2022年圆锥曲线方程知识点总结.docx

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1、学习好资料欢迎下载一、椭圆方程 .圆锥曲线方程1. 椭圆方程的第肯定义：PF 1PF 1PF 1PF 22aPF 22aPF 22aF1F 2 方程为椭圆, F1F 2 无轨迹,F1F 2 以F1, F 2为端点的线段椭圆的标准方程： i.中心在原点,焦点在 x 轴上：x 2a 2y 2b 21ab0.ii.中心在原点,焦点在 y 轴上：y 2a 2x2b 21ab0.一般方程：22AxBy1 A0, B0 .2椭圆的标准方程： xa22y1 的参数方程为b 2x a cosy b sin（一象限 应是属于 0）.2顶点： a,00,b) 或0,ab,0 .轴：对称轴： x 轴, y 轴；长轴

2、长2a,短轴长2b .焦点： c,0 c,0 或0,c0, c .焦距： F 1F 22c, ca 2b 2 .a2a 2准线： x或 y.cc离心率： ec 0 ae1 .焦点半径：x 2i. 设P x 0 , y0 为椭圆 2ay 221abb0 上的一点,F 1,F 2 为左、右焦点,就PF 1aex0 ,PF 2aex02ii. 设 Px 0 , y0 为椭圆 x2y1 ab0 上的一点,F 1 ,F 2 为上、下焦点,就b2a 2归结起来为 “左加右减 ”.PF 1aey0 , PF 2a ey0通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经 .坐标： d2b 22ac, b 和c, b2

3、2aa共离心率的椭圆系的方程：椭圆22xy1ab 0 的离心率是 ec ca2b2 ,方程a 2b 2ax 2y 2a 2b 2tt 是大于 0 的参数, ab 0 的离心率也是 ec 我们称此方程为共离心率的椭a圆系方程 .如 P 是椭圆：2xa22yb 21 上的点. F 1,F 2为焦点,如F 1PF 2,就PF 1F 2 的面积为b 2 tan2（用余弦定理与PF 1PF 22a 可得） . 如是双曲线,就面积为bcot.22二、双曲线方程 .1. 双曲线的第肯定义：PF 1PF 1PF 2PF 22aF 1 F 2 方程为双曲线2aF 1F 2 无轨迹 ybcos, bsin aco

4、s ,asin22PF 1PF 22aF 1F 2 以F 1,F 2的一个端点的一条射线N x2 双曲线标准方程： xa 2y1a, b b 20, y2a2x1 a, b b 20 .一般方程：Ax 2Cy 21 AC0 .N的轨迹是椭圆 i. 焦点在 x 轴上：顶点：a,0, a,0a 2焦点：c,0, c,0xyx2y 2准线方程 x渐近线方程：cab0 或 a2b 20ii.焦点在 y 轴上：a 2顶点：0,a, 0, a .焦点：0, c, 0,c) . 准线方程： y.cyxy 2x 2xa secxb tan渐近线方程：0 或 220 ,参数方程：或.ababyb tanya s

5、ec轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c.离心率 ec .a准线距2a 2c（两准线的距离）；通径2b2.a参数关系 c 2a 2b 2 , ec .ax 2y 2焦点半径公式：对于双曲线方程221ab（ F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原就：（与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号运算,而双曲线不带符号）MF 1ex0a构成满意MF 1MF 22aM F 1ex0ayMF 2MF1MF2MF 1ex0aey 0aey 0aey 0aM F 2ex0aF 1yMMMxxF 1F2MF 2MF 2ey 0a等轴双曲线：

6、双曲线 x 2y 2a 2 称为等轴双曲线, 其渐近线方程为 yx ,离心率 e2 .22共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的22共轭双曲线 . xy与 xy互为 共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：2222xy0 .a 2b 2aba 2b 2x 2y2x2y 2共渐近线的双曲线系方程：22ab0 的渐近线方程为22ab0 假如双曲线的渐22近线为 xy0 时,它的双曲线方程可设为 xyy0 .aba 2b 2直线与双曲线的位置关系：4321x5 3F1F23区域：无切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条；区域：即定点在双曲线上, 1 条切线, 2

7、 条与渐近线平行的直线,合计 3 条； 区域： 2 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点,1 条切线, 1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条； 区域：即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点, 可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条.2. 如直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.“ ”法2如 P 在双曲线 xa 22y1,就常用结论b 21：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.2：P 到焦点的距离为 m , n,就 P 到两准线

8、的距离比为 mn. 简证： d 1d 2三、抛物线方程 .PF 1e PF 2e=m .n3. 设 p0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质：y 22pxy 22 pxx 22 pyx 22 py图形 yyy yxxxxOOOO焦点pF 2,0pF ,0 2pF 0, 2pF 0,2准线x范畴xp 20, yRxp2x0, yRyp2xR, y0yp2xR, y0对称轴x 轴y 轴顶点（ 0, 0）离心率焦点2PFpx 21PFp214acb 2be1px1PFy1 2PFpy 2注： aybycx 顶点 .4a2a y 22 px p0 就焦点半径 PFx P ; x 222 py p0

9、就焦点半径为 PFy P .22通径为 2p,这是过焦点的全部弦中最短的. y 22 px（或 x 22 py ）的参数方程为x2 pt（或 x y2 pty2 pt2 pt 2）（ t 为参数） .四、圆锥曲线的统肯定义 .4. 圆锥曲线的统肯定义：平面内到定点F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹 .当 0e1 时,轨迹为椭圆；当 e1 时,轨迹为抛物线；当 e1 时,轨迹为双曲线；当 e0时,轨迹为圆（ ec ,当 c a0, ab 时） .5. 圆锥曲线方程具有对称性 . 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点 是关于原点对称的 .由于具有对称性, 所以欲证 A

10、B=CD,即证 AD 与 BC 的中点重合即可 . 注： 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线1到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a2a|F1F2|的点的轨1到两定点 F1,F2 的距离之差的肯定值为定值定义迹2a02a|F1F2|的点的轨迹抛物线2与定点和直线的距离之比2与定点和直线的距离之比与定点和直线的距为定值 e 的点的轨迹（.0e1）离相等的点的轨迹.标准方 方程x2y 21 ab 0x 2y 21a0,b0y2=2pxa 2b 2a 2b 2参数程 方程x a cosy bsinx asecy b tanx 2 pt 2y 2 ptt 为参参数 为离心角）参数

11、 为离心角）数范畴ax a,by b|x|a, yRx 0中心原点 O（ 0,0）原点 O（0,0）顶点a,0, a,0,0,b , 0, ba,0, a,00,0对称轴x 轴,y 轴；长轴长 2a,短轴长2bx 轴, y 轴;实轴长 2a,长 2b.虚轴x 轴焦点F1c,0, F2 c,0F1c,0, F2 c,0pF ,02焦距2c（c=a2b2）2c（ c=a 2b2 ）离心率准线ce0e1 aa 2x=ccee1 aa 2x=ce=1xp2渐近线y= b xa焦半径通径raex2b 2arexarxp 22b 22pa焦参数22aaPcc1. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程 .2. 共渐近线的双曲线系方程 .