2022年圆锥曲线知识总结2 .docx

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1、1. 圆锥曲线的两个定义 ：（ 1）第肯定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中 ,与两个定点F , F的距离的和等于常数,且此常数肯定要大于,当常数等于时,轨迹是线段 F F,当常数小于时,无轨迹； 双曲线中 ,与两定点 F , F的距离的差的肯定值等于常数,且此常数肯定要小于 |FF| ,定义中的 “肯定值”与 |FF| 不行忽视 ；如 |FF| ,就轨迹是以 F ,F为端点的两条射线,如|FF| ,就轨迹不存在；如去掉定义中的肯定值就轨迹仅表示双曲线的一支；（ 2）其次定义中要留意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母 ”,其商即是离心率；圆锥曲线的其次定义,给出

2、了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用其次定义对它们进行相互转化；例题讲解 : 已知定点,在满意以下条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是AB CD （）； 方程表示的曲线是 已知点及抛物线上一动点 P（ x,y ） , 就 y+|PQ| 的最小值是 2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（ 1）椭圆 ：焦点在轴上时（）（参数方程,其中为参数）,焦点在轴上时 1（）；方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC 0,且 A, B, C同号, A B）（ 2）双曲线 ：焦点在轴上：=1 ,焦点在轴上： 1（）；方程表

3、示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0,且 A, B 异号）；（ 3）抛物线 ：开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时；例题讲解 : 已知方程表示椭圆,就的取值范畴为 如,且,就的最大值是,的最小值是 （ 双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,就该双曲线的方程 设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率的双曲线 C 过点,就 C 的方程为 3. 圆锥曲线焦点位置的判定 （第一化成标准方程,然后再判定） ：（ 1）椭圆 ：由,分母的大小打算,焦点在分母大的坐标轴上；（ 2）双曲线 ：由,项系数的正负打算,焦点在系数为正的坐标轴上；（ 3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号打

4、算开口方向；例题讲解已知方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,就 m的取值范畴是 4. 圆锥曲线的几何性质 ：（ 1）椭圆（以（）为例）：范畴：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴,一个对称中心（ 0,0 ）,四个顶点,其中长轴长为 2,短轴长为 2；准线：两条准线；离心率：,椭圆, 越小,椭圆越圆；越大,椭圆越扁（ 2）双曲线（以（）为例） ：范畴：或；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴,一个对称中心（ 0,0 ）, 两个顶点,其中实轴长为 2,虚轴长为 2,特殊地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：,双曲线,等轴双曲线, 越小,开口越小,越大,开口越

5、大；两条渐近线：（ 3）抛物线 （以为例）：范畴：；焦点：一个焦点,其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点（0,0 ）；准线：一条准线； 离心率：,抛物线；例题讲解1) 如椭圆的离心率,就的值是 _；2) 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时,就椭圆长轴的最小值为 3) 双曲线的渐近线方程是,就该双曲线的离心率等于 （4) 双曲线的离心率为,就=（ 设双曲线（a0,b0 ）中,离心率e ,2,就两条渐近线夹角 的取值范畴是 5) 设,就抛物线的焦点坐标为（；5、点和椭圆（）的关系 ：（ 1）点在椭圆外；（ 2）点在椭圆上 1；（

6、 3）点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系：（ 1）相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不肯定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件；直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不肯定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件（ 2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；（ 3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离；例题22 如直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点

7、,就 k 的取值范畴是 直线 y kx 1=0 与椭圆恒有公共点,就 m的取值范畴是 过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B 两点,如 AB 4,就这样的直线有条特殊提示：（ 1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交；假如直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交, 但只有一个交点； 假如直线与抛物线的轴平行时 , 直线与抛物线相交, 也只有一个交点；（ 2）过双曲线 1 外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双

8、曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条； P 在两条渐近线上但非原点,只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线； P 为原点时不存在这样的直线；（ 3） 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线例题 过点作直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线有 过点 0,2与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范畴为 ； 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于 A、B 两点,如4,就满意条件的直线有条（； 对于抛物线 C：,我们称满意的点在抛物线的内部,如点在抛物线的内部,就直线：与抛物线C 的位置关系是 ； 过

9、抛物线的焦点作始终线交抛物线于P、Q 两点,如线段 PF 与 FQ的长分别是 、 ,就 ；设双曲线的右焦点为,右准线为,设某直线交其左支、右支和右准线分别于,就和的大小关系为 求椭圆上的点到直线的最短距离； 直线与双曲线交于、两点；当为何值时,、分别在双曲线的两支上？当为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点？7、焦半径（圆锥曲线上的点 P到焦点 F 的距离）的运算方法： 利用圆锥曲线的其次定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离；例 已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3,就点 P 到右准线的距离为 ； 已知抛物线方程为,如抛物线上一点到轴的距离等于

10、 5,就它到抛物线的焦点的距离等于； 如该抛物线上的点到焦点的距离是 4,就点的坐标为 点 P 在椭圆上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,就点P 的横坐标为 抛物线上的两点 A、B 到焦点的距离和是5,就线段 AB的中点到轴的距离为 椭圆内有一点,F 为右焦点, 在椭圆上有一点 M,使之值最小,就点 M的坐标为 8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第肯定义和正弦、 余弦定理求解； 设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的 距离 分 别 为, 焦 点的 面 积 为, 就 在 椭 圆中 , ,且当即为短轴端点时,最大为；,当即为短轴端点时,的最大值为bc ；对于

11、双曲线的焦点三角形有：；例题 短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为、,过作直线交椭圆于A、B 两点,就的周长为； 设 P 是 等 轴 双 曲 线右 支 上 一 点 , F1 、 F2 是 左 右 焦 点 , 如, |PF 1|=6 ,就该双曲线的方程为； 双曲线的虚轴长为4,离心率 e,F1、F2 是它的左右焦点,如过F1 的直线与双曲线的左支交于A、B 两点,且是与等差中项,就； 已知双曲线的离心率为2,F1、F2 是左右焦点, P 为双曲线上一点, 且,求该双曲线的标准方程9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（ 1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（ 2）设 AB为焦点弦, M 为

12、准线与 x 轴的交点,就 AMF BMF；（ 3）设 AB为焦点弦, A、B 在准线上的射影分别为A ,B ,如 P为 A B 的中点, 就 PAPB；（ 4） 如 AO的延长线交准线于C,就 BC平行于 x 轴,反之,如过B 点平行于 x 轴的直线交准线于C点,就 A, O, C 三点共线；10、弦长公式： 如直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为 A、B的 横 坐 标 , 就, 如分 别 为 A、 B 的 纵 坐 标 ,就,如弦 AB 所在直线方程设为,就；特殊地,焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的运算,一般不用弦长公式运算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解；2例题

13、 过抛物线 y=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x 1,y 1）,B（ x2,y 2）两点,如 x1+x 2=6,那么 |AB| 等于 过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B 两点,已知 |AB|=10 ,O为坐标原点, 就 ABC重心的横坐标为 11、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用“韦达定理” 或“点差法” 求解；在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=；在双曲线中 , 以为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率k=； 在 抛 物 线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=；例题 假如椭圆弦被点 A（ 4, 2）平分,那么这条弦所在的直线方程是 已知直线 y= x+1 与椭圆相交于

14、A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 L： x 2y=0 上,就此椭圆的离心率为 ； 试确定 m的取值范畴,使得椭圆上有不同的两点关于直线对称；12你明白以下结论吗？（ 1）双曲线的渐近线方程为；（ 2 ）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数,0（ 3）中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；（ 4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为,焦准距（焦点到相应准线的距离）为,抛物线的通径为,焦准距为；（ 5）通径是全部焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（ 6 ） 如 抛 物 线的 焦 点 弦 为AB , 就；（ 7）如 OA、OB是过抛物线顶点 O 的两条

15、相互垂直的弦,就直线AB恒经过定点13 求曲线方程（ 1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范畴；（ 2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立之间的关系；例题讲解 : 已知动点 P 到定点 F1,0 和直线的距离之和等于 4,求 P的轨迹方程待定系数法： 已知所求曲线的类型, 求曲线方程先依据条件设出所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数；例题讲解 :线段 AB过 x 轴正半轴上一点 M（ m, 0）,端点 A、B 到 x 轴距离之积为2m,以x轴 为对 称 轴 , 过A、 O 、 B三点 作 抛物线 , 就 此 抛 物 线 方 程为；定义法： 先依据条件得出动点的

16、轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例题讲解 1 由动点 P 向圆作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,APB=600,就动点 P 的轨迹方程为；（ 2） 点 M与点 F4,0的距离比它到直线的距离小于 1,就点 M的轨迹方程是（）； 3一动圆与 两 圆 M：和 N：都 外 切 , 就 动 圆 圆 心 的 轨 迹为（代入转移法：动点依靠于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,就可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；例题讲解 :动点 P 是抛物线上任一点, 定点为, 点 M分所成的比为 2,就 M的轨迹方程为；参数法：当动点坐标之间的关系不易直接

17、找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量（参数）表示,得参数方程,再消去参数得一般方程）；例题: （1）AB是圆 O的直径,且 |AB|=2 a, M为圆上一动点,作MNAB,垂足为 N,在 OM上取点,使,求点的轨迹； （ 2）如点在圆上运动,就点的轨迹方程是（）； （ 3）过抛物线的焦点 F作直线交抛物线于 A、B 两点,就弦 AB的中点 M的轨迹方程是（）；例题: 已知椭圆的左、右焦点分别是 F1（ c ,0）、F2（ c ,0）, Q是椭圆外的动点,满意点 P 是线段 F1Q与该椭圆的交点,点T 在线段 F2Q上,并且满意（ 1）设为点 P 的横坐标,证明；（ 2） 求点 T 的轨迹 C的方程；（ 3）试问：在点 T 的轨迹 C上,是否存在点M,使 F1MF2 的面积S=如存在,求 F1MF2 的正切值；如不存在,请说明理由.