2022年极坐标与参数方程知识点总结大全.docx

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1、学习必备精品学问点1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 Px,y 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换的作用下 , 点 Px,y 对应到点, 称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换 .2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如下列图 , 在平面内取一个定点 , 叫做极点 , 自极点 引一条射线 , 叫做极轴; 再选定一个长度单位 , 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 , 这样就建立了一个极坐标系 .注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景 , 而平面直角坐标系以相互垂直的两条数轴为几何背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系就不

2、行 . 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 .(2) 极坐标设 M是平面内一点 , 极点 与点 M的距离|OM|叫做点 M的极径, 记为 ; 以极轴 为始边 , 射线 为终边的角 叫做点 M 的极角 , 记为 . 有序数对叫做点 M的极坐标 , 记作.一般地, 不作特殊说明时 , 我们认为可取任意实数 .特殊地 , 当点在极点时 , 它的极坐标为 0, R. 和直角坐标不同 ,平面内一个点的极坐标有很多种表示 .假如规定, 那么除极点外 , 平面内的点可用唯独的极坐标表示; 同时, 极坐标表示的点也是唯独确定的 .3. 极坐标和直角坐标的互化(1) 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极

3、点 ,x轴的正半轴作为极轴 , 并在两种坐标系中取相同的长度单位 , 如下列图 :(2) 互化公式 : 设是坐标平面内任意一点 , 它的直角坐标是, 极坐标是, 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表 :点直角坐标极坐标互化公式在一般情形下 , 由确定角时 , 可依据点所在的象限最小正角 .4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点 , 半径为 的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆1过极点, 倾斜角为的直线2过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注 :由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一 ,即都表示同一点的坐标 , 这与点的直角坐标的唯独性明

4、显不同 . 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满意极坐标方程即可 . 例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式 , 其中 , 只有的极坐标满意方程.二、参数方程1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中 , 假如曲线上任意一点的坐标都是某个变数 的函数 , 并且对于的每一个答应值 , 由方程组所确定的点都在这条曲线上 , 那么方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数的变数 叫做参变数 , 简称参数 , 相对于参数方程而言 , 直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程 .2. 参数方程和一般方程的互化(1) 曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式, 一般

5、地可以通过消去参数而从参数方程得到一般方程 .(2) 假如知道变数中的一个与参数 的关系 , 例如, 把它代入一般方程, 求出另一个变数与参数的关系, 那么就是曲线的参数方程 ,在参数方程与一般方程的互化中 , 必需使的取值范畴保持一样 .注：一般方程化为参数方程, 参数方程的形式不肯定唯独； 应用参数方程解轨迹问题, 关键在于适当地设参数, 假如选用的参数不同, 那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同；3. 圆的参数如下列图,设圆的半径为 ,点从初始位置动身,按逆时针方向在圆 上作匀速圆周运动,设,就；这就是圆心在原点,半径为 的圆的参数方程,其中的几何意义是转过的角度；圆心为,半径为 的圆

6、的一般方程是,它的参数方程为：；4. 椭圆的参数方程以 坐 标 原 点为 中 心 , 焦 点 在轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 为其参数方程为,其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角, 通常规定参数的范畴为0 ,2）；注：椭圆的参数方程中,参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角区分开来, 除了在四个顶点处, 离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范畴内）,在其他任何一点,两个角的数值都不相等；但当时,相应地也有,在其他象限内类似；5. 双曲线的参数方程以 坐 标 原 点为 中 心 , 焦 点 在轴 上 的 双 曲 线 的 标

7、准 议 程 为其 参 数 方 程 为, 其 中焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角；6. 抛物线的参数方程以坐标 原点 为顶 点, 开口向 右的 抛物线的参数方 程为7. 直线的参数方程经 过 点, 倾 斜 角 为的 直 线的 普 通 方 程 是而 过, 倾 斜角 为的直 线 的参 数方 程 为；注： 直线参数方程中参数的几何意义：过定点,倾斜角为的直线 的参数方程为,其中 表示直线 上以定点 为起点,任一点 为终点的有向线段 的数量,当点 在 上方时, 0；当点 在 下方时, 0；当点 与 重合时, =0；我们也可以把参懂得为以为原点,直线 向上的方向为正方向的数轴上的点数其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同；的坐标,