2022年坐标系与参数方程知识点总结.docx

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1、坐标系与参数方程1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 Px,y是平面直角坐标系中的任意一点 ,在变换xx:yy0的0作用下,点 Px,y对应到点P x , y ,称 为平面直角坐标系中的坐标 伸缩变换 ,简称伸缩变换 .2. 极坐标系的概念 1极坐标系如下列图 ,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴;再选定一个 长度单位 ,一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向,这样就建立了一个 极坐标系 .注:i 极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以相互垂直的两条数轴为几何背景 ;ii 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关

2、系,而极坐标系就不行 .但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.2极坐标设 M 是平面内一点 ,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径 ,记为 ;以极轴 Ox 为始边 ,射线 OM 为终边的角xOM 叫做点 M 的极角,记为 .有序数对 , 叫做点 M 的极坐标,记作 M , .一般地 ,不作特殊说明时 ,我们认为0,可取任意实数 .特殊地 ,当点 M 在极点时 ,它的极坐标为 0,R.和直角坐标不同 ,平面内一个点的极坐标有很多种表示 .假如规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯独的极坐标, 表示;同时,极坐标 , 表示的点也是唯独确定的 .3. 极坐标和直角坐标的互化

3、(1) 互化背景 :把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴 ,并在两种坐标系中取相同的长度单位 ,如下列图 :(2) 互化公式 :设 M 是坐标平面内任意一点 ,它的直角坐标是 x, y ,极坐标是 , 0 ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如下 :极坐标 ,直角坐标 x, y :x cosy sin直角坐标 x, y极坐标 ,:2x2y2 ytan x0x在一般情形下 ,由 tan确定角时 ,可依据点 M 所在的象限最小正角 .4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆 心在极 点, 半径为 r 的圆r 02圆心为 r ,0 , 半径为 r 的圆2r cos22圆心为 r ,

4、,半2径为 r 的圆=2 rsin0圆心为 r ,半2r cos3径为 r 的圆圆心为 r , ,2半径为 r 的圆22=2r sin2过 极点 , 倾 斜角1R或R为 的直线20和0过点 a,0, 与极cosa轴垂直的直线22过点 a, 2,与极sina 0轴平行的直线注 : 由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一 , 即,2, 都表示同一点的坐标 ,这与点的直角坐标的唯独性明显不同 .所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满意极坐标方程即可 .例如对于极坐标方程, 点 M, 可以表示44为,2或,2或-5, 等多种形式 ,其中,只有 ,

5、 的极坐标满44444444足方程.5. 极坐标方程与直角坐标方程之间的互化x（1） 直角坐标方程极坐标方程 :ycos sin（2） 极坐标方程直角坐标方程：2c o sxs i nyx 2y 2t a ny x二、参数方程1. 参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中 ,假如曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数t 的函数xf t ,并且对于 t 的每一个答应值 ,由方程组所确定的点M x, yygt都在这条曲线上 ,那么方程就叫做这条 曲线的参数方程 ,联系变数 x, y 的变数 t叫做参变数 ,简称参数 ,相对于参数方程而言 ,直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程 .2. 参数

6、方程和一般方程的互化(1) 曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到一般方程 .(2) 假如知道变数x, y 中的一个与参数 t 的关系 ,例如x f t,把它代入一般方程,求出另一个变数与参数的关系y gt ,那么x f ty gt就是曲线的参数方程 ,在参数方程与一般方程的互化中 ,必需使 x, y 的取值范畴保持一样 .注：一般方程化为参数方程, 参数方程的形式不肯定唯独； 应用参数方程解轨迹问题, 关键在于适当地设参数, 假如选用的参数不同, 那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同；3. 圆的参数方程设圆 O 的半径为 r ,点 M 从初始位

7、置 M 0 动身,按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周运动,设M x,y ,就xr cos为参数 ；这就是圆心在原点 O ,半径yr sin为r 的圆的参数方程,其中的几何意义是 OM 0 转过的角度；圆心为 a, b ,半径为 r 的圆的一般方程是 xa2 yb2r 2 ,它的参数方程为：x ary brcos sin 为参数 ；4. 椭圆的参数方程x2y2以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为221abab0,其参数方程为x a cosy bsin 为参数,其中参数 称为离心角 ；y 2x2焦点 在 y 轴上的 椭圆 的标 准方程是a 2b 21ab0,其参 数方程 为x

8、 b cosy asin 为参数, 其中参数 仍为离心角 ,通常规定参数的范畴为 0,2）；注：椭圆的参数方程中,参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角区分开来, 除了在四个顶点处, 离心角和旋转角数值可相等外（即在 0 到 2的范畴内）,在其他任何一点,两个角的数值都不相等；但当0时,相应地也有 0,在其他象限内类似；225. 双曲线的参数方程以 坐 标 原 点 O 为 中 心 , 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 议 程 为x2y2x aseca2b21a0,b0,其 参 数 方 程 为y b tan 为参数, 其 中0, 且23,.22y2x2焦点

9、在 y 轴上的双曲线的标准方程是a 2b21a0, b0, 其参数方程为x b coty a csc 为参数,其中0, 2e且.以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角；6. 抛物线的参数方程以坐 标原 点 为顶点, 开口 向右 的抛物线y22px p0 的参 数方 程为x 2 pt 2y 2 ptt为参数 .7. 直线的参数方程经 过 点M 0x0,y0 , 倾 斜 角 为 的 直 线 l的 普 通 方 程 是2yy0tan xx0 ,过M x , y ,倾斜角为的直线 l 的参数方程为xx0t cost为参数 ；000注： 1.直线参数方程中参数t 的几何意义 ：yy0t sin过 定 点M

10、 0 x0,y0, 倾 斜 角 为的 直 线 l的 参 数 方 程 为x 0xct o st为参数 ,其中 t 表示直线 l 上以定点M 0 为起点,任一点M x, yy 0ysti n为终点的有向线段 M 0 M 的数量,当点 M 在 M 0 上方时, t 0；当点 M 在 M 0 下方时, t 0；当点 M 与 M 0 重合时, t =0；我们也可以把参数 t 懂得为以 M 0 为原点,直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同；2.直线上两点 A 、B 对应的参数分别为 t1、t2,就 A、B 两点之间的距离为|AB|=| t1-t2|