2022年圆锥曲线的定义方程和性质知识总结2.docx

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1、椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：第肯定义： 平面内与两个定点F1、F2 的距离之和等于常数 （大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆；这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距；其次定义：动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数就动点 M 的轨迹叫做椭圆；定点 F 是椭圆的焦点,定直线l 叫做椭圆的准线,常数e 叫做椭圆的离心率；e0e1 ,说明： 如常数 2a 等于 2c,就动点轨迹是线段如常数 2a 小于 2c ,就动点轨迹不存在；2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：F1F2 ；标准方程x 2y2a 2b 21ab0 中y 2x2a 2b21ab0心

2、在原点,焦点在x 轴上中心在原点,焦点在y 轴上图形范畴xa,ybxb,yaA1a,0顶点、 A2a,0A1 0, a、A20,aB1 0, b、B20, bB1b,0、B2b,0对称轴x 轴、 y 轴；长轴长 2a ,短轴长 2b ； 焦点在长轴上x 轴、 y 轴；长轴长 2a ,短轴长 2b ； 焦点在长轴上焦点F1c,0、F2c,0F1 0, c、F20,c焦距F1 F22cc0F1F22cc0离心率准线ex2y2c 0e1 a2x acey 2x2c 0e1 a2y ac参数方程与一般方a 2b21 的参数方程为a 2b 21的参数方程为程xa cosybsin为参数yacosxbsi

3、n为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径；焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时,设F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,P x0,y0 是椭圆上任一点,就PF1aex0,PF2aex0 ；推导过程： 由其次定义得PF1d1e（ d1 为点 P 到左准线的距离） ,就 PF1ed1a2e x0cex0aaex0 ；同理得PF2aex0 ；简记为：左“”右“” ；由此可见,过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数；x2y2a 2b 21； 如 焦 点 在 y 轴 上 , 就 为 y2a2x2b 21； 有 时 为 了 运 算 方 便 , 设mx 2ny 21m0,

4、mn) ；学问要点：1. 定义双曲线的定义、方程和性质（ 1）第肯定义：平面内到两定点F1、F2 的距离之差的肯定值等于定长2a（小于 |F 1F2| ） 的点的轨迹叫双曲线；说明： |PF 1|-|PF 2|=2a （ 2a|F 1F2| 时无轨迹；设 M是双曲线上任意一点, 如 M点在双曲线右边一支上, 就|MF1|MF 2| ,|MF1|-|MF 2|=2a ；如 M在双曲线的左支上,就 |MF1|1）的点的轨迹叫双曲线,定点叫焦点,定直线L 叫相应的准线；2. 双曲线的方程及几何性质标准方程x2y 2a2b 21a0,b0图形焦点F1（ -c , 0）, F2（ c,0）F1 （0,

5、-c ）,F2（ 0, c）顶点A1（ a,0）, A2（ -a ,0）A1 （0, a）,A2 （0, -a ）对称轴实轴 2a,虚轴 2b,实轴在 x 轴上,c 2=a2+b2实轴 2a,虚轴 2b,实轴在 y 轴上,c2 =a2+b2离心率准线方程el 1 : xc| MF 2 |a| MD |a 2a2c , l 2 : xcel 1 : yc| MF 2 |a| MD |a 2a 2c , l 2 : yc准线间距离为准线间距离为x渐近线方程a3. 几个概念y0, xy0 babx y0, xy0 baba（ 1）等轴双曲线： 实、虚轴相等的双曲线； 等轴双曲线的渐近线为y=x, 离

6、心率为2 ；（ 2）共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴x 2双曲线,例：2a222y 1 的共轴双曲线是xy1 ；b 2a 2b 2 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线；但有共同的渐近线的两双曲线,不肯定是共轴双曲线；双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上；抛物线标准方程与几何性质一、抛物线定义的懂得平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 为抛物线的焦点,定直线 l 为抛物线的准线；注： 定义可归结为“一动三定” ：一个动点设为M ；肯定点 F （即焦点） ；肯定直线 l（即准线）；肯定值 1（即动点 M 到定点

7、 F 的距离与它到定直线l 的距离之比 1） 定义中的隐含条件：焦点F 不在准线 l 上；如 F 在 l 上,抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线 圆锥曲线的统肯定义：平面内与肯定点F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹,当 0e1时,表示椭圆；当e1 时,表示双曲线；当e1 时,表示抛物线； 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系,在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径） 与动点到准线距离互化, 与抛物线的定义联系起来,通过这种转化使问题简洁化；二、抛物线标准方程1. 抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立直角坐标

8、系, 这样使标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点, 方程不含常数项, 形式更为简洁,便于应用；2. 四种标准方程的联系与区分：由于选取坐标系时,该坐标轴有四种不同的方向,因此抛物线的标准方程有四种不同的形式；抛物线标准方程的四种形式为：y22 px p0 ,x 22 py p0 ,其中： 参数 p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离,所以p 恒为正值； p 值越大,张口越大；p 等于焦点到抛物线顶点的距离；2标准方程的特点： 方程的左边是某变量的平方项, 右边是另一变量的一次项, 方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同, 一次项系数的符号打算抛物线的开口方向, 即对称轴为 x

9、轴时, 方程中的一次项变量就是 x , 如 x 的一次项前符号为正, 就开口向右, 如 x 的一次项前符号为负,就开口向左；如对称轴为 y 轴时,方程中的一次项变量就是 y , 当 y 的一次项前符号为正,就开口向上,如 y 的一次项前符号为负,就开口向下；三、求抛物线标准方程求抛物线方程时, 要依据题设条件, 弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确地挑选抛物线标准方程 . 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式,如能确定抛物线的形式,需一个条件就能解出待定系数p ,因此要做到“先定位,再定值”；注：当求顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线时,如不知开口方向,可设为x 2ay ,这样可防止争论；y

10、2ax 或 抛物线轨迹法：如由已知得抛物线是标准形式,可直接设其标准式；如不确定是否是标准式,由已知条件可知曲线的动点的规律,一般用轨迹法求之；四、抛物线的简洁几何性质方程设抛物线 y22 px p0焦点范畴对称性顶点离心率准线通径性质Fp ,02关于 xx0原点轴对称xp2 p 2注： 焦点的非零坐标是一次项系数的1 ；4 对于不同形式的抛物线,位置不同,其性质也有所不同,应弄清它们的异同点, 数形结合,把握方程与有关特点量,有关性质间的对应关系,从整体上熟悉抛物线及其性质；五、直线与抛物线有关问题1. 直线与抛物线的位置关系的判定：直线与抛物线方程联立方程组,消去x 或 y 化得形如 ax

11、 2bxc0 （ * ）的式子： 当 a0 时,（ * ）式方程只有一解,即直线与抛物线只有一个交点,此时直线与抛物线不是相切,而是与抛物线对称轴平行或重合； 当 a0 时,如 0 （ * ）式方程有两组不同的实数解 直线与抛物线相交； 如 =0 （ * ）式方程有两组相同的实数解 直线与抛物线相切； 如 0 （ * ）式方程无实数解 直线与抛物线相离 .2. 直线与抛物线相交的弦长问题 弦长公式：设直线交抛物线于A x1, y1, B x2 , y2,就 AB21k ABx Ax B或 AB11yk 2Ay B . 如直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时, 借助于焦半径公式处理：抛物线y 22

12、px p0 上一点M x0, y0的焦半径长是MFpx0,抛物线y02x 22 py p0 上一点 Mx0 , y0的焦半径长是 MFp 2六、抛物线焦点弦的几个常用结论设 AB 为过抛物线y2角为,就2 px p0 焦点的弦, 设 Ax1 , y1 , Bx2 , y2,直线 AB 的倾斜x1 x2p22, y1 y2p ；4 AB2 psin 2x1x2p ；以 AB 为直径的圆与准线相切；弦两端点与顶点所成三角形的面积p 2S AOB；2 sin112；FAFBp0 焦点 F 对 A、 B 在准线上射影的张角为90 ；七、抛物线有关留意事项1. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要留意利用韦达定理,采纳“设而不求”或“点差法”等方法,能防止求交点坐标的复杂运算. 同时在解决直线与抛物线相交问题时不能忽视0 这个条件；2. 解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时,多从抛物线的定义动身,实现抛物线上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化,并应留意焦点弦的几何性质.