2022年椭圆几何性质总结2.docx

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1、精品word学习资料可编辑资料- - - - - - - - - - - - - - - - - -细心整理 - - - 欢迎下载 - - -第 6 页,共 6 页一. 考试必“背”高二数学椭圆几何性质总结1 椭圆的两种定义：平面内与两定点 F1,F2 的距离的和等于定长 2aF1F2的点的轨迹, 即点集M=P| |PF1|+|PF 2 |=2a ,2a|F 1F2 | ；（ 2aF1 F2时为线段F1F2 ,2aF1F2无轨迹）；其中两定点 F1,F2 叫焦点,定点间的距离叫焦距；平面内一动点到一个定点和肯定直线的距离的比是小于1 的正常数的点的轨迹,即点集 M=P|PFd双曲线）2 标准方

2、程：e,0e1 的常数；（ e1为抛物线； e1为2（1） 焦点在 x 轴上,中心在原点： xa 22y1 （ab0）； b 2焦点 F1（ c,0）, F 2（ c,0）；其中 ca 2b 2（一个 Rt）2（2） 焦点在 y 轴上,中心在原点： ya 22x1（ a b 0）； b 222焦点 F1 （0, c）,F2（0,c）；其中 cab留意： 在两种标准方程中,总有ab0, c在长轴上；a 2b 2并且椭圆的焦点总22两种标准方程可用一般形式表示： Ax +By =1 （A0,B0,AB）,当 A B 时,椭圆的焦点在 x 轴上, A B时焦点在 y 轴上；23. 参数方程 ：椭圆

3、xa 22y1 a b 2b0 的参数方程x acos2y bsin 为参数 2224. 性质： 对于焦点在 x 轴上,中心在原点： xa坐标系下的性质： 范畴： |x| a, |y| b；y1（ a b 0）有以下性质： b 对称性：对称轴方程为 x=0,y=0,对称中心为 O（0,0）； 顶点： A1（ -a ,0）,A2（a,0）,B1（0,-b ）,B2（ 0, b）,长轴 |A 1A2|=2a ,短轴|B 1 B2|=2b ；（ a 半长轴长, b 半短轴长）； 准线方程： xaa 22；或 ycc 焦半径公式：P（x0,y0）为椭圆上任一点；|PF1|=r左 =a+ex0,|PF2

4、|=r右 =a-ex 0；|PF1|=r下=a+ey0, |PF2|=r上 =a-ey 0;PFmaxa c, PFacmin平面几何性质： 离心率：e= c（焦距与长轴长之比）a0,1；e 越大越,e0 是； 焦准距 pb ；准线间距2c2a 2c二、焦点三角形结论一： 如F1、x2F2 是椭圆 2ay1a b2b0 的两个焦点, P 是椭圆上一点,2且F1PF 2, 当 点 P位 于时最 大 ,cos=.|PF1|PF 2| 的最大值为.S F1PF2b 2 tan2结论二：过椭圆焦点的全部弦中通径 垂直于焦点的弦 最短,通径为；222结论三：已知椭圆方程为 xay1a b2b0, 两焦点

5、分别为F1 , F 2 ,设焦点三角形 PF1F2 ,PF1F 2,PF2 F1, 就椭圆的离心率 esin sin；sin结论四： 四心的轨迹22(1) 、 xy1ab0 焦点三角形内心的轨迹及其方程xy22222122abcb c ac 22(2) 、 xa 22y1ab b 20 焦点三角形重心的轨迹及其方程：9 x2a 29 y 2b 21 ab02(3) 、 x2y1ab0 焦点三角形垂心的轨迹及其方程：a 2b 222ya cx 2ba2x222(4) 、 xay1ab b0 焦点三角形的外心的轨迹及其方程2bc2 siny2sin2b（ | y |bc222b）三中点弦问题22A

6、B 是椭圆 xy1ab0) 的一条弦,中点 M坐标为 x, y ,就直线的斜率a2b 200为；四弦长问题 .(1) 斜率为 k 的直线与圆锥曲线相交于两点P1 x1, y1 , P2 x2, y2 ,就所得的弦长或.(2) 当直线的斜率不存在时,可求出交点的坐标,直接运算；(3) 经过圆锥曲线的焦点的弦 也称为焦点弦 的长度问题, 可利用圆锥曲线的定义,将其转化为利用,往往比利用弦长公式简洁；五 X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：2已知椭圆 x2y1ab0 ,就点 m , O到椭圆的最短距离为：a 2b 2 .六过椭圆上点切线问题2x2y221x0xy0 y1如 P0 x0, y0 在椭圆 a

7、b上,就过P0 的椭圆的切线方程是 a 2b 2.习题1x 2y 2、已知椭圆方程1 ,椭圆上点 M到该椭圆一个焦点的距离是 2,N是 MF1 的中259点, O是椭圆的中心,那么线段 ON的长是（）（ A） 2（B） 4（C）8（D） 3222xy12. 点 P 是椭圆 2516上一点, F1,F2 是椭圆的两个焦点,且 PF1F2 的内切圆半径为 1,当 P 在第一象限时, P点的纵坐标为.3. （2022 年上海卷理）已知、是椭圆（ 0）的两个焦点,为椭圆上一点,且 . 如的面积为 9,就=.4.（ 2022 北京文）椭圆的焦点为, 点 P在椭圆上,如,就；的大小为.x 2y 24. 已

8、知椭圆1 的左、右焦点分别为 F1 、F2,点 P 在椭圆上,如 P、F1、F2 是169一个直角三角形的三个顶点,就点P到 x 轴的距离为（）9（A） 5212x 2y 297（B）3（C） 79（ D） 45. 椭圆 9114的焦点F 、F ,点 P 为其上的动点, 当 F PF 为钝角时 , 点P 横坐标的取值范畴是.；6. 椭圆的中心在原点,焦点在 X 轴上,离心率 3/2 ,椭圆上各点到直线 l 的最短距离为 1,就该椭圆方程是？直线 l 为 x-y+5 2 0x 2y27. 设点 P（ x, y）在椭圆1 ,（ 1）试求点 P 到直线 xy50 的距离 d 的最169大值和最小值；

9、 2求 x+2y 的最小值8已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为的直线与相交于两点如,就（ A） 1（B）（C）（D）29. 已知点 P 是椭圆方程 x2 /3+y 2=1 上的动点, M,N是直线 L： y=x 上的两个动点,且满意|MN|=t ,就（1） 存在实数 t 使 MNP为正三角形的点仅有一个（2） 存在实数 t 使 MNP为正三角形的点仅有两个（3） 存在实数 t 使 MNP为正三角形的点仅有三个（4） 存在实数 t 使 MNP为正三角形的点仅有四个（5） 存在实数 t 使 MNP为正三角形的点有很多个上述命题中正确的序号是.10. 在平面直角坐标系中,点与点A（-1,1 ）关于

10、原点 O 对称, P 是动点,且直线 AP与 BP的斜率之积等于 . 求动点 P 的轨迹方程； 设直线 AP和 BP分别与直线 =3 交于点 M,N,问：是否存在点 P使得 PAB与 PMN的面积相等？如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,说明理由 探究（面积）11. （ 2007 四川理）设x2F1 、 F 2 分别是椭圆 4y 21的左、右焦点 .（）如 P 是该椭圆上的一个动点,求PF1 PF2的最大值和最小值 ;（）设过定点中O 为M 0,2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B ,且 AOB为锐角（其坐标原点）,求直线 l 的斜率 k 的取值范畴 . （最值、求取值范畴）12.

11、（本小题共 14 分）已知椭圆的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,点 A （23,0 是其左顶点,点 C 在椭圆上,且 ACCO0 , | AC | CO |（）求椭圆的方程；（）如平行于 CO 的直线 l 和椭圆交于并求此时直线 l 的方程（最值）M , N两个不同点,求CMN 面积的最大值,13.（2022 浙江文）（此题满分 15 分）已知抛物线： 上一点到其焦点的距离为（I ）求与的值；（ II ）设抛物线上一点的横坐标为,过的直线交于另一点,交轴于点,过点作的垂线交于另一点如是的切线,求的最小值SJS14（此题满分 14 分）x22已知椭圆 ay2b21ab0的离心率为63 ,长轴

12、长为 23 ,直线l : ykxm 交椭圆于不同的两点 A , B （）求椭圆的方程；uuuruuur（）如 m1,且OA OB0 ,求 k 的值（ O点为坐标原点）；（）如坐标原点 O 到直线 l 的距离为32 ,求AOB 面积的最大值FT15、（13 分）在直角坐标系 xOy 中,点 M 到 F1 3,0 、F2 3, 0 的距离之和是 4, 点 M 的轨迹 C 与x 轴的负半轴交于点 A ,不过点 A 的直线 l ：y kx b 与轨迹 C 交于不同的两点 P 和Q （1） ）求轨迹 C 的方程；uuuruuur（2） ）当APAQ0 时,求 k 与b 的关系,并证明直线 l 过定点（过定点）16. （ 12 分）已知点是椭圆上的一点, , 是椭圆的两个焦点 , 且满意. 求椭圆的方程及离心率 ; 设点, 是椭圆上的两点 , 直线, 的倾斜角互补 , 试判定直线的斜率是否为定值.并说明理由 . （定值）17 .2022年高考天津卷理科 20 本小题满分 12 分已知椭圆 0 的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4 求椭圆的方程； 设直线与椭圆相交于不同的两点已知点的坐标为- , 0 ,点 0 , 在线段的垂直平分线上,且 =4求的值