2022年圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲详细答案.docx

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1、知能梳理【椭圆】一、椭圆的定义1 、 椭 圆 的 第 一 定 义 ： 平 面 内 一 个 动 点 P 到 两 个 定 点F1 、F 2 的 距 离 之 和 等 于 常 数 PF1PF 22aF1 F2 ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆；这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距；留意：如 PF1PF 2F1F2 ,就动点 P 的轨迹为线段F1F2 ；如 PF1PF 2F1 F2 ,就动点 P 的轨迹无图形；二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a、b,焦点为 c）2x 2y 2（ 1）当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程：1 ab0 ,其中 ca 2b 2 ；a 2b 22y 2x 2（

2、 2）当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程：1 ab0 ,其中 c 2a 2b ；a 2b 2222、两种标准方程可用一般形式表示：x2y21 或者 mx+ny =1mn2三、椭圆的性质（ 以 xa 2y1 a2b 2b0 为例）1、对称性 ：2对于椭圆标准方程x2y1 ab0 ：是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对a 2b 2称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心；2、范畴 ：椭圆上全部的点都位于直线xa 和 yb 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满意xa ,yb ；3、顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点；2椭圆 x a 22y1 a b 2b

3、0与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1 a,0 ,A2 a,0 ,B1 0,b ,B2 0,b ；线段A1 A2 , B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,A1A22a ,B1 B22b； a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；4、离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e 表示,记作 e2cc ；2aa 由于 ac 0 ,所以 e的取值范畴是0e1 ；e越接近 1,就 c 就越接近 a ,从而 ba2c2越小,因此椭圆越扁；反之, e 越接近于 0, c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆就越接近于圆；当且仅当 ab 时, c0,这时两个焦点

4、重合,图形变为圆,方程为x2y 2a ； 离心率的大小只与椭圆本身的外形有关,与其所处的位置无关；x 2y 2留意：椭圆1的图像中线段的几何特点（如下图）：a 2b 2PF1PF2e PF1PF22a PM 1PM 22a 2PM 1PM 2c5、椭圆的其次定义：平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e,（ 0 e 1）的点的轨迹为椭圆（ | PF |de ）；PF1PF2即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形,也即上图中有e ；PM 1PM 2222xya焦点在 x 轴上：1（ a b 0）准线方程： xa 22焦点在 y 轴上： ya 2b2c22

5、x1（ a b 0）准线方程： ya b 2c6、椭圆的内外部需要更多的高考数学复习资料,请在淘. 宝. 上. 搜. 索. 宝. 贝.“ 高考复习资料高中数学 学问点总结例题精讲 具体解答 ” 或者搜 . 店. 铺. “龙奇迹【学习资料网】 ”x2y2x2y2（ 1）点P x0,y0 在椭圆a 2b 21ab0 的内部001a2b2x2y2x2y2（ 2）点P x , y 在椭圆1ab0 的外部00100a 2b 2a2b2四、椭圆的两个标准方程的区分和联系x 2y 2y 2x2标准方程1 ab01ab0a 2b 2a 2b 2图形焦点F1 c,0 ,F 2 c,0F10,c , F2 0,

6、c焦距性质范畴xF1F22ca , ybF1F22cxb , ya对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点 a,0 , 0, b0,a , b,0轴长长轴长 = 2a ,短轴长 = 2b离心率准线方程ec 0 aa2xce1a2yc焦半径PF1aex0 ,PF2aex0PF1aey0 ,PF2aey0五、其他结论2需要更多的高考数学复习资料,请在淘. 宝. 上. 搜. 索. 宝. 贝.“ 高考复习资料高中数学 学问点总结例题精讲 具体解答 ” 或者搜 . 店. 铺. “龙奇迹【学习资料网】 ”1、如P x, y x2在椭圆y1 上,就过P 的椭圆的切线方程是x0 xy0 y1000a2b 2

7、0a 2b2x2y22、如程是P0 x0, y0x0xy0 y在椭圆12 21外 ,就过 Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,就切点弦 P1P2 的直线方aba2b2223、椭圆 xy1 a b 0 的左右焦点分别为F1, F 2 ,点 P 为椭圆上任意一点F PF,就椭圆a 2b212的焦点角形的面积为S F1PF2b2 tan2x2y24 、 椭 圆a 2b 21 （ a b 0 ） 的 焦 半 径 公 式 ：| MF1 |aex0 ,| MF 2 |aex0 F1c,0,F2 c,0 M x0, y0 5、设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P 、Q两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结

8、AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M、N 两点,就 MFNF；6、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A 1、A2 为椭圆长轴上的顶点, A1P 和 A2Q交于点 M,A2P和 A1Q交于点 N,就 MFNF；x2y 2b 27、 AB 是椭圆221 的不平行于对称轴的弦,M x0, aby0 为 AB 的中点,就kOMk AB2 ,即a2Kb x0 ；0ABa 2 yx2y2x xy yx 2y 28、如P0 x0, y0在椭圆1 内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是0000a2b 2a 2b 2a 2b 229、如P x, y x2在椭圆y1 内,就过 Po 的

9、弦中点的轨迹方程是x2y2x0xy0y000a2b 2a2b 2a 2b 2【双曲线】一、双曲线的定义1 、 第 一 定 义 ： 到 两 个 定 点 F1 与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ | F1F2| ） 的 点 的 轨 迹（ PF1PF22aF1F2（ a 为常数）；这两个定点叫双曲线的焦点；要留意两点： （ 1）距离之差的肯定值；（ 2） 2a| F1F2| ；当|MF1| | MF2|=2 a 时,曲线仅表示焦点F2 所对应的一支； 当| MF1| | MF2|= 2a 时,曲线仅表示焦点F1 所对应的一支；当 2a=| F1F2| 时,轨迹是始终线上

10、以F1、F2 为端点向外的两条射线； 当 2a | F1F2| 时,动点轨迹不存在；2、其次定义： 动点到肯定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e e1 时,这个动点的轨迹是双曲线；这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线；二、双曲线的标准方程（b2c 2a 2 ,其中 |F1 F 2 |=2c ）需要更多的高考数学复习资料,请在淘. 宝. 上. 搜. 索. 宝. 贝.“ 高考复习资料高中数学 学问点总结 例题精讲 具体解答 ” 或者搜 . 店. 铺. “龙奇迹【学习资料网】 ”三、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线2、直线与双曲线四、双曲

11、线与渐近线的关系五、双曲线与切线方程六、双曲线的性质七、 弦长公式1、如直线 ykxb 与圆锥曲线相交于两点A、B,且x1, x2 分别为 A、B 的横坐标,22就 AB x1x2 y1y2, ABk 21 xxk 212xx4x x1k2,12121 2| a |112如 y1, y2 分别为 A、B 的纵坐标,就ABk21 y1y2k 21y1y24 y1 y2 ；2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B 两点,就弦长| AB |2b 2；a3、如弦 AB所在直线方程设为xkyb ,就 AB 1k2y1y2 ；4、特殊地,焦点弦的弦长的运算是将焦点弦转化为两条焦半径之和

12、后,利用其次定义求解八、焦半径公式九、等轴双曲线十、共轭双曲线需要双曲线的具体资料,请在淘. 宝. 上. 搜. 索. 宝. 贝.“ 高考复习资料高中数学 学问点总结例题精讲 具体解答 ” 或者搜 . 店. 铺. “龙奇迹【学习资料网】 ”【抛物线】一、抛物线的概念平面内与肯定点 F 和一条定直线 l l 不经过点 F距离相等的点的轨迹叫做抛物线；定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线；二、抛物线的性质三、相关定义1、通径： 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2 称为通径；通径： |H 1H2|=2P2、弦长公式：| AB |1k| x21x |211k2| y1y |23、焦

13、点弦： 过抛物线y22 px p0 焦点 F 的弦 AB ,如 A x , y , B x , y ,就11221| AF |x0 +, 22px1x2p 24, y1y2 p23弦长ABp x1x2 , x1x222 px1x2p,即当 x1=x2 时, 通径最短为 2p4如 AB的倾斜角为 ,就 AB =sin2（ 5）1AF+1= 2BFP四、点、直线与抛物线的位置关系需要具体的抛物线的资料,请在淘. 宝. 上. 搜. 索. 宝. 贝.“ 高考复习资料高中数学 学问点总结例题精讲 具体解答 ” 或者搜 . 店. 铺. “龙奇迹【学习资料网】 ”【圆锥曲线与方程】一、圆锥曲线的统肯定义平面

14、内的动点Px,y到一个定点Fc,0的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数 ee 0, 就动点的轨迹叫做圆锥曲线；其中定点Fc,0称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率；当 0e 1 时,轨迹为椭圆；当e=1 时,轨迹为抛物线；当e1 时,轨迹为双曲线；特殊留意：当 e0 时,轨迹为圆（ec ,当 c0, ab 时）；a二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质三、曲线与方程四、坐标变换1、坐标变换：2、坐标轴的平移：3、中心或顶点在 h,k的圆锥曲线方程需要更多的高考数学复习资料,请在淘. 宝. 上. 搜. 索. 宝. 贝.“ 高考复习资料高中数学学问点

15、总结例题精讲 具体解答 ” 或者搜 . 店. 铺.“龙奇迹【学习资料网】”精讲精练【例】以抛物线y283x的焦点F 为右焦点 , 且两条渐近线是x3 y0 的双曲线方程为 .解 ：抛 物 线y28 3x的 焦 点 F为 23,0 , 设 双 曲 线 方 程 为x23 y2,4323 229 ,双曲线方程为x9y 231【例】双曲线x 24y 2b2 =1 b N的两个焦点F1、F2, P 为双曲线上一点,| OP| 5,| PF1|,|F1F2|,|PF2| 成等比数列,就 b =；2解：设 F1 c,0 ）、 F2 c,0 、 P x, y ,就 | PF1| +| PF2 | =2| PO

16、| +| F1 O| 25 +c ,即 | PF1| +| PF2| 2222222250+2c ,2又|PF1| +| PF2| =| PF1| | PF2|+2| PF1| |PF2| ,依双曲线定义,有222| PF1 | | PF2|=4 ,依已知条件有 | PF | |1PF|=| F F | =4c2221 22221716+8c 50+2c , c ,3又 c2=4+b2 17 , b2 5 , b2=1；33【例】当 m 取何值时,直线 l ： yxm与椭圆 9 x2216 y144 相切,相交,相离yxm 解：9 x 216 y 2144 代入得9 x216 xm2144 化

17、简得25x232mx16m21440232m242516m2144576m14400当0, 即 m5时,直线 l 与椭圆相切；当0 ,即 5m5 时,直线与椭圆相交；当0 ,即 m5 或 m5 时,直线与椭圆相离；【例】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个焦点为F, M是椭圆上的任意点, | MF| 的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y=x 为轴的对称点 M1 和 M2,且 | M1M2|=4 103,试求椭圆的方程；222解： | MF| max=a+c, | MF| min=a c,就 a+c a c= a c =b ,222 b =4,设椭圆方程为xy1a 2

18、4设过 M1 和 M2 的直线方程为 y= x+m2222 22将代入得： 4+ a x 2a mx+a m 4a =0设 M1 x1,y1 、M2 x2, y2 , M1M2 的中点为 x0, y0 ,就 x0= 12 x1+x2=a 2 m4a2, y0= x0+m=4m；4a 2代入 y=x,得a 2 m4m,224a4a24a224 10由于 a 4, m=0,由知 x1+x2=0, x1x2=2 ,又| M1M2|=2x1x2 4x1 x23,4a222代入 x +x , x x 可解 a =5,故所求椭圆方程为：xy121 2=1 ；54【例】某抛物线形拱桥跨度是20 米,拱高 4

19、 米,在建桥时每隔4 米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长；需要更多的高考数学复习资料,请在淘. 宝. 上. 搜. 索. 宝. 贝.“ 高考复习资料高中数学 学问点总结 例题精讲 具体解答 ” 或者搜 . 店. 铺. “龙奇迹【学习资料网】”解：以拱顶为原点,水平线为x 轴,建立坐标系,22如图,由题意知,| AB|=20 , | OM|=4 , A、B坐标分别为 10, 4）、 10 , 4）设抛物线方程为 x = 2py,将 A 点坐标代入,得 100=2p 4 ,解得 p=12；5, 于是抛物线方程为x = 25y；由题意知 E 点坐标为 2 , 4 , E点横坐标也为 2,将 2 代

20、入得 y= 0；16,从而 | EE|= 4= ；故最长支柱长应为3.84 米；【例】已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1 与椭圆交于P 和 Q,且 OP OQ,| PQ|=10 ,求椭圆方程；222解：设椭圆方程为mx+ny =1 m 0, n 0 ,P x1, y1 ,Q x2, y2yx122由22mxny得 m+n x +2nx+n1=0, =4n 4 m+n n 1 0,即 m+n mn 0,1由 OP OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+ x1+x2+1=0 ,2n1mn2n+1=0, m+n=2mn又 2 4mnmn10 2,将 m+n=2,

21、代入得 m n= 3mn24由、式得 m= 1 , n= 3 或 m= 3 , n= 122x232223212故椭圆方程为+y =1 或x + 22222y =1；220x2y 2【例】已知圆 C1 的方程为 x2y1,椭圆 C2 的方程为23a21ab0 , C2 的离心率为b2 ,假如 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段AB恰为圆 C1 的直径,求直线 AB的方程和椭圆 C2 的方程；2yAC 1F2OF1xB解：由 ey 22c22222x 2, 得2,a2a2c ,bc . 设椭圆方程为22b21.b设 Ax1 , y1.Bx2 , y2 .由圆心为 2,1.x1x24,

22、y1y22.2又x122y11, x22y21,两式相减,得222xxy1212y20.2b2x1x2 x1b 22b 2x2 2 y1b2y2 y1y2 0,2b 2b2又 x1x 24.y1y 22.得 y1y2x1x21.直线AB的方程为y1 x2. 即 yx3将 yx3代入x 22b22y1,得b 23x 212 x182b 20.直线 AB与椭圆C 2 相交.224b720. 需要更多的高考数学复习资料,请在淘. 宝. 上. 搜. 索. 宝. 贝.“ 高考复习资料高中数学 学问点总结例题精讲 具体解答 ” 或者搜 . 店. 铺. “龙奇迹【学习资料网】 ”由 AB2 x1x22 x1

23、x 24 x1 x220 . 得 2324b 272320 .32解得b 28.故全部椭圆方程x 2y 21.168【例】过点 1 ,0 的直线 l 与中心在原点,焦点在x 轴上且离心率为2 的椭圆 C相交于 A、B 两点,直线2y= 1 x 过线段 AB的中点,同时椭圆 C上存在一点与右焦点关于直线l 对称,试求直线 l 与椭圆 C的方程；2y1y=xB2F2oF1xAc2a2b2122222解法一：由 e=ay2 在椭圆上；2,得a 2,从而 a =2b , c=b；设椭圆方程为x +2y =2b , A x1,y1 , B x2,2222222222y 2=02, y1y2x1x2x1x

24、22 y1y 2 就 x1 +2y1 =2b , x2 +2y2 =2b ,两式相减得, x1 x2 +2 y1 .设 AB中点为 x0, y0 ,就 kAB=x02 y0,又 x0, y0 在直线 y=1 x 上, y0= 122x0,于是x 02 y0= 1, kAB= 1,设 l 的方程为 y=x+1；右焦点 b, 0 关于 l 的对称点设为 x, y , 就y1xb解得x1yxb1y1b 22222由点 1 , 1 b 在椭圆上,得1+21 b =2b , b = 916,a 29 ；8所求椭圆 C的方程为8x 2916 y29=1 ,l 的方程为 y= x+1；解法二：需要更多的高考

25、数学复习资料,请在淘. 宝. 上. 搜. 索. 宝. 贝.“ 高考复习资料高中数学 学问点总结例题精讲 具体解答 ” 或者搜 . 店. 铺. “龙奇迹 【学习资料网】 ”由 e= ca2 ,得2a 2b21,a 2222222从而 a =2b , c=b；设椭圆 C的方程为 x +2y =2b , l 的方程为 y=k x 1 ,22222将 l 的方程代入 C的方程,得 1+2 k x 4k x+2k 2b =0,就 x1+x2=124k, y1+y2=k x1 1+ k x21= k x1+x2 2k=2k 212k；2k 2直线 l ： y= 12x 过 AB的中点 x1x2 , y1

26、2y2 ,就21k 2k 212k 2212k 2,解得 k=0,或 k=1；如 k=0,就 l 的方程为 y=0,焦点 F c, 0 关于直线 l 的对称点就是F 点本身,不能在椭圆C上,所以 k=0舍去,从而 k= 1,直线 l 的方程为 y= x 1 ,即 y= x+1,以下同解法一；解法三：设椭圆方程为x 2y 2a 2b21ab01直 线 l 不 平 行 于 y轴 , 否 就 AB 中 点 在 x轴 上 与 直 线 y1 x过AB2中 点 矛 盾 ； 故 可 设 直 线l的方程为 yk x1 22代入1消y整理得： k 2 a 2b 2 x 22k 2 a 2 xa2 k 2a 2b

27、 20 3设Ax1,y1 B x2,y2 , 知： x1x2222k a又y1y2k x1x 2 2k代入上式得：2k1k 2 a 2k 2a 2b2b 21b 212kx1x2, k2k22k 2 a 2, kk2ka 2, 又e222b 2ka22a 2a 2c 2 22e21 , 直线 l的方程为 y1x ,此时a 22b 2 , 方程 3 化为 3x24x22b 20,16241b 2 8 3b 21032b, 椭圆 C的方程可写成： x 32 y 22b2 4 , 又c 2a2b 2b 2 ,右焦点y0F b,0 , 设点 F关于直线1l的对称点 x0, y0 ,就 x0by012x

28、0b 2x01, y 01b ,又点1,1b在椭圆上,代入4得：121b2b2 , b33 ,43b29 ,16a 298x2y 2所以所求的椭圆方程为：199816【例】如图,已知 P1OP2 的面积为27 , P为线段 P1P2 的一个三等分点,求以直线OP1、 OP2 为渐近线且过点4P的离心率为13 的双曲线方程；2yP 2PoxP 1解：以 O为原点, P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如下列图的直角坐标系；2设双曲线方程为xy=1 a 0, b 0 ,由 e2= cb 213 2 ,得 b3 ；22a 2b21a 2a2a2两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 3 x 和

29、y= 3 x22设点 P1 x1,3x1 ,P2 x2,23x2 x10,x2 0 ,2就由点 P分 P P所成的比 =P1 P =2,得 P点坐标为 x12 x2, x12x2 ,1 2x 24y 2PP212 x2 x 2 x322x 2又点 P 在双曲线2a2 =1 上,所以29a9a12=1,29a2222即 x1+2x2 x12x2 =9a ,整理得 8x1x2=9a又 | OP1 |x129 x1 2413 x1 ,|OP | 23x2 29 x2 2413 x2 22 tan P1Ox2212sin P1OP21tan 2P1Ox19134S POP1 | OP1 | OP2 |

30、sinP1 OP2113x1 x21227 ,12224134即 x1x2=922222由、得 a =4, b =9；故双曲线方程为 x4y=1；92【例】需要更多的高考数学复习资料,请在淘. 宝. 上. 搜. 索. 宝. 贝.“高考复习资料高中数学 学问点总2结 例题精讲 具体解答 ” 或者搜 . 店. 铺. “龙奇迹【学习资料网】 ”过椭圆 C： y22a 2x1ab b 20) 上2一动点 P 引圆 O： x+ y = b的两条切线 PA、PB, A、B 为切点,直线 AB与 x 轴, y 轴分别交于 M、N两点；(1) 已知P 点坐标为 x0 , y0 并且x0y00,试求直线AB 方

31、程； 2如椭圆的短轴长为8 ,并且a 2| OM | 2b 2| ON |225 ,求椭圆 C的方程； 3椭圆 C 上是否存在点P,由 P 向圆 O所引两条切线相互垂直16如存在,恳求出存在的条件；如不存在,请说明理由；解： 1 设 A x1, y1 , B x2, y2切线 PA： x1 xy1 yb 2 , PB： x2 xy2 yb2P点在切线 PA、PB 上,x1 x0y1 y02bx2 x02y2 y0b直线 AB的方程为x0 xy0 yb 2 x y0002(2) 在直线 AB方程中,令 y=0,就 M bx0, 0 ；令 x=0,就 N0 , b2y02a|OM | 22b| O

32、N |222a y0b 2a 222x0 a252b2b 21622b=8 b=4代入得 a=25, b=162椭圆 C 方程： y25x1 xy0216(3) 假设存在点 P x0,y0 满意 PAPB,连接 OA、 OB由|P A|=|P B| 知,xy00四边形 PAOB 为正方形, |OP|=2 |O A| 222b 20又P点在椭圆 C 上 a 2 x 2b 2 y 2a2 b2由知 x 2b2 a 22b 2 2, ya 2 b2 ab0a2 b200022ab022ab22(1) 当 a 2b 0,即 a2 b 时,椭圆 C 上存在点,由P 点向圆所引两切线相互垂直；(2) 当 a2 2b20,即 ba2 b 时,椭圆 C 上不存在满意条件的P点【例】已知点 B（ 1, 0）, C（1, 0）, P 是平面上一动点,且满意| PC | BC |PB CB .（ 1）求点 P 的轨迹 C 对应的方程；（ 2）已知点 A（ m, 2）在曲线 C 上,过点 A 作曲线