2022年圆锥曲线方程知识点总结2 .docx

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1、 8. 圆锥曲线方程学问要点一、椭圆方程 .精品资料1. 椭圆方程的第肯定义：PF1PF1PF1PF 2PF 2PF 22aF1F 2 方程为椭圆 ,2aF 1F 2 无轨迹,2aF 1F 2 以F 1,F 2 为端点的线段x 2222y1ab0椭圆的标准方程： i. 中心在原点,焦点在 x 轴上： ab.22yx1ab0ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上： a2b 2.一般方程：22AxBy1 Ax2a 20, By 21b 20 .x a cosy bsin椭圆的标准方程：的参数方程为（一象限 应是属于02 ）.顶点： a,00,b) 或0,ab,0 .轴：对称轴： x 轴, y 轴；长

2、轴长2a,短轴长2b .焦点： c,0c,0 或0,c0, c .焦距：F 1F 2a 2x2c, cya 2b 2 .a 2准线：c或c.e离心率：c 0 ae1.焦点半径：2222xy1 ab0PF 1aex0 ,PF 2aex0i. 设P x 0 , y 0 为椭圆 ab上的一点,F 1,F 2 为左、右焦点,就P x, y 2222xy1 ab0F , FPF 1aey0,PF 2aey0ii. 设0 0为椭圆 ba上的一点,1 2 为上、下焦点,就由椭圆其次定义可知：pF1a 2e x0 caex0 x00,pF 2a2ex0 cex0a x00归结起来为“ 左加右减 ”.留意：椭圆

3、参数方程的推导：得N a cos, bsin方程的轨迹为椭圆 .2d通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经 .坐标：2b 22ac, b2a和c, b ax22 共 离 心 率 的 椭 圆 系 的 方 程 ： 椭 圆 ay 22 1 abb0的 离 心 率 是ec ca 2b 2 x2y 2t tec22a,方程 ab是大于 0 的参数, ab0 的离心率也是a我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.2222xy1如 P 是椭圆： ab上的点 . F 1,F 2 为焦点,如F 1PF 2,就 PF1 F 2 的面积b 2 tan为2 （用余弦定理与PF 1PF 22a 可得） . 如是双曲线,就面

4、积y为b2 cot2 . bcos , bsin acos , asinN xN的轨迹是椭圆二、双曲线方程 .PF 1PF 1PF 2PF 22aF 1F 22aF 1F 2方程为双曲线无轨迹1. 双曲线的第肯定义：PF 1PF 22aF 1F 2 以F 1,F 2 的一个端点的一条射线双曲线标准方程：x 2y2a 2b21a,by 20,2a2x1a, b0 b2.一般方程：Ax 2Cy 21 AC0 . i. 焦点在 x 轴上：a 2xy顶点：a,0, a,0焦点：c,0, c,0x准线方程0c渐近线方程： ab或x 2y 2220abii. 焦点在 y 轴上：顶点： 0, a, 0, a

5、 .焦点： 0, c, 0,yc) . 准线方程：a 2yx0c.渐近线方程： ab22yx或 a2b 20,参数方程：x a secy b tanxb tan或 ya sec.轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a,虚轴长为 2b ,焦距 2c.ec离心率a .2a 2准线距 c2b 2（两准线的距离）；通径a.c 2a 2b 2 , ec参数关系a .焦点半径公式：对于双曲线方程x 2y 21a 2b 2（ F1 ,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原就：（与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号运算,而双曲线不带符号）MF 1ex0aM F 1ex0ayy

6、MF 2ex0a构成满意MF 1MF 22aM F 2ex0aF 1MMMxxF1F 2MF 2MF1MF2MF 1MF 2ey 0aey 0aey 0aey 0a等轴双曲线：双曲线x2y 2a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx ,离心率 e2 .共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做22xy已知双曲线的共轭双曲线 . a 2b 2xy22与 a 2b2互为共轭双曲线,它们具有x 2y 2220共同的渐近线： ab.22xy02222xy0共渐近线的双曲线系方程：a 2b 2的渐近线方程为 ab假如双xy曲线的渐近线为 ab0时,它的双曲线方程可设为22yxy0

7、a2b 2.y1 xp3,1 432x例如：如双曲线一条渐近线为2且过2,求双曲线的方程？122xy0 3,1 5 322F 1F 2xy1解：令双曲线的方程为：4,代入2得 823.直线与双曲线的位置关系：区域：无切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计2 条；区域：即定点在双曲线上, 1 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计3条；区域： 2 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点, 1 条切线,1 条与渐近线平行的直线, 合计 2 条；区域：即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结： 1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目

8、可能有 0、2、3、4 条.2. 如直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入“ ”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.x22如 P 在双曲线 ay 221b,就常用结论1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.2： P 到焦点的距离为 m = n,就 P 到两准线的距离比为mn. 简证：PF 1d 1ed 2PF 2em=n .三、抛物线方程 .3. 设 p0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质：2y2 pxy 22 pxx 22 pyx22 py y y图形yyxxxxOOOOp2焦点F ,0pF ,02pF 0,2pF 0, 2pp2222x0, yRx0

9、, yRxR, y0xR, y0准线xxypyp范畴对称轴x 轴y 轴顶点（ 0, 0）离心率焦点e1PFpx21PFpx21PFpy21PFpy21注：ay 2bycx 顶点4acb 4ab 22a .P2PFx2PPFy y2 px p0 就焦点半径2 ; x2 py p0 就焦点半径为2 .通径为 2p,这是过焦点的全部弦中最短的.22 y2 px （或 x2 py ）的参数方程为x 2 pt 2y 2 pt（或x 2 pt2y 2 pt）（ t 为参数）四、圆锥曲线的统肯定义 .4. 圆锥曲线的统肯定义： 平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹 .当 0e1时

10、,轨迹为椭圆；当ee1 时,轨迹为抛物线；当ce1 时,轨迹为双曲线；当 e0 时,轨迹为圆（a ,当 c0, ab 时） .5. 圆锥曲线方程具有对称性 . 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.由于具有对称性,所以欲证AB=CD,即证 AD 与 BC 的中点重合即可 .注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线1. 到两定点 F1,F2 的距离 之和 为 定 值定义2a2a|F1F2|的 点 的轨迹1. 到两定点 F1,F2 的距离之差的肯定值为 定值 2a02a|F1F2| 的点的轨迹2. 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（

11、0e1 ）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 .方 准x2a 2方程y122b ab 0x2y2a2b 21 a0,b0y2=2pxx程 参ya cos bsinx asecy b tanx 2 pt 2y 2 ptt 为参参数数方程为离心角）参数为离心角）数范畴a x a,b y b|x|a,yRx 0中心原点 O（ 0, 0）原点 O（ 0, 0）顶点a,0, a,0,0,b ,0, ba,0, a,00,0对称轴x 轴, y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bx 轴, y 轴;实轴长 2a,x 轴虚轴长 2b.p焦点F1c,0, F2 c,0F1c,0, F2 c,0F ,02焦距2c（ c=a 2b2）2c（c=a 2b 2 ）离心率准线ec 0 aa 2e1ec e1 aa 2e=1xpx=cx=c2渐近线by= a x焦半径raexrexarxp2通径2ba22ba22p焦参数2a2accP方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程 .共渐近线的双曲线系方程 .Welcome ToDownload .欢迎您的下载,资料仅供参考！