12t10 ”,但

8、要留意问题的等价性；10. 有.21而当 atbt0, 即两向量同向共线时,有得t22. 此时其夹角不为锐角；故, 22,.2| a b | a | b |；（因cos1 ）数量积不适合乘法结合律 . 如 a b ca bc. （由于 a bc 与 c 共线,而a bc 与 a 共线）数量积的消去律不成立 . 如 a 、 b 、 c 是非零向量且 a cb c 并不能得到 ab 这是由于向量不能作除数,即1是无意义的 .c6 向量 b 在 a 方向上的投影 bcos a bauuuruuur7e1 和 e2 是平面一组基底 , 就该平面任一向量 a1 e12 e2 1 , 2 唯独 特殊： .

9、 OP 1OA2 OB 就 121 是三点 P、A、B共线的充要条件 . 留意：起点相同,系数和是1；基底肯定不共线 三点共线的判定 1 uuuruuuruuur例 7、已知等差数列 an 的前 n 项和为A50B. 51C.100D.101Sn ,如BO a1 OAa200 OC ,且 A、B、C 三点共线（该直线不过点O）,就 S200 （）2例 8 以下条件中,能确定三点A, B, P 不共线的是：A. MPsin 2 20 MAcos2 20 MBB. MPsec2 20 MAtan 2 20 MBC. MPsin 2 20 MAcos2 70 MBD. MPcsc2 31 MAcot

10、 2 31 MBuuur1 uuuruuuruuur(8) 重心： 在 ABC 中, PG3 PAPBPC G 为 ABC 的重心,uuuruuuruuurrPAPBPC0P 为 ABC 的重心；例、设平面对量a 、 a 、 a 的和aaa0 ；假如向量b 、 b 、 b ,满意 b2 a,且a 顺时针旋转 30o 后与b 同向,123123123iiii其中 i1,2,3 ,就（ D）（ 06 河南高考）A b1b2b30Bb1b2b30C b1b2b30uuuruuurD b1b2b30内心：uAuBuruAuCur 0 向量所在直线过ABC 的内心BAC ； 的角分线所在直线 | AB

11、| AC |uuuruuuruuurruuur| AP |例、如 D 为 ABC 的边 BC 的中点,ABC 所在平面内有一点 P ,满意PABPCP0 ,设uuur,就的值为 （答：| PD |2）；uuuruuuruuurr例、如点 O 是 ABC 的外心,且 OAOBCO0 ,就内角 C 为 （答： 120o ）；(9) 线段的定比分公式P 分 P1P2的比为, 就 P1P =P P2 ,0 内分; 0 且-1 外分.OP OP1OP2; 如 1 就OP 112 OP +OP ; 设 Px,y,P1 x 1,y 1,P 2 x 2,y 21xx1x2 ,2x1x2x,就1y1y2y1;当

12、 p 为中点有.y2y1y2.2说明：特殊留意各点的次序,分子是起点至分点,分母是分点至终点,不能转变次序和分子分母的位置；例、已知 A（ 4,-3 ）, B（-2 ,6）,点 P 在直线 AB上,且 | AB |3|AP | ,就 P 点的坐标是（）（2,0）,（ 6,-6 ）(10) 、 点Px, y 按 ah,k平 移 得P x , y uuur, 就 PP a或 x yxh函数 yykf x 按 a h, k平 移 得 函 数方 程 为 ：ykf xh 说明：（ 1）向量按向量平移,前后不变；（ 11 ）： 已 知A x1 , y1 , B x2 , y2 , l : AxByC0 ,

13、 过A, B的 直 线 与 l 交 于 点 P , 就 P 分 AB 所 成 的 比 是Ax1 Ax2By1 By2C, 如用此结论 , 以下两题将变得很简洁.C例、已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q的坐标分别是交, 就 m的取值范畴是. 1,1, 2,2 ,如直线 l 的方程是 xmym0 ,直线 l 与 PQ 的延长线相解: 由Ax1Ax2By1C得By2C1 2m2 3m, 由于直线 l 与 PQ 的延长线相交 , 故1, 解得3m23变式: 已知点 A2,-1,B5,3.如直线l : kxy10 与线段 AB 相交, 求 k 的范畴 .Ax1By1C2k22提示:由得:0 及直

14、线过端点得1kAx2By2C5k25锐角三角形中有： AB2ABsin A 2sin2BcosB钝角三角形中有（ C是钝角）： AB2ABsin A 2sin2Bcos B例： 定义在 R上的偶函数f x1f x ,且在 3, 2 上是减函数,是锐角三角形的两个角,就（）A 、 f sinC、 f sinf cosf sinB、 fD、 fsincosf cosf cos（ 12）向量的平行与垂直设 a= x1 , y1,b= x2, y2 ,且 b0,就abb= ax 1 y2x2 y10 .aba0a b=0x1 x2y1 y20 .向量常考题型与解题技巧一、 平面对量的综合问题一般来说,

15、夹角问题总是从数量积入手,长度问题就从模的运算性质开头（一般需先平方）,而共线,共点问题多由数乘向量处理；例 设 平 面 向 量 a3 ,21 , b2 1 ,23 , 如 存 在 不 同 时 为 0的 两 个 实 数2s, t及 实 数 k0 , 使xat 2k b, ys at b 且 xy ；（1）求函数关系式 sf t ；（2）如函数 sf t 在1, 是单调函数,求k 的取值范畴；分析：由数量积的坐标运算,不难得出sf t 的解析式,含参数必引起争论,运用“整体思想”可简化运算；f t 在1, 是单调函数,等价于“f t 0 或 f t 0 在 1, 上恒成立”；解：（ 1）a3 ,

16、21 , b2 1 ,23 ,2| a | b |1, 且 a b0 ,又xyx y0 即 at 2k b s at b0 由此得： st 3kt（2）f t3t 2k ,又f t 是单调函数,如 f t 是增函数,就,0k3如 f t 是减函数,就,这样的 k 不存在f t0 ,恒有23tk ,而t1,f t0 ,恒有3t 2k ,而t1,综上 0k3 .ABAC1BA BC3例、在ABC 中,| AB |2| BA |,又 E 点在 BC 边上,且满意 3 BE2EC2,以 A 、B 为焦点的双曲线经过C、E 两点.求此双曲线的方程 .分析：遇到的首要问题即“建系”和“向量语言”的解读；深

17、刻懂得向量运算的几何意义,就显得万分重要了；解: 以线段 AB的中点 O为原点,直线AB为 x 轴建立平面直角坐标系,A（ -1 ,0）, B（1,0）作 CDAB于 D,由已知 ABAC1 , | AC |cosA=1 ,即| AD |=1,同理又BA BC3 , | BD |= 3 ,| AB |222x 2y21| BA |22设双曲线的方程为1a0,b0,C-,h, Ex1 ,y 1 a 2b 22又 312BE2 EC , x152hy15h2又 E、C 两点在双曲线上,2 4ab21, 解答： a2= 1 ,b 2 = 6 ,双曲线的方程为：7x 2-7 y 2 =1.244h22

18、776221,ab125a25b例、（8 分）已知 Y ABCD的顶点 A（ 0,-9 ）,B（2, 6）, C（ 4, 5）,求第四个顶点 D的坐标解法一：设 D坐标为（ x,y ）,对角线 AC与 BD的交点为 O0495DOC点 O为 A、C 中点,易得 O（2,）,即 O2,-22 2ABx2又点 O为 B、D 中点,就26y2,解得2x2y10,故 D坐标为 2, 10uuuruuur解法二：设 D坐标为（ x,y ）,依题意得, ABDCuuur而 AB2,15uuur, DC4x,54x2y , 就,5y15解得解得x2y10,故 D坐标为 2, 10二、向量问题的坐标解法向量的

19、坐标表示是将几何问题代数化,用坐标法解决向量问题思路清楚,操作简洁便利,下举例说明；例.设 O在 ABC的内部且满意,就 ABC的面积与 AOC的面积之比为（）A. 2 B.C. 3 D.解：如图 1 建立坐标系；图 1设 A（0,0）, B（a, b）, C（ c, 0）, O（x ,y）,就由于即所以从而例.四边形 ABCD中,如,求；解：如图 2 建立坐标系；图 2设,就代入已知条件得：即所以例.设 P为 ABC所在平面内一点,求取最小值时 P 点的位置；解：设就（其中 m为常数）所以,当即 P为 ABC的重心时,取得最小值；例 P 为 ABC所在平面内一点；求证：证明：如图 3 建立坐

20、标系；图 3设,就从而三、平面对量数量积的六大热点问题1、平行问题这类题主要考查向量平行的充要条件：如向量,且,就；2、垂直问题这类问题主要考查两向量垂直的充要条件：如向量,就；3、求模问题如就,或,对于求模有时仍运用平方法；4、求夹角问题求夹角可用解决；5、求数量积例.（ 2004 浙江）已知平面上三点A、B、C满意,就的值等于；解法 1：运用定义以上三式相加,得所求为解法 2：整体处理由即得,故填；解法 3：挖掘隐含；由平面上三点 A, B,C构成以 B为直角顶点的直角三角形,知故6、交汇问题是指向量与立几、解几、数列、三角等的交汇题,创新题；例. （ 1（）2005 上海）直角坐标平面

21、xoy 中,如定点 A（ 1,2）与动点 P（ x,y）满意,就点 P 的轨迹方程是 ；（2（）2005 湖南）已知直线与圆相交于 A、B 两点,且,就 ；解：（ 1）由,有,即故应填（ 2）先由圆的几何性质,求得两向量的夹角是120,就故填；评注：第（ 2）小题关键是运用几何法求出两向量的夹角,再运用向量的数量积公式即可；四、向量在代数中的应用1. 等式证明证明等式一般说来都要进行纷杂的运算,假如等式具有向量代数某些特点时,应用向量学问较为简洁；例 1.已知,且 x, y,z,a, b, c 为非零实数,求证；分析：由实数 x,y,z 与实数 a, b, c 对应成比例,联想到向量平行,进而

22、联想到向量坐标；解：构造向量m与 n 的夹角为,就由此得 0 或所以 m/n 因此例 2.已知,求证；分析：题设与结论都与1 有关,由题设联想到向量；解：设n 与 m的夹角为,就又所以 cos 1, 0 所以 m/n 因此移项两边平方,经整理可得2. 不等式证明证明不等式主要依据有关向量的不等式| a | b | | ab | | a | b | .例.已知 a, b,c,且,求证；解：构造向量所以由向量不等式得即4例.设 a,b 为不等的正数,求证 ab 4 a 2b2 a3b3 2证明：构造向量 m a2 ,b2 , n a, b ,就a 3b 3 2 mn 2| m |2| n |2co

23、s2| m|2 | n |2 a 4b 4 a 2b 2 由于 a,b 为不相等的正数,所以mn ,即0 ,所以 a 4b4 a 2b2 a 3b3 2例. 已知 x0,y0 ,且 x+y=1,求证： 11 1x1 9 ；y证明：构造向量 a1,1 , bx1,1 ,就 a b y11,而 | a| xy| b |1111xy11x11 ,y由| a b | a | b|,得 |a b |2| a |2 | b|2 所以 11 1x1 1y1 2xy12 29xy例.设 a、b、c、d 均为正数,求证a 2b 2c2d 2ac 2bd 2证明：构造向量 m a, b , nc, d,由 | m

24、| |n | | mn |得a 2b 2c2d 2 ac 2bd 22221例.如 abc1 ,求证： abc证明：构造向量 ma, b, c , n3b, c, a , pc, a, b就 mnpabc, bca, cab1, 1, 1 于是由 | m| | n | |p | | mnp |有 3 a 2b2c 232221得 abc3将例 1 推广到更一般的形式,即有3. 求解无理函数的最值构造向量除有坚实的基础学问外,仍特殊要知道实现构造的理论基础：（ 1） |a b | a | b |）（ 2） | a | b | | ab| | a | b | .（3）,当且仅当方向相同且两两平行时

25、等式成立；接下来我们分题型争论：（1） 型（同号）利用解题例 6.求函数的最大值；解：构造向量由性质 1,得当且仅当,即时,（2） 型（ a0,即2t 2 +15t+70 ,解得 t1. 故所求实数 t 的取值范畴为 t 1.22辨析： 上面的解法好像合情合理,毫无破碇. 事实上,上面的解法忽视了向量夹角的范畴,以致出错. 由于两向量 e 1 与e 2 的夹角的2取值范畴是 0 , ,当 2te 1 7e 2 e 1te 2 0 时,2te 17e 2 与e 1te 2 的夹角范畴 0 , ,由题设条件知, 向量 2te 1+7e2 与e 1+t e 2 的夹角为锐角, 0,因此,在上面所求出

26、的x 的取值范畴须去掉 0 时的范畴 .设 2te+7 e e +t e 0 ,2t ,解得t14, 14,12127=t 214当 t 与 的夹角为 0. 所求 x 的取值范畴应是： , 7 11414 ,+ .2 时, 2t e 1+7 e 2二、忽视两向量夹角的定义致错e 1+t e 2 2, 2 2例 2 正ABC的边长为 1,且 BC=a , CA=b , AB=c ,求| a +b +c | 的值.错解：由于正 ABC 的边长为 1,所以, A=B=C=60且| a |=| b |=| c |=1 ,所以, a b =| a |b |cos C=12b 1,|2,由c a =1|

27、a +b +c | 2=a 2 +b 2+c 2+2a b +2b c +2c a =6,故| a +b +c |=6.2,同理可得c =辩析： 此题误以为 a 与b 的夹角为 BCA.事实上,依据两向量的夹角的定义,其夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段之间的夹角,范畴是 0,180 ,因此,向量 与 的夹角应为 180 - BCA. 其正确的解法如下：ab作 1 1 1CD=BC, a 与 b 的夹角即BC与CA的夹角为 180 - BCA=120 ,所以,a b =|a | |b |cos120=2,同理可得b c =2, c a = 2,由| a +b +c | 2 =a 2+

28、b 2+c 2+2a b +2b c +2c a =0,故| a +b +c |=0.三、忽视共线向量致错例 3、已知同一平面上的向量 a 、b 、c 两两所成的角相等,并且 | a |=1 , | b |=2 , | c |=3 ,求向量 a bc 的长度 .错解： 易知a 、b 、c 皆为非零向量,设 a 、b 、c 所成的角均为,就3=360 ,即 120 ,所以, a b | a | | b |cos120 1,同理 b c 3,c a 3,|a b c |由 a b 22c2 a b 2 b 22 2c 2 c a 3,故|a b c |=3. 辨析： 本例误以为 a 、b 、c 皆

29、为非共线向量,而当向量a 、b 、c ,共线且同向时,所成的角也相等均为0 ,符合题意 . 由于当向量a 、b 、 c 共线且同向时,所成的角均为0 , 所以| a +b +c |=| a |+| b |+| c |=6 ；所以,正确的答案向量a +b +c 的长度为 6 或3.四、导用实数的运算性质致错例 4 已知 a 、b 都是非零向量,且向量 a +3b 与 7a -5 b 垂直,向量 a -4 b 与 7a -2 b 垂直,求向量 a 与b 的夹角 . a +3b 7 a -5 b =07a 2+16a b -15 b 2=0错解： 由题意得 ,即 , a -4b 7a -2b =07

30、 a 2-30a b +8 b 2=0两式相减得 46a b -23 b 2=0,即 b 2 a - b =0 ,所以, b =0 （不合题意舍去）或2a - b =0 ,由 2a - b =0 知a 与b 同向,故向量 a 与b 的夹角为 0 . abab =0a =0辩析： 此题误用实数的运算性质,即实数a、b 如满意 ab=0 就必有 a=0 或 b=0,但对于向量 、如满意 就不肯定有 或b =0,由于由 a b =| a |b |cos知与 有关,当 =90 时, a b =0 恒成立,此时 a 、 b 均可以不为 0 . 其正确的解法如下：b=2 a b 代入 7 a由前知 2 2 2 2 +16 a b -15b=0 得 a=2 a b ,1 2 | a |所以, a 2 =b 2=2a b ,故 cos =a b21= .| a | | b | a 2|2