2022年圆锥曲线知识点总结22.docx

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1、精品word学习资料可编辑资料- - - - - - - - - - - - - - - - - -细心整理 - - - 欢迎下载 - - -第 21 页,共 16 页1. 椭圆（1） 椭圆概念圆锥曲线的方程与性质平面内与两个定点F1 、 F2 的距离的和等于常数2 a （大于| F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆；这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距；如 M 为椭圆上任意一点,就有| MF1 | MF 2|2a ；x2y2y2x 2椭圆的标准方程为：221 （ abab0 ）（焦点在 x 轴上）或2a21 （ abb0 ）（焦点在 y 轴上）；注：以上方程中a,b 的大小

2、ab0 ,其中 b 2a2c2 ；x2y2在a 2b 2y2 1 和 a2x221 两个方程中都有 abb0 的条件,要分清焦点的位置,只要看x2 和y2 的分2母的大小；例如椭圆xy1 （ m0 , n0 , mn ）当 mn 时表示焦点在x 轴上的椭圆；当 mn 时2mn表示焦点在 y 轴上的椭圆；（2） 椭圆的性质x2y2范畴：由标准方程a 2b 21 知| x |a , | y |b ,说明椭圆位于直线xa , yb 所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里,如以y 代替 y 方程不变,所以如点x, y 在曲线上时,点 x,y 也在曲线上,所以曲线关于 x 轴对称,同理,以x 代替 x 方

3、程不变,就曲线关于y 轴对称；如同时以x 代替 x , y 代替 y方程也不变,就曲线关于原点对称；所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称；这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、 y 轴的交点坐标；在椭圆的标准方程中,令x 0 ,得 yb ,就B10,b ,B2 0, b 是椭圆与 y 轴的两个交点；同理令y 0 得 xa ,即A1 a,0 ,A2 a,0 是椭圆与 x 轴的两个交点；所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点；同时,线段A1 A2 、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,

4、它们的长分别为2a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；由椭圆的对称性知： 椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在RtOB2 F2 中,| OB2 |b ,| OF2 |c ,| B2F2 |a ,且 |OF|2| B F |2| OB |2 ,即 c2a 2b 2 ；2222离心率： 椭圆的焦距与长轴的比ec 叫椭圆的离心率； aca0 , 0e1,且 e 越接近 1, c 就越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁；反之,e 越接近于 0 , c 就越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆；当且仅当ab时, c0 ,两焦点重合,图形变为圆,方

5、程为x2y2a 2 ；2. 双曲线（ 1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的肯定值为非零常数的动点轨迹是双曲线（| PF1 | PF2|2a ）；注 意 ： 式 中 是 差 的 绝 对 值 , 在02a| F1F2| 条 件 下 ；| PF1 | PF2|2a 时 为 双 曲 线 的 一 支 ；| PF2 | PF1 |2a 时为双曲线的另一支（含F1 的一支）；当 2a| F1F2 | 时, | PF1 | PF2 |2a 表示两条射线；当 2a| F1F2 | 时, | PF1 | PF2 |2a 不表示任何图形；两定点F1, F2 叫做双曲线的焦点,| F1F2| 叫做焦距；（ 2）双曲

6、线的性质范畴：从标准方程x 2y2a 2b21 ,看出曲线在坐标系中的范畴：双曲线在两条直线xa的外侧；即2x2a 2 , xa 即双曲线在两条直线xa 的外侧；x 2对称性：双曲线22ay1 关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点b 2222是双曲线 xay1 的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心；b顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点；在双曲线x2y 2a 2b 21的方程里,对称轴是x, y 轴,所以令 y0 得 xa ,因此双曲线和 x 轴有两个交点x 2A a,0 A2 a,0 ,他们是双曲线2a2y1 的顶点；b 2令 x0,没有实根,因此

7、双曲线和y 轴没有交点；1） 留意：双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点）,双曲线的顶点分别是实轴的两个端点；2） 实轴：线段A A2 叫做双曲线的实轴,它的长等于2a, a 叫做双曲线的实半轴长；虚轴：线段B B2 叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b 叫做双曲线的虚半轴长；渐近线：留意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线；从x2y2图上看,双曲线1 的各支向外延长时,与这两条直线逐步接近；a2b2等轴双曲线：1） 定义： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线；定义式： ab ；2） 等轴双曲线的性质： （ 1）渐近线方程为：yx ；（

8、 2）渐近线相互垂直；留意以上几个性质与定义式彼此等价；亦即如题目中显现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立；3） 留意到等轴双曲线的特点ab ,就等轴双曲线可以设为： x 2y20,当0 时交点在 x 轴,当0时焦点在 y 轴上；2留意 x222y1 与 yx1 的区分：三个量a,b, c 中a,b 不同（互换） c 相同,仍有焦点所在的坐标169916轴也变了；3. 抛物线（1）抛物线的概念平面内与肯定点 F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 不在定直线 l 上 ；定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线；方程 y 22 pxp0

9、叫做抛物线的标准方程；pp留意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上, 焦点坐标是 F（2（2）抛物线的性质,0 ）,它的准线方程是x；2一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情形,所以抛物线的标准方程仍有其他几种形式： y22 px , x22 py , x2 py . 这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程2如下表：标准方程y22 pxy22 pxx22 pyx22 py p0 p0 p0 p0l yoFx图形ylFoxyFlox焦点坐标 p ,0 2p ,020, p 20,p 2准线方程xp 2范畴x0xpypyp222x0y0y0对称性x 轴x

10、轴y 轴y 轴顶点0,00,00,00,0离心率e1e1e1e1说明：（1）通径： 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（ 2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线；（ 3）留意强调 p 的几何意义：是焦点到准线的距离；4. 高考数学圆锥曲线部分学问点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中,假如某曲线C看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程fx,y=0的实数解建立了如下的关系：1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线；点与曲线的

11、关系：如曲线C 的方程是 fx,y=0,就点 P0x 0,y 0 在曲线 C 上fx 0,y0=0 ；点 P0x 0,y 0 不在曲线C 上fx 0,y 0 0；两条曲线的交点：如曲线C1, C2 的方程分别为 f 1x,y=0,f2x,y=0,就点 P0x 0,y 0 是 C1, C2 的交点f1 x0 , y0 f 2 x0 , y0 0方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解,曲线就没0有交点；二、圆：1、定义： 点集 M OM=r ,其中定点 O为圆心,定长r 为半径 .2222、方程： 1 标准方程：圆心在ca,b,半径为 r 的圆方程是 x-a+

12、y-b=r222圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x +y =r2 一般方程：当 D2+E2-4F 0 时,一元二次方程x 2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为D ,E 半径22222是DE 224 F；配方,将方程 x +y +Dx+Ey+F=0化为 x+D 2+y+2E 2= D 22E 2 - 4F 422当 D +E -4F=0 时,方程表示一个点 -D ,-2E ;222当 D +E -4F 0 时,方程不表示任何图形.（ 3）点与圆的位置关系已知圆心 Ca,b,半径为 r, 点 M的坐标为 x 0,y 0 ,就 MC r点 M在圆 C内,MC =r点 M在圆 C上

13、, MC r点 M在圆 C内,其中 MC =x 0- a2y 0- b 2 ；（ 4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点；直线和圆的位置关系的判定：i判别式法； ii利用圆心 Ca,b 到直线 Ax+By+C=0的距离 dAaBbCA2B2与半径 r 的大小关系来判定；三、圆锥曲线的统肯定义：平面内的动点 Px,y到一个定点 Fc,0的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数 ee 0, 就动点的轨迹叫做圆锥曲线；其中定点Fc,0称为焦点,定直线l 称为准线,正常数e 称为离

14、心率；当 0 e1 时,轨迹为椭圆；当e=1 时,轨迹为抛物线；当e 1 时,轨迹为双曲线；四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线1. 到两定点 F1 ,F 2 的距离之和为定值 2a2a|F 1F2| 的点的轨迹定义2. 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹 .（ 0e1）1. 到两定点 F1,F 2 的距离之差的肯定值为定值2a02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 .轨迹条件点集： M MF1+ MF2=2a, F 1F2 2a.点集： M MF1 - MF2 .= 2a, F2F2 2a.点集 M MF =点 M到直线 l 的距离 .图形方标准x22y1 ab 022x

15、y1a0,b0y22 px方程a 2b 2a 2b 2程参数xacos ybsinx asecy b tan2x 2 pty 2 ptt为参数 方程参数为离心角）参数 为离心角）范畴 axa, byb|x|a , yRx0中心原点 O（ 0, 0）原点 O（ 0, 0）a,0, a,0,顶点0,b , 0, ba,0, a,00,0对称轴x 轴, y 轴；x 轴, y 轴;x 轴长轴长 2a, 短轴长 2b实轴长 2a,虚轴长 2b.焦点F1c,0, F2 c,0F1c,0, F2 c,0F p ,0 22x= acx= a2cx=-p 2准线准线垂直于长轴,且在椭圆外.2222准线垂直于实轴

16、, 且在两顶点的内侧 .准线与焦点位于顶点两侧, 且到顶点的距离相等 .焦距2c（ c=ab）2c（ c=ab）离心率【备注 1】双曲线：ec 0 ae1ec e1 ae=1等轴双曲线：双曲线x 2y 2a2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx ,离心率 e2 .2222共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线, 叫做已知双曲线的共轭双曲线. xy与2ab22x 2yab互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：x 2y20 .a 2b222共渐近线的双曲线系方程：xya2b 2x 2y20 的渐近线方程为xy22a 2b 20 假如双曲线的渐近线为xy0 时,ab它的双曲线方程

17、可设为22ab【备注 2】抛物线：0 .（ 1）抛物线y2 =2pxp0 的焦点坐标是 p ,0 ,准线方程 x=-2p,开口向右；抛物线2y2 =-2pxp0的焦点坐标是 -p ,0 ,准线方程 x=2p ,开口向左；抛物线2x2 =2pyp0 的焦点坐标是 0,p ,准线方程y=-2p,开2口向上；抛物线x2 =-2py （ p0）的焦点坐标是（0,-p ）,准线方程 y=2p ,开口向下 .2（ 2）抛物线y 2 =2pxp0 上的点 Mx0,y0 与焦点 F 的距离 MF ppx0；抛物线2y2 =-2pxp0上的点 Mx0,y0与焦点 F 的距离 MFx02（ 3）设抛物线的标准方程

18、为到准线的距离为 p.y2 =2pxp0 ,就抛物线的焦点到其顶点的距离为p ,顶点到准线的距离2p ,焦点22（ 4）已知过抛物线y 2 =2pxp0 焦点的直线交抛物线于A、B 两点,就线段 AB称为焦点弦, 设 Ax1,y1,Bx2,y2,2就弦长 AB = x1x2 +p 或 AB2 psin 2 为直线 AB的倾斜角 , y1 y2p , x1 x2p, AF 4p AFx12叫做焦半径 .五、坐标的变换：（ 1）坐标变换：在解析几何中,把坐标系的变换 如转变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 叫做坐标变换 . 实施坐标变换时,点的位置,曲线的外形、大小、位置都不转变,仅仅只转变点的坐标

19、与曲线的方程.（ 2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不转变,只转变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴；（ 3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M,它在原坐标系 xOy 中的坐标是（ x,y ,在新坐标系 x O y中的坐标是 x, y . 设新坐标系的原点O在原坐标系xOy 中的坐标是 h,k,就x x h或y y kxxhyyk叫做平移 或移轴 公式 .（ 4）中心或顶点在 h,k的圆锥曲线方程见下表：方程焦点焦 线对称轴2x - h2y - ka 2x=h2+2ab椭圆=1 c+h,kx=+hcy=kx -h 2y - k 2a 2x=h+b 2a 2=1h,

20、c+ky=+kcy=kx -h) 2y - k 2a 2x=h双曲线2-2ab=1 c+h,kx=+kcy=ky - k 2x - h 2a 2x=h-a 2b 2=1h, c+hy=+kcy=k抛物线y-k2=2px-h2y-k=-2px-h-p +h,kx=-2p +h,kx=2p +hy=k2p +hy=k22x-h=2py-kh,p +ky=-2p +kx=h2x-h2=-2py-kh,-p +ky=2p +kx=h2六、椭圆的常用结论：1. 点 P 处的切线 PT平分 PF1F2在点 P 处的外角 .2. PT平分 PF1F2在点 P 处的外角,就焦点在直线PT上的射影 H 点的轨迹

21、是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.25. 如P x, y x2在椭圆y1 上,就过P 的椭圆的切线方程是x0 xy0 y1.000a 2b2a2b 20x2y26. 如P0 x0 , y0在椭圆a 2b21 外,就过P0 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,就切点弦 P1P2 的直线方程是x0 xy0 y1.a2b2x2y27. 椭圆221aba b 0 的左右焦点分别为F1, F 2,点 P 为椭圆上任意一点F1PF2,就椭圆的焦点角形的面积为x2S F PF12y2b2 ta

22、n.28. 椭圆a 2b 21 （a b 0）的焦半径公式| MF1 |aex0 ,| MF2 |aex0 F1 c,0 ,F2 c,0M x0 , y0 .9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q两点, A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M、N 两点,就 MF NF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A 1、A2 为椭圆长轴上的顶点, A1P 和 A2Q交于点 M,A2P 和 A1Q交于点 N,就 MF NF.x2y2b 211. AB是椭圆a 2b21 的不平行于对称轴的弦,M x0 , y0 为 AB的中点,就kOMk

23、AB2 ,即aK ABb 2 x00a2 y；x2y2x xy yx 2y 212. 如P x , y 在椭圆1 内,就被 Po所平分的中点弦的方程是0000；000a 2b2a 2b2a2b2【推论】：21、如P x, y 在椭圆 xy1 内,就过 Po的弦中点的轨迹方程是x2y2x0 xy0 yx2y2；椭圆12000a 2b2a 2b2a 2b 2a 2b 2（ a b o）的两个顶点为A1a,0 ,A2 a,0,与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程x2y2是 a 2b 21 .x2y22、过椭圆a 2b 21a 0, b 0 上任一点Ax0

24、 , y0 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,就直0线 BC有定向且 kb2x（常数） .0BCa2 yx2y23、如 P 为椭圆221 （ ab 0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2 是焦点 ,abPF1F2,PF2F1,就 acactan x2cot.22y 24、设椭圆221（ a b 0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在PF1F2 中,记abF1PF2,PF1F2,F F P,就有since.12sinsinax2y 25、如椭圆221（ a b 0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为 L,就当 0e 21时,可在椭圆上ab求一

25、点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .x2y26、P 为椭圆221 （ a b 0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点, A 为椭圆内肯定点,就ab2a| AF2| | PA | PF1|2a| AF1 | , 当且仅当A, F2 , P 三点共线时,等号成立.xx 2 yy 27、椭圆00a 2b21与直线AxByC0 有公共点的充要条件是A 2a 2B 2b 2 Ax0By 0C 2 .28、已知椭圆xa 2y2b21 （ a b 0）, O为坐标原点, P、Q为椭圆上两动点,且OPOQ . （ 1）11112222; （ 2） |OP|22+|OQ

26、|的最大值为224 a b22; （ 3） S22.a bOPQ 的最小值是22| OP | OQ |abababx2y29、过椭圆221（ ab 0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦 MN的垂直平分线交x 轴于 P,ab就 | PF |e .| MN |2x2y210、已知椭圆a2b21（ a b 0） ,A 、B、是椭圆上的两点, 线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于点P x0,0 ,a2b 2就x0a 2b2.aax2y211、设 P 点是椭圆221 （ a b0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F2 为其焦点记a bF1PF2,就1| PF| PF |2b 2.2S

27、b 2 tan.121cosPF1F222212、设 A、B 是椭圆 xy1（ a b0）的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB,a 2b 22ab2| cos|PBA,BPA, c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,就有1| PA |a2c2cos2.22tantan1e .3S PAB2 a2b222 cot.b ax2y213、已知椭圆221（ a b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于A、abB 两点 , 点 C 在右准线 l 上,且 BCx 轴,就直线 AC经过线段 EF 的中点 .14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相

28、交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直.16、椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率 .（注 : 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）17、椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论：1、点 P处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的 内角 .2、PT平分 PF1F2 在点 P 处的内角,就焦点在直线PT上的射影

29、 H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点 .3、以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. （内切： P 在右支；外切： P 在左支）25、如P x, y x2在双曲线y1（ a 0,b 0）上,就过x0 xy0 yP 的双曲线的切线方程是1 .000a 2b 20a 2b2x2y26、如P0 x0, y0 在双曲线221（ a 0,b 0）外 ,就过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2,就切点弦abP1P2 的直线方程是x2x0 xy0 y1.a2b 2y27、双曲线221 （ a 0,b o）的左右焦点分别为F1,

30、F2,点 P 为双曲线上任意一点abF1PF2,就双曲线的焦点角形的面积为S F1PF22b co t.2x2y28、双曲线221 （ a 0,b o）的焦半径公式：abF1c,0 ,F2 c,0）当 M x0, y0 在右支上时,| MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a ；当M x0,y0 在左支上时,| MF1 |ex0a , | MF2 |ex0a ；9、设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交P 、Q两点, A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,就 MF NF.10、过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、 Q,

31、 A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q交于点 M, A2P和 A1Q交于点 N,就 MF NF.211、AB是双曲线 xy21（ a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦, M x0 , y0 为 AB的中点,就 KKb 2x00,即 K ABa2b 20b 2 xa 2 y；OMABa 2 y0x2y 2x xy yx 2y 212、如P x , y 在双曲线1（ a 0,b 0）内,就被 Po 所平分的中点弦的方程是0000.000a 2b 2a2b 2a 2b213、如P x , y 在双曲线 xy1（ a 0,b 0）内,就过 Po 的弦中点的轨迹方程是xyx0xy0 y.

32、2222000a2b2a 2b2a2b2【推论】：x2y21、双曲线a 2b 21 （ a 0,b 0）的两个顶点为A1a,0 ,A2 a,0,与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、 P2 时x2y2A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是a 2b21 .x2y22、过双曲线a 2b21 （ a 0,b o）上任一点A x0 , y0 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,就直线 BC有定向且kBCb2 x00a2 y（常数） .x2y 23、如 P 为双曲线221 （a 0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F2 是焦点 ,abPF1F2,caPF2F1,就cax2

33、y2tanco t（或 ca22catanco t） .224、设双曲线221（ a 0,b 0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点,在PF1F2ab中,记F1PF2,PF1F2,F F P,就有since.12sinsinax2y25、如双曲线a 2b21（ a 0,b 0）的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为 L,就当 1 e 21 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .x2y26、P 为双曲线a 2b 21 （ a0,b 0）上任一点 ,F 1,F 2 为二焦点, A 为双曲线内肯定点,就| AF2 |2a| PA | PF1 | , 当且仅当A, F2 , P 三点共线且 P 和A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立 .227、双曲线 xya 2b 21 （ a 0,b 0）与直线AxByC0 有公共点的充要条件是A 2 a 2B 2 b2C 2 .x28、已知双曲线a 2y2b21 （ ba 0）,O为坐标原点, P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ .（ 1）11112222; （ 2） |OP|+|OQ|的最小值为4a 2b 222; （ 3） S