2022年圆锥曲线知知识总结及典型题型.docx

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1、圆锥曲线知学问总结及典型题型1. 圆锥曲线的定义 ：椭圆中 , 与两个定点F1 , F 2 的距离的和等于常数2a ,且此 常数2a 肯定要大于| F1 F2 |,当常数等于| F1F 2|时,轨迹是线段F1F2 ,当常数小于| F1F 2|时,无轨迹；双曲线中 ,与两定点F1, F 2 的距离的差的肯定值等于常数2a ,且此常数2a 肯定要小于| F1F2 |,定义中的 “肯定值”与2a | F1 F2|不行忽视 ；如 2a | F1 F2|,就轨迹是以F1F2 为端点的两条射线,如 2a | F1 F2|,就轨迹不存在；如 2a =0,就轨迹是线段F1F2 的中垂线；如去掉定义中的肯定值就

2、轨迹仅表示双曲线的一支；比如： 已知定点,在满意以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（）ABCD （答： C）； 方程表示的曲线是（答：双曲线的左支）3. （ 2022 北京,理 4）如点 P 到直线 x1 的距离比它到点 2,0 的距离小 1,就点 P 的轨迹为（）A. 圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（ 1）椭圆 ：焦点在轴上时（）（参数方程,其中为参数）, 焦点在轴上时 1（）； 方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0,且 A, B,C 同号, A B）；比如：已知方程表示椭圆,就的取值

3、范畴为 （答：）； 如,且,就的最大值是,的最小值是 （答：）（ 2）双曲线 ：焦点在轴上：=1 ,焦点在轴上： 1（）；方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0,且 A, B 异号）；比如：双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,就该双曲线的方程 （答：）； 设中心在坐标原点,焦点F1 , F 2 在坐标轴上,离心率的双曲线 C过点,就 C的方程为（答：）（ 3） 抛物线 ：开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时；3. 圆锥曲线焦点位置的判定 （第一化成标准方程,然后再判定）：（ 1） 椭圆：由,分母的大小打算,焦点在分母大的坐标轴上；如已知方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,就 m

4、的取值范畴是_（答：（ 2） 双曲线 ：由,项系数的正负打算,焦点在系数为正的坐标轴上；（ 3） 抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号打算开口方向；焦点到原点的距离等于一次项系数的四分之一；4. 圆锥曲线的几何性质 ：椭圆双曲线抛物线1. 到两定点 F1 ,F 2 的距离之和为定值 2a2a|F 1F2| 的点的轨迹定义2. 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹 . （0e1）1. 到两定点 F1,F 2 的距离之差的肯定值为定值 2a02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 .轨迹点集： M MF1 + MF2 条件=2a, F 1F2 2a点集： M MF1 - MF2

5、 .= 2a, F2F2 2a.点集M MF=点 M到直线l 的距离 .图形方标准x2y 2x2y 21 ab 01 a0,b0y22 px方程a 2b 2a 2b 2程参数xya cos bsinx a secy b tanx 2 pt 2t为参数 方程参数为离心角）参数为离心角）y 2 pt范畴 a x a, b y b|x|a , yRx 0中心原点 O（ 0, 0）原点 O（ 0,0）a,0, a,0, 0,b ,顶点0, ba,0, a,00,0对称x 轴, y 轴；轴长轴长 2a, 短轴长 2bx 轴, y 轴;x 轴实轴长 2a,虚轴长 2b.焦点F1c,0, F2 c,0F1

6、c,0, F2 c,0F p ,0 2a 2x=准c线a 2x=cx=-p 2准线垂直于长轴,且在椭圆外.准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧.准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等 .焦距2c（c=a2b 2）2c（ c=a 2b 2 ）离心ce0率ae1cee1 ae=1 双曲线的渐近线方程是,就该双曲线的离心率等于 （答：或）； 双曲线的离心率为,就=（答： 4或）； 设双曲线（ a0,b0 ）中,离心率 e ,2,就两条渐近线夹角 的取值范畴是（答：）；（ 3）抛物线 （以为例）：范畴：；焦点：一个焦点, 其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶

7、点（ 0,0 ）；准线：一条准线； 离心率：,抛物线；如设,就抛物线的焦点坐标为（答：）；5、点和椭圆（）的关系 ：（ 1）点在椭圆外；（ 2）点在椭圆上1；（ 3）点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：（代数法）l联立消元得Cax2bxc0 （或ay 2byc0 ）当 a0 ,o直线与曲线相交（ 2 个交点）；o 直线与曲线相切（ 1 个交点）；o 直线与曲线相离（0 个交点）； 当 a0 ,曲线定不是椭圆；如曲线是双曲线,就直线l 与渐近线平行（ 1 个交点）或重合（0 个交点）；如曲线是抛物线；就直线l 与抛物线的对称轴平行或重合（1 个交点）；比如：直线 ykx 1=0 与椭圆恒有公共

8、点,就 m的取值范畴是（答： 1 , 5）（ 5, +）； 对于抛物线 C：,我们称满意的点在抛物线的内部,如点在抛物线的内部,就直线：与抛物线 C的位置关系是（答：相离）；特殊提示 ：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交；1,双曲线 过双曲线内一点的直线只有一个公共点的直线有2 条（ 2 与渐近线平行） 过双曲线上一点的直线只有一个公共点的直线有3 条（ 1 切线+2 与渐近线平行） 过双曲线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有4 条（ 2 切线 +2与渐近线平行）如点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别

9、与双曲线两支相切的两条切线,共四条；如在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条；留意：点在两条渐近线上但非原点,只有两条（1 切线 +2 与另一渐近线平行）；P 为原点时不存在这样的直线；2,抛物线 过抛物线内一点的直线只有一个公共点的直线有1 条（与对称轴平行） 过抛物线上一点的直线只有一个公共点的直线有1 条（ 1 切线+1 与对称轴平行） 过抛物线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有3 条（ 2 切线 +1与对称轴平行）比如： 过点作直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线有 （答： 2）； 过点 0,2

10、与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范畴为 （答：）；2 如直线 y=kx+2 与双曲线 x -y2=6 的右支有两个不同的交点, 就 k 的取值范畴是 （答：-,-1）； 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B 两点,如4,就满意条件的直线有条（答： 3）； 过抛物线的焦点作始终线交抛物线于P、Q两点, 如线段 PF与 FQ的长分别是、,就 （答： 1）； 设双曲线的右焦点为,右准线为,设某直线交其左支、右支和右准线分别于,就和的大小关系为 填大于、小于或等于 （答： 等于）； 求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）； 直线与双曲线交于、两点；当为何值时,、分别在双曲 线的两支上？当为

11、何值时, 以 AB为直径的圆过坐标原点？（答：；）；10、弦长公式 ：如直线与圆锥曲线相交于两点A、 B,且分别为 A、B 的横坐标,就,如分别为 A、B 的纵坐标,就, 如弦 AB所在直线方程设为,就；特殊地,焦点弦（过焦点2的弦）：焦点弦的弦长的运算,一般不用弦长公式运算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解；比如： 过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于A（ x 1, y 1）, B（ x 2, y2）两点,如 x1+x2=6, 那么 |AB| 等于（答： 8）； 过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B 两点,已知 |AB|=10 , O为坐标原点,就 ABC重心的横坐

12、标为（答： 3）；11、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或 “点差法” 求解；在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=；比如：假如椭圆弦被点 A（ 4, 2）平分,那么这条弦所在的直线方程是（答：）； 已知直线 y= x+1 与椭圆相交于 A、B 两点, 且线段 AB的中点在直线 L： x 2y=0 上,就此椭圆的离心率为 （答：）； 试确定 m的取值范畴, 使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：）；特殊提示 ：由于是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时

13、,务必别忘了检验！12你明白以下结论吗 ？（ 1）双曲线的渐近线方程为；（ 2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数,0）；21. （ 2022 北京,理 11）设双曲线 C 经过点 2,2 ,且与 y4方程为；渐近线方程为.22x21具有相同渐近线,就C 的【答案】xy3121；y2x（ 3）中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆m0, n0, mn ；双曲线方程可设为（ mn0 ）；（ 4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为,焦准距（焦点到相应准线的距离）为,抛物线的通径为,焦准距为；（ 5）通径是全部焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（ 6）如抛物线的焦点弦为 AB

14、,就；（ 7）如 OA、OB是过抛物线顶点 O的两条相互垂直的弦,就直线AB 恒经过定点13 动点轨迹方程 ：（ 1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范畴；（ 2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点 P 到定点 F1,0 和直线的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程（答：或）；待定系数法： 已知所求曲线的类型,求曲线方程先依据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数；如线段 AB过 x 轴正半轴上一点 M（m, 0）,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,就此抛物线方程为（答：）；定义

15、法：先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；0如1 由动点 P 向圆作两条切线 PA、PB,切点分别为A、B, APB=60,就动点 P 的轨迹方程为（答：）；（ 2） 点 M与点 F4,0 的距离比它到直线的距离小于1,就点 M的轨迹方程是 （答：）；3一动圆与两圆 M：和 N： 为（答：双曲线的一支）；都外切,就动圆圆心的轨迹代入转移法： 动点依靠于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,就可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P 是抛物线上任一点,定点为, 点 M分所成的比为 2,就 M的轨迹方程为（答：）；参数法： 当动

16、点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量（参数）表示,得参数方程,再消去参数得一般方程）；如（ 1）AB 是圆 O的直径,且 |AB|=2 a,M为圆上一动点,作 MNAB,垂足为 N,在 OM上取点,使,求点的轨迹；（答：）；（ 2） 如点在圆上运动,就点的轨迹方程是（答：）；（ 3） 过抛物线的焦点 F 作直线 交抛物线于 A、B 两点,就弦 AB的中点 M的轨迹方程是（答：）；留意 ：假如问题中涉及到平面对量学问,那么应从已知向量的特点动身,考虑挑选向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,仍是挑选向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化；如已知椭圆的左、右焦点分别是F1（ c, 0）、F2（c, 0）, Q是椭圆外的动点,满意点 P 是线段 F1Q与该椭圆的交点,点T 在线段 F2Q上,并且满意（ 1）设为点 P 的横坐标,证明；（ 2）求点 T的轨迹 C的方程；（ 3）试问：在点T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使 F1MF2 的面积 S=如存在, 求 F1MF2 的正切值； 如不存在,请说明理由 . （答：（ 1）略；（ 2）；（ 3）当时不存在；当时存在,此时 F1MF2 2）