2022年圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结 .docx

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1、.圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结1. 圆锥曲线的两个定义：（ 1）第肯定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中,与两个定点的距离的和等于常数 2a,且此常数 2a 肯定要大于,当常数等于时,轨迹是线段,当常数小于时,无轨迹；双曲线中,与两定点的距离的差的肯定值等于常数2a,且此常数 2a 肯定要小于,定义中的“肯定值”与不行忽视； 如,就轨迹是以为端点的两条射线, 如,就轨迹不存在；如去掉定义中的肯定值就轨迹仅表示双曲线的一支；比如：已知定点,在满意以下条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是ABCD（答： C）；方程表示的曲线是（答：双曲线的左支）（2）其次定义中要留意定点和定直线是

2、相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率 e；圆锥曲线的其次定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用其次定义对它们进行相互转化；如已知点及抛物线上一动点 P（ x,y ） , 就 y+|PQ| 的最小值是（答： 2）2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（ 1）椭圆：焦点在x 轴上时（参数方程,其中为参数）,焦点在y 轴上时；方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0,且A, B, C同号,AB）；比如：已知方程表示椭圆, 就 k 的取值范畴为 （ 答：）；（ 2）双曲线： 焦

3、点在 x 轴上：,焦点在 y 轴上：；方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0,且 A,B 异号）；比如：双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,就该双曲线的方程 （答：）；（ 3）抛物线：开口向右时,开口向左时,开口向上时,精选文档开口向下时；3. 圆锥曲线焦点位置的判定（第一化成标准方程,然后再判定）：（ 1）椭圆：由分母的大小打算,焦点在分母大的坐标轴上；如已知方程表示焦点在 y 轴上的椭圆, 就 m的取值范畴是 （答：）（ 2）双曲线：由项系数的正负打算,焦点在系数为正的坐标轴上；（ 3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号打算开口方向；特殊提示 ：（1）在求解椭圆、双曲线问

4、题时,第一要判定焦点位置,焦点、的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它打算椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b ,确定椭圆、双曲线的外形和大小,是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时,第一要判定开口方向；（ 2）在椭圆中,a 最大,在双曲线中, c 最大,；4. 圆锥曲线的几何性质：（ 1）椭圆（以为例）：范畴：；焦点： 两个焦点；对称性：两条对称轴x=0,y=0 ,一个对称中心（ 0,0 ）,四个顶点,其中长轴长为 2a,短轴长为 2b；准线：两条准线； 离心率：,椭圆,e 越小,椭圆越圆； e 越大, 椭圆越扁；比如：如椭圆的离心率,就 m的值是 （答： 3或）；（ 2

5、）双曲线（以为例）：范畴：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴x=0,y=0 ,一个对称中心（ 0,0 ）,两个顶点,其中实轴长为 2a,虚轴长为 2b, 特殊地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：,双曲线,等轴双曲线,e 越小,开口越小,e 越大,开口越大；两条渐近线：；比如：双曲线的渐近线方程是,就该双曲线的离心率等于 （答：或）；（ 3）抛物线（以为例）：范畴：；焦点：一个焦点,其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴y=0,没有对称中心,只有一个顶点（0,0 ）；准线：一条准线； 离心率：,抛物线；如设,就抛物线的焦点坐

6、标为 （答：）；5、点和椭圆的关系 ：（ 1）点在椭圆外；（ 2）点在椭圆上；（ 3）点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：（ 1）相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交, 但直线与双曲线相交不肯定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充 分条件,但不是必要条件；直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不肯定有,当直线与 抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件；比如：如直线y=kx+2 与双曲线的右支有两个不同的交点,就k 的取值范畴是（答：）；（ 2）相切：直线与椭圆相切；直线与双

7、曲线相切；直线与抛物线相切；（ 3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离；特殊提示：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交；假如直线与双曲线的渐近线平行时 , 直线与双曲线相交 , 但只有一个交点；假如直线与抛物线的轴平行时, 直线与抛物线相交, 也只有一个交点；（ 2）过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下：P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条

8、；P在两条渐近线上但非原点,只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线, 一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线；比如：过点 2,4作直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线有 （答： 2）；对于抛物线 C：,我们称满意的点在抛物线的内部,如点在抛物线的内部,就直线：与抛物线 C 的位置关系是（答：相离） ；求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；7、焦半径 （圆锥曲线上的点P 到焦点 F 的距离） 的运算方法 ：利用圆锥曲线的其次定义,转化到相应准线的距离,即焦半径r=ed ,其中 d 表示 P 到与 F

9、 所对应的准线的距离；比如：已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3,就点 P 到右准线的距离为（答：）；椭圆内有一点 p1,-1, F 为右焦点,在椭圆上有一点M,使之值最小,就点M的坐标为（答：）8、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：常利用第肯定义和正弦、余弦定理求解； 设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,就 在 椭 圆中 , , 且 当即 P为 短 轴 端 点 时 ,最 大 为；,当即 P 为短轴端点时,的最大值为 bc；对于双曲线的焦点三角形有：；比如：短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为,过作直线交椭圆于 A、B两点,就的周长为 （

10、答： 6）；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（ 1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（ 2）设 AB为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,就 AMF BMF； （ 3）设 AB为焦点弦, A、B 在准线上的射影分别为,如 P 为的中点,就 PAPB；（ 4）如 AO的延长线交准线于C,就 BC平行于 x 轴,反之,如过B点平行于 x 轴的直线交准线于C点,就 A, O, C 三点共线；10、弦长公式 ：如直线与圆锥曲线相交于两点A、 B,且分别为 A、 B 的横坐标,就,如分别为 A、B 的纵坐标,就,如弦 AB所在直线方程设为,就；特殊地,焦点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦

11、长的运算,一般不用弦长公式运算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解；比如：过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B 两点,已知 |AB|=10 , O为坐标原点,就 ABC重心的横坐标为 （答： 3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解；在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率；比如：假如椭圆弦被点 A（ 4 , 2 ）平分,那么这条弦所在的直线方程是（答：）；12. 你明白以下结论吗？（ 1）双曲线的渐近线方程为；（ 2）以为渐近线 （即与双曲线共渐近线） 的双曲线

12、方程为（ 为参数,0）；（ 3）中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；（ 4）椭圆、双曲线的通径 （过焦点且垂直于对称轴的弦）为,焦准距（焦点到相应准线的距离）为, 抛物线的通径为 2p,焦准距为 p；（ 5）通径是全部焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（ 6 ） 如 抛 物 线的 焦 点 弦 为 AB, 就 ；（ 7）如 OA、OB是过抛物线顶点 O的两条相互垂直的弦,就直线AB恒经过定点 2p,013. 动点轨迹方程：（ 1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范畴；（ 2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立x,y 之间的关系 Fx,y=0；如 已知

13、动点 P 到 定 点 F1,0和直 线 x=3 的 距 离 之 和等 于 4 ,求 P 的 轨 迹方 程（ 答： 或）；待定系数法：已知所求曲线的类型,求曲线方程先依据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数；如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（ m, 0） m0 ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,就此抛物线方程为（答：）定义法： 先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如点 M与点 F4,0的距离比它到直线的距离小于 1,就点 M的轨迹方程是（答：）；代入转移法：动点Px,y依靠于另

14、一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,就可先用 x,y的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 P 是抛物线上任一点,定点为A0,-1,点 M分所成的比为 2,就 M的轨迹方程为 （答：）；参数法：当动点Px,y坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示,得参数方程,再消去参数得一般方程）；如 如 点在 圆上 运 动 , 就 点的 轨 迹 方 程 是（ 答 ：）；留意：假如问题中涉及到平面对量学问,那么应从已知向量的特点动身,考虑挑选向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,仍是挑选向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化；如已

15、知椭圆的左、 右焦点分别是 F1（ c,0）、F2（ c,0）,Q是椭圆外的动点,满意点 P 是线段与该椭圆的交点, 点 T 在线段上,并且满意（ 1）设 x 为点 P的横坐标,证明；（ 2）求点 T 的轨迹 C的方程；（ 3）试问： 在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使 F1MF2的面积S=如存在,求 F1MF2的正切值；如不存在,请说明理由.（答：（ 1）略；（ 2）；（ 3）当时不存在；当时存在,此时 F1MF2 2）曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应留意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几

16、何性质”数形结合 如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式 、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类争论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范畴构造不等关系”等等.假如在一条直线上显现“三个或三个以上的点”,那么可挑选应用“斜率或向量”为桥梁转化.14、解析几何与向量综合时可能显现的向量内容：（ 1） 给出直线的方向向量；（ 2）给出与 AB 相交, 等于已知过 AB 的中点 ;（ 3）给出, 等于已知 P 是 MN的中点 ;（ 4）给出, 等于已知 P,Q 与 AB 的中点三点共线 ;（ 5 ） 给 出 以 下 情 形 之 一 ： ； 存 在 实 数； 如 存 在 实

17、数, 等于已知 A,B,C 三点共线（ 6） 给出,等于已知 P 是的定比分点,为定比,即（ 7） 给出, 等于已知, 即是直角 , 给出, 等于已知是钝角 ,给出, 等于已知是锐角；（ 8）给出, 等于已知 MP是的平分线 ;（ 9）在平行四边形 ABCD中,给出,等于已知 ABCD是菱形 ;（ 10） 在平行四边形 ABCD中,给出,等于已知 ABCD是矩形 ;（ 11）在 ABC 中,给出,等于已知 O 是 ABC 的外心（三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（ 12） 在 ABC中,给出,等于已知 O是 ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点） ；（ 13）在 ABC中,给出,等于已知 O是 ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点） ；（ 14）在 ABC中,给出等于已知通过 ABC的内心；（15）在 ABC中,给出等于已知 O是 ABC的内心（三角形内切圆的圆心, 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（ 16） 在 ABC中,给出, 等于已知 AD是 ABC中 BC边的中线