2022年柯西不等式的应用.docx

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1、精品学习资源柯西不等式的证明及相关应用摘要 ：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要学问点，它不仅历史悠久，形式美丽，结构奇妙，也是证明命题、讨论最值问题的一个强有力的工具；2关键词 ：柯西不等式柯西不等式变形式最值一、柯西 Cauchy 不等式：欢迎下载精品学习资源aba ba ba2a2a2b2b2b2a , bR, i1,2n欢迎下载精品学习资源1 12 2n n12n12nii欢迎下载精品学习资源等号当且仅当 a1a2an0 或 bikai 时成立 k 为常数， i1,2n 欢迎下载精品学习资源现将它的证明介绍如下：222方法 1证明：构造二次函数欢迎下载精品

2、学习资源abbbx222222f xa1xb1a2 xb2an xbn欢迎下载精品学习资源aa22=12na1b1a2b2anbn x12n欢迎下载精品学习资源由构造知fx0恒成立欢迎下载精品学习资源22n又a1a2an0欢迎下载精品学习资源4 a ba ba b4 a2a2a2b2b2b20欢迎下载精品学习资源a22221 12 2n n12n12n欢迎下载精品学习资源即 a1b1a2b2anbn122222abbbn12n欢迎下载精品学习资源当且仅当ai xbi0 i1,2n即 a1a2b1b2aan时等号成立bn欢迎下载精品学习资源方法 2证明 :数学归纳法欢迎下载精品学习资源1 当 n

3、1 时左式=2a1b1右式 =2a1b1欢迎下载精品学习资源明显左式=右式欢迎下载精品学习资源当 n2 时右式a 2a2b 2b 222a ba ba 2b 2a2b2欢迎下载精品学习资源12121 12 22 112欢迎下载精品学习资源2a1b12a2b22a1a2b1b2a1b22a2b2左式欢迎下载精品学习资源故 n1,2 时 不等式成立欢迎下载精品学习资源2222假设 nkk, k2时，不等式成立欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即a1b1a2b2ak bk122222abbbk12k欢迎下载精品学习资源aa当 bimai ， m 为常数， i1,2k或 a1a2ak0 时等号成

4、立欢迎下载精品学习资源aa22设 A=12kB= b12kCa1b1a2b2ak bk欢迎下载精品学习资源a2bb222ABC 2欢迎下载精品学习资源ab22就 Ak 1Bk 1ABAb2Ba222abk 1 k 1欢迎下载精品学习资源kk11C 22Caba 2 b 22Cab欢迎下载精品学习资源k 1 k 1k 1 k 1k 1 k 1欢迎下载精品学习资源a 2a2a 2a2b 2b 2b2b 22a ba ba bab欢迎下载精品学习资源12kk112kk 11 12 2k kk 1 k 1欢迎下载精品学习资源当 bimai ， m 为常数， i1,2k1 或 a1a2ak 1 时等号成

5、立欢迎下载精品学习资源即nk1 时不等式成立综合 12可知不等式成立二、柯西不等式的简洁应用柯西不等式是一个特别重要的不等式，学习柯西不等式可以提高同学的数学探究才能、创新才能等，能进一步开阔同学的数学视野，培育同学的创新才能，提高同学的数学素养；敏捷奇妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用敏捷广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：1、证明相关数学命题欢迎下载精品学习资源1证明不等式 例 1 已知正数 a, b,c 满意abc1证明a 2b 2c2a 3b3c33欢迎下载精品学习资源证明：利用柯西不等式23131312323232欢

6、迎下载精品学习资源a 2b 2c2a 2 a 2b 2b 2c2 c2a2b 2c2abc欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3332abc2abcabc1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源222又 因 为a 2b2c2abbcca在 此 不 等 式 两 边 同 乘 以 2 ， 再 加 上 ab2c2得 ：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22223 abcabc2ab2bc2ac2abc欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22a2b2ca3b3c3 abca3b3c33 a2b2c2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故 a3b3c3a 2b2c23欢迎下载精品学习资

7、源2三角形的相关问题欢迎下载精品学习资源例 2 设 p 是 ABC 内的一点，x, y, z是 p 到三边a, b, c 的距离， R 是 ABC 外接圆的半径，欢迎下载精品学习资源1222证明xyzabc 2 R欢迎下载精品学习资源证明：由柯西不等式得：xyzax1by1cz1axbycz111欢迎下载精品学习资源abc记 S 为 ABC 的面积，就abc欢迎下载精品学习资源axbycz2 S2abcabc欢迎下载精品学习资源4 R2 R欢迎下载精品学习资源xyzabcabbcca 2Rabc1abbcca 2R1a 2b2c22 R欢迎下载精品学习资源故不等式成立；2、求解有关数学问题常用

8、于求最值欢迎下载精品学习资源例 3已知实数a,b, c , d 满意abcd3 ， a22b 23c26d 25 试求 a 的最值欢迎下载精品学习资源解：由柯西不等式得，有欢迎下载精品学习资源2b 23c26d 21112362bcd欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即由条件可得，5a 23a 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解得， 1a2 当且仅当2b3c6d时等号成立，欢迎下载精品学习资源1 21 31 611欢迎下载精品学习资源代入 b1,c,d时，36amax2欢迎下载精品学习资源b1,c2 , d1 时a1欢迎下载精品学习资源33min例 4空间中一向量 a与 x 轴

9、， y 轴， z 轴正向之夹角依次为， ， ， ， 均非象限角 ，欢迎下载精品学习资源求1sin 24sin 29sin 2的最小值；欢迎下载精品学习资源解 :由柯西不等式得：欢迎下载精品学习资源12sin22sin3sin 2sin 2sin 2sin 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1sinsin2sinsin3sinsin 2欢迎下载精品学习资源1sin 24sin 29sin 2sin 2sin 2sin 2123 2欢迎下载精品学习资源222 sinsinsin2欢迎下载精品学习资源 2 1sin 24sin 2936sin 21sin 24sin 2918sin 2欢迎下

10、载精品学习资源1sin 24sin 29sin 2的最小值为 18欢迎下载精品学习资源三、巧用柯西不等式的变形解题很多高考数学问题的解决，假如仅从基础学问、基本公式的正面人手，就很难取得学问性的突破，而假如对基础学问、基本公式稍作变形，就会大大降低问题的难度，到达化难为易、化繁为简、化生疏为熟识的目的而学习柯西不等式，仅明白柯西不等式的基本公式仍是不够的，同学仍必需把握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特别情形，这样我们就可以在解题过程中更快更准地解决问题欢迎下载精品学习资源柯西不等式的变形公式：商定 biR , i1,2n欢迎下载精品学习资源aaa22212n有a1a

11、22ana1a2当且仅当an 等号成立欢迎下载精品学习资源2b1b2bnb1b2bnb1b2bn欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分析：由柯西不等式可得22aa12b1b22anb1b2bnbna1a2an欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 1设 x1 , x2 , xnR ,且x1x2xn1，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x2证明1x1x22x2x2x32xn 1xn 1xnn1x2xnx12欢迎下载精品学习资源证明：由变形公式得：2x1x1x22x2x2x32xn 1xn 1xn2xnxnx1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1x2x1x2x2x3xn12x

12、nx12欢迎下载精品学习资源例2 2007 年广州市一模理科已知 a，b0，且 a+b=1，求 1 2a+1 b的最小值112 / 2212 / 2132ababab222解析：a， b0，且 a+b=1，由柯西不等知 :2欢迎下载精品学习资源当且仅当2 / 21即 aab21, b22 时等号成立112ab32min2欢迎下载精品学习资源练习设 a1, a2,anN 且各不相同a 2a3，证明 a12223an1111n 223n欢迎下载精品学习资源证明：将a , a , a 从新排序设为aa a欢迎下载精品学习资源12n12nnn1111, a22,annk 1kk1ak就有 a欢迎下载精

13、品学习资源n2n而所需证目标：ak1nn2na11k2欢迎下载精品学习资源k 1 kk 1 kk 1 kk 1 kk 1 k欢迎下载精品学习资源结合柯西不等式得：欢迎下载精品学习资源2n1k 1 k2nak1k 1kakak1nkn2k 1k 1 akak1nkn2k 1k 1 k欢迎下载精品学习资源nn2得结论ak1kk 1k 1 k柯西不等式在解题中的几点应用一、引言柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是常常使用的理论依据，我们在教学中应赐予极大的重视；本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳；主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而到达使用柯西不等式证明有关的不

14、等式人民训练出版社高中代数下册“不等式”一章的习题中有这样一道题 P、15 练习第 2 题：欢迎下载精品学习资源求证： ac+bda 2b 2 *c 2d 2这题用比较法是很简洁证明的，这里用比值的方法来证明；欢迎下载精品学习资源证明：当 a=b=c 或 c=d=0 时，明显成立；欢迎下载精品学习资源假设 a 2 + b 20 且 c2 + d 20,就欢迎下载精品学习资源acbda2b 2 *c2d 2acbda2b 2 *c2d 2欢迎下载精品学习资源ac=a 2b 2 *c 2d 2a2c 2bda 2b2 *c 2d 2b2d 2欢迎下载精品学习资源2=22 *2abcd*2222ab

15、cd欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1 a 22 a 2b 2c 2c 2d 21 b 22 a 2b 2d 2c2d 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源=1故 ac+bdacbdacbda 2b 2 *c2d 2欢迎下载精品学习资源1式就是闻名的柯西不等式的一个简洁特例；柯西不等式的一般形式为：欢迎下载精品学习资源对任意的实数a1 , a2 , an及b1, b2 ,bn有欢迎下载精品学习资源n2na ba2nb 2 ,欢迎下载精品学习资源i ii 1iiii 1i 12欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n或a bna2 *nb 2 ,3欢迎下载精品学习资源iiii i

16、 1i 1i 1欢迎下载精品学习资源a1a2其中等号当且仅当b1b2an时成立当 bkbn0 时，认为 ak0,1kn.欢迎下载精品学习资源柯西不等式有很多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍；二、柯西不等式在解题中的应用a) 利用柯西不等式证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来到达目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证；欢迎下载精品学习资源例、已知 a 1b 2b 1a 21, 求证：a 2b 21 ；欢迎下载精品学习资源证明：由柯西不等式，得欢迎下载精品学习资源a 1b 2b 1a 2a 21a 2b 21b21欢迎下载精品

17、学习资源当且仅当b1a 21b 2a时，上式取等号，欢迎下载精品学习资源ab1a 2 .1b2 ,欢迎下载精品学习资源a2 b 21a2 1b 2 ,欢迎下载精品学习资源于是a 2b 21 ；b) 利用柯西不等式解无理方程或方程组用柯西不等式解无理方程，是先把方程的含有无理式的运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简洁的无理方程，进而得到简洁的整式方程，从而求得原方程的解；例：解方程欢迎下载精品学习资源x 21.x1 2x2112x1 2x x1；欢迎下载精品学习资源解：x 21.x1 21x 2x1

18、 2=x21 .1x1 2x2x1 2由柯西不等式知欢迎下载精品学习资源22x 21 .1x1x2x1xx1x1x即x欢迎下载精品学习资源x21122xx1 x1 221,x x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x 21 xx221x x11 21 x1 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当上式取等号时有xx11x x成立，即1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x 2x10 无实根 或x 2x10 ，即欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x152，经检验，原方程的根为欢迎下载精品学习资源x152用柯西不等式解方程组，也同样是利用柯西不等式取等号的条件，从而求得方程组的

19、解；例：解方程组xyz9xw6欢迎下载精品学习资源x4x 2 y 2z2w2 w2 y 2w2 486欢迎下载精品学习资源解：原方程组可化为欢迎下载精品学习资源xyz22xw6 xy922z x2w 486欢迎下载精品学习资源运用柯西不等式得9262欢迎下载精品学习资源x 2y 2z2 27,3x 2w 2182欢迎下载精品学习资源两式相乘，得欢迎下载精品学习资源x 2y 2z2 . x2w 2486欢迎下载精品学习资源当且仅当 x=y=z=w=3 时取等号；故原方程组的解为x=y=z=w=3.c) 柯西不等式证明不等式；很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多；如

20、常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式；有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要转变一下多项式的形状结构，认清其内在的结构特点，就可以到达利用柯西不等式解题的目的；下面略举一例加以说明；欢迎下载精品学习资源例：设 a1a211anan 1, 求证：110欢迎下载精品学习资源a1a 2a 2a3anan 1an 1a1欢迎下载精品学习资源分析：这道题初看好像无法使用柯西不等式，但转变其结构，我们不妨改为证：欢迎下载精品学习资源a1an 1 .1a1a21a2a311,anan 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明：为了运用柯西不等

21、式，我们将a1an1 写成欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源a1an 1aaa1a2aaa2a3aaanan 1于是.111欢迎下载精品学习资源12n21.a1an 1 .即1231a1a 21n1a 2a 31n 1a1a2a2a311anan 11,anan 1欢迎下载精品学习资源a1a 2故1a 2a 31anan 11a1an 110.欢迎下载精品学习资源a1a 2a 2a 3anan 1an 1a1欢迎下载精品学习资源2我们进一步观看柯西不等式，可以发觉其特点是： 不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和， 右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题

22、凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明；欢迎下载精品学习资源xx22例：求证：12222yyxy1211x2y2.欢迎下载精品学习资源证明：2xxyyxx222222121212222222yyxxyy2.121212欢迎下载精品学习资源y22由柯西不等式得欢迎下载精品学习资源xxy.2221212 x1 y1x2 y2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2其中等号当且仅当x1ky1， x2ky2时成立；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xxyy2221212x1 y1x2 y2欢迎下载精品学习资源xx221222x 1y 12yxxy2222121222x 2y 222yy2xy

23、1211x 2 y 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xxyy22221212x1y 1x 2y 2.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源其中等号当且仅当x1ky1， x2ky2时成立；欢迎下载精品学习资源巧拆常数：例：设 a 、 b 、 c 为正数且各不相等；欢迎下载精品学习资源222求证：abbcca9abc欢迎下载精品学习资源分析： a 、 b 、 c 均为正欢迎下载精品学习资源为证结论正确只需证：2 abc1 ab119bcca欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源而 2ab又 911d a1 2bbcca欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明：2abc1 ab11

24、bcca欢迎下载精品学习资源 abbcca111abbcca欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源111 29又 a 、 b 、 c 各不相等，故等号不能成立欢迎下载精品学习资源原不等式成立；重新支配某些项的次序：例： a 、 b 为非负数， a + b =1， x1 , x2R欢迎下载精品学习资源求证：ax1bx2 bx1ax2 x1x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分析：不等号左边为两个二项式积，a,bR , x1 , x2R ，每个两项式可以使柯西欢迎下载精品学习资源不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了；欢迎下载精品学习资源2证

25、：ax1bx2 bx1ax2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ax1bx2 ax2bx1 ax1x2bx1 x2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12ab 2 x xx1 x2欢迎下载精品学习资源 a + b =1结构的转变从而到达使用柯西不等式： 例假设 a b c114求证：abbcac分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了欢迎下载精品学习资源acabbcaca c0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源结论改为 a1c1ab114b c11欢迎下载精品学习资源证明：acab abbcbcabbc欢迎下载精品学习资源11 24114abbcac添项

26、：例： a,b, cR求证：abc3bccaab2欢迎下载精品学习资源分析：左端变形a1bbcca1c1 ab欢迎下载精品学习资源abc111b ccaab9欢迎下载精品学习资源只需证此式即可2欢迎下载精品学习资源ab证明bccac a3Cbbcb11acc1cb欢迎下载精品学习资源ab 1c111bccaab111欢迎下载精品学习资源 bc21 112caa1 292bbccaab欢迎下载精品学习资源abc bcacab93322欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源注：柯西不等式： a 、 bR ，就 ab2ab欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源推论： a1ba141b1 2其中

27、a 、 bR欢迎下载精品学习资源abc 1a11 9bc1112其中 a、 b 、 cR欢迎下载精品学习资源a1, a2 , a3, ,an， b1, b2 , ,bn 为正数，求证：证明：左边 =a1, a2 , ,an, 求证：10欢迎下载精品学习资源证明：左边 =a, b, c 为正数，且 a+b+c=1, 求证：证明：左边 =n 是不小于 2 的正整数，试证：证明：所以求证式等价于由柯西不等式有于是：又由柯西不等式有欢迎下载精品学习资源x1, x2 , ,xn 都是正数 n32 且，求证：证明：不等式左端即1，取就2由柯西不等式有3即综合 1 、 2 、3 、4 式得：d用柯西不等式证

28、明条件不等式欢迎下载精品学习资源柯西不等式中有三个因式nia 2，i 1nib 2，i 1nai bii 1而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不欢迎下载精品学习资源等式，我们需要设法嵌入一个因式嵌入的因式之和往往是定值，这也是利用柯西不等式的技巧之一；又柯西不欢迎下载精品学习资源等式中诸量 ai， bi具有广泛的挑选余地，任意两个元素ai， a j或 bi， bj的交换，可以得到不欢迎下载精品学习资源同的不等式，因此在证题时依据需要重新支配各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的便利；这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简洁举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等

29、式来证明条件不等式；例：已知 a,bR ， a+b=1, x1, x2R ,欢迎下载精品学习资源求证：ax1bx2. bx1ax2x1 x2欢迎下载精品学习资源分析：假如对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论；假设把其次个小括号内的前后项对调一下，情形就不同了；欢迎下载精品学习资源证明：ax1bx2. bx1ax2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源= ax1bx2. ax2bx1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ax1x22bx1x2欢迎下载精品学习资源2= abx1 x2x1 x2；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例、设x1, x2 , xnR , 求证：欢迎下

30、载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xx21x2x3xnx2xnx1x1x2xn欢迎下载精品学习资源1984 年全国高中数学联赛题欢迎下载精品学习资源证明：在不等式的左端嵌乘以因式x2x3xnx1，也即嵌以因式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1x2xn，由柯西不等式，得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2x1xx2x3xxn2xnx1. x2x3xnx1 欢迎下载精品学习资源2222欢迎下载精品学习资源x1x2xn 1xn.x2x2x2x2欢迎下载精品学习资源x2x1.xx3x2.xxnx1xn 1 .x23n1xn.x欢迎下载精品学习资源23x2x3n1xnx1欢迎下载精品学习资源x1x2x2于是 1xx2x3