2022年圆锥曲线与方程单元知识总结.docx

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1、学习好资料欢迎下载圆锥曲线与方程单元学问总结、公式及规律一、圆锥曲线1. 椭圆1定义定义 1：平面内一个动点到两个定点F1、F2 的距离之和等于常数大于 |F1F2|,这个动点的轨迹叫椭圆 这两个定点叫焦点定义 2：点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ec 0 e 1 时,这个点的轨迹是椭圆 a(2) 图形和标准方程图81的标准方程为： 图8 2的标准方程为：(3) 几何性质x 2y 2a2 b 222xyb 2 a 2 1a b 0 1a b 0条件M|MF 1 |+|MF 2 |=2a , 2a |F1F2 |MF 1 |MF 2 |M|=点M到l 1的距离点M到l 2

2、 的距离= e, 0e 1标准方程x 2a2y 221ab 0bx 2y 2221ab 0 ba顶点A1 a, 0, A2a , 0 B10 , b , B20 , bA10 , a, A20 , a B1 b , 0 , B2b , 0轴对称轴： x 轴, y 轴长轴长 |A1A2|=2a ,短轴长 |B1B2|=2b焦点F1 c , 0, F2c , 0F10 , c, F20 , c焦距|F1F2|=2cc 0, c 2=a2 b2离心率e c 0e1aa2a2准线方程l 1 ：x； l 2 ：xcc|MF 1| a ex0 ,a 2a2l1 ： y；l 2 ： ycc|MF 1| a

3、ey0 ,焦点半径|MF 2| a ex0|MF 2| a ey0外22点和椭圆x 0y 01x, y 在椭圆上的关系a 2b 200内k 为切线斜率 ,y kx a2 k 2b 2k 为切线斜率 ,y kx b 2 k 2a2切线方程x 0 x a2y 0 y 1 b 2x 0 x b2y 0 y 1 a2x 0 , y 0为切点x 0 , y 0在椭圆外x 0 , y0 为切点x 0 , y0 在椭圆外切点弦方程x 0 x a2y0 yb 21x 0 x b2y 0 y 1a2|x x |1 + k 2 或|y y |1 +122112k弦长公式其中 x 1 , y 1,x2 , y2 为

4、割弦端点坐标,k 为割弦所在直线的斜率2. 双曲线1定义定义 1：平面内与两个定点F1、F2 的距离的差的肯定值等于常数小于 |F1F2|的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫双曲线的焦点定义 2：动点到肯定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数ee1时, 这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点(2) 图形和标准方程图 83 的标准方程为：x 2y22 2ab 1a 0, b 0图 84 的标准方程为：y 2x2a 2 b2 1a 0, b 0(3) 几何性质P M|MF 1 | |MF 2 | 2a , a 0 , 2a |F1F2| 条件|MF1|1P M| 点M到l 的距离|MF 2

5、 |点M到l 2 的距离e,e1 标准方程x y 22a2b 21a 0,b 0y x 22a2b21a 0,b 0顶点A1 a , 0, A 2a , 0A 10 , a, A20 , a轴对称轴： x 轴, y 轴,实轴长 |A1A2| 2a ,虚轴长 |B1B2| 2b焦点F1 c , 0, F2 c , 0F10 , c, F20 , c焦距|F1F2 | 2cc 0 , c 2 a2 b2c离心率ee1a2222准线方程渐近线al 1 ：xcb；l 2x 2： x acy 2al1： yca；l 2y 2： y acx 2y方程x 或 2a a b 2 0yx 或2b a b2 0共

6、渐近线的双曲线系方程xy 22a2b 2kk 0yx22a2b2 kk 0|MF 1| ex0 a ,|MF 1 | ey0 a ,22焦点半径|MF | ex a|MF| ey ay2kx0a2 k 2by2kx0b2 k 2ak 为切线斜率 bbk 或kk 为切线斜率 aak或kx 0 x ay 0 yay 0 y bx 0 xb切线方程1a2b 21a2b2x 0 , y 0 为切点xy a2 的切线方程：x 0 y2x 0 , y0为切点00y 0 x a2 x,y 为切点x 0 , y 0 在双曲线外x 0 , y 0在双曲线外切点弦方程x 0 x a2y 0 y b 21y 0 y

7、 a2x 0 x 1 b2|x x |1 + k 2 或|y y | 1 +121122k弦长公式其中 x 1 , y1 , x 2 , y 2 为割弦端点坐标, k 为割弦所在直线的斜率3. 抛物线1定义平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程,类型及几何性质,见下表：抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点,以一条坐标轴为对称轴； 方程不同,开口方向不同；焦点在对称轴上,顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离 p 的几何意义：焦点F 到准线 l 的距离弦长公式：设直线为ykxb抛物线为y 2

8、2px, |AB| 1k 2|x 2 x 1 |11 |y k 22 y 1|焦点弦长公式： |AB| p x 1 x24. 圆锥曲线 椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线的统肯定义与肯定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e 表示,当 0e 1 时,是椭圆,当 e 1 时,是双曲线,当e 1 时,是抛物线二、利用平移化简二元二次方程1. 定义缺 xy 项的二元二次方程Ax 2Cy2 Dx Ey F 0A 、 C 不同时为 0,通过配方和平移,化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程,称为利用平移化简二元二次

9、方程A C 是方程为圆的方程的必要条件A 与 C 同号是方程为椭圆的方程的必要条件A 与 C 异号是方程为双曲线的方程的必要条件A 与 C 中仅有一个为 0 是方程为抛物线方程的必要条件2. 对于缺 xy 项的二元二次方程：Ax 2 Cy2 Dx Ey F 0A ,C 不同时为 0利用平移变换,可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程,其方法有：待定系数法；配方法椭圆： xh 2a2 yk 2b21或 xh 2b 2yk 2a2 1中心 O h, kxh2 yk 2 yk 2 xh 2双曲线：a 2b 2 1或2a2 1 b中心 O h, k抛物线：对称轴平行于 x 轴的抛物线方程为y k 22px h或y k 2 2px h,顶点 O h, k对称轴平行于 y 轴的抛物线方程为：x h22py k 或x h2 2py k顶点 O h, k以上方程对应的曲线按向量a h, k 平移, 就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式