2022年圆锥曲线知识要点及结论个人总结.docx

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1、学习必备精品学问点圆锥曲线学问要点及重要结论一、椭圆1 定义 平面内到两定点F1, F2 的距离的和等于常数2a 2aF1 F2 的点 P 的轨迹叫做椭圆. 如 2aF1F2,点 P 的轨迹是线段F1F 2 . 如 02aF1F2,点 P 不存在 .2 标准方程x2y 222a b1ab 0 ,两焦点为F1 c,0, F2 c,0 .y2x222a b1ab 0 ,两焦点为F1 0,2c, F2 0, c . 其中 a22bc .3 几何性质椭圆是轴对称图形,有两条对称轴.椭圆是中心对称图形,对称中心是椭圆的中心.椭圆的顶点有四个,长轴长为x2y 22a ,短轴长为2b,椭圆的焦点在长轴上.如

2、椭圆的标准方程为2a21abb0 ,就ax a, by b ；2如椭圆的标准方程为ya 2二、双曲线x1 a2b 2b0 ,就bx b, ay a .1 定义平面内到两定点F1, F2 的距离之差的肯定值等于常数2a02aF1 F2 的点的轨迹叫做双曲线 .如 2aF1 F2,点 P 的轨迹是两条射线 . 如 2aF1F2,点 P 不存在 .2 标准方程x2y 222ab1a0,b0 ,两焦点为F1 c,0, F2 c,0 .x2y2a 2b 21a0,b0 ,两焦点为F1 0,c, F20, c . 其中 c 2a 2b 2 .3 几何性质双曲线是轴对称图形,有两条对称轴；双曲线是中心对称图

3、形,对称中心是双曲线的中心.2双曲线的顶点有两个A1, A2 ,实轴长为2a ,虚轴长为2b ,双曲线的焦点在实轴上.222如双曲线的标准方程为xay1a b0, b0 ,就 xa或xa, yR ；如双曲线的标准方程为y 2x2a 2b 21 a0, b0 ,就 ya或ya, xR .4 渐近线x 2y 2bbx 2y2双曲线a 221 ab0, b0 有两条渐近线 yx和 yax . 即220aab2双曲线 ya 2x1 a2b 20, b0 有两条渐近线 ya x和 y ba y2x2x . 即220b ab22双曲线的渐进线是它的重要几何特点,每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线,但对于同

4、一组渐进线却对应很多条双曲线.22与双曲线 xay1 a b0,b0 共渐进线的双曲线可表示为x 2y 222ab0 .直线与双曲线有两个交点的条件,肯定要“消元后的方程的二次项系数0 ”和“ 0 ”同时成立.5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.x 2等轴双曲线的标准方程为2a等轴双曲线的渐近线方程为yy1 a2a 2x .0 或 y2a 2x 1a2a 20 .6 共轭双曲线：实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.x 2y 2如：a 2b 21a0, b0 的共轭双曲线为y2b 2x1a2a 20,b0 ,它们的焦点到原点的距离相等,因而在以原点为圆心,a 2b2

5、为半径的圆上 . 且它们的渐近线都是y b x 和 yb x .aa三、抛物线1 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l F不在 l 上的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线.2 标准方程(1) y22 px p0 ,焦点为 p ,0 ,准线方程为x 2p,抛物线张口向右.2(2) y 22 px p0 ,焦点为p ,0 ,准线方程为 x 2p,抛物线张口向左.2(3) x22 py p0 ,焦点为0,p ,准线方程为 y 2p,抛物线张口向上.2(4) x22 py p0 ,焦点为0,p ,准线方程为 y 2p,抛物线张口向下.2其中 p 表

6、示焦点到准线的距离.3 几何性质抛物线是轴对称图形,有一条对称轴. 如方程为 y22 px p0 或 y 22 px p0 ,就对称轴是 x 轴,如方程为x 22 py p0 或 x 22 py p0 ,就对称轴是 y 轴.如抛物线方程为 y22 px p0 ,就 x0, yR .2如抛物线方程为 y2 px p0 ,就 x0, yR .如抛物线方程为 x22 py p0 ,就 y0, xR .如抛物线方程为 x22 py p0 ,就 y0, xR .【几个重要结论】x2y 2圆锥曲线的一些重要结论1 已知椭圆2a21abb0 的两焦点为F1 c,0, F2 c,0 ,Px0 , y0 为椭圆

7、上一点,就PF1x0c 22 x0c) 22xb2 10 a2y00c2 x22cxa 2 cx0a) 2cx0aa 2由于a0x0a ,cacx0aac,0accx0 aaac ,所以 PF1cx0 aa .同理,PF22aPF1acx0 .a2已知双曲线x2y1a0,b0 的左、右焦点分别为F c,0, Fc,0 ,P x , y 为a 2b 21200双曲线上一点,就PF1cx0 aa , PF2cx0a .a2222 椭圆 xay1a b2b0 的两焦点为F1, F2 , P 为椭圆上一点,如F1 PF2,就F1PF2的面积为b 2 sinb 2 tan.1cos2解：依据椭圆的定义可

8、得PF1PF22a由余弦定理可得4c22F1F22PF12PF22 PF1PF2cos由得4a24c 22 PF1PF2 1cos . 从而PF1PF22b 21cos所以,PF1F2的面积为1 PFPF2sinb 2 sinb 2 tan121cos22双曲线 xa 2y1 a2b 20, b0 的两焦点为F1, F2 , P 为其上一点,如F1PF2,就F1PF2的面积为1PF12PF 2sinb2 sin1cosb 2 cot.223 已知椭圆 C : xa 2y1 a2b 2b0 ,M , N是 C 上关于原点对称的两点,点P 是椭圆上任意一点,当直线PM , PN的斜率都存在,并记为

9、k PM, k PN时,那么k PM与 k PN之积是与点 P 位置无关的定值 .解：设Px0 , y0 , M x1, y1 ,就 N x1,y1 .k PMy1y0xx, kPNy1y0xx,从而kPMkPNy1y0xxy1y0xx22yy01.x 2x21010101001又由于Px0, y0, M x1, y12x 都在椭圆上,故0a 222yx01,1b2a 22y11 .b2xx22两式相减得,01a 2类似结论2222yyyxyxb222010 ,因而0101b即 k2a2PMb 2k PN2 .ax 2已知双曲线2ay1 a2b 20,b0 .M , N是 C 上关于原点对称的

10、两点,点P 是双曲线上任意一点,当直线PM , PN的斜率都存在,并记为k PM, k PN时,那么k PM与 k PN之积是与点 P 位置无关的定值 .【常用方法】1 在求轨迹方程时,如条件满意圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,就可以用定义求轨迹方程,这是常用求轨迹的数学方法,称为定义法 .2 本章常常会遇到直线l 与圆锥曲线 C 相交于两点的问题,如已知 l 过定点P x0 ,y0 ,就可设 l 的方程为 xx0 或 yy0k xx0 . 然后分两种情形进行讨论, 一般处理方法是把直线方程代入曲线C 的方程中,整理得到关于x 或 y 的一元二次方程 要留意二次项系数是否为零 . 韦达定理 和

11、判别式 常常要用到！如l 的条件不明显时,就可设l 的方程为 xm 或ykxm .3 本章仍常常用到 “点差法”：设直线 l 与圆锥曲线 C 交于点Ax1 , y1 , Bx2 , y2 , 就A, B 两点坐标都满意曲线 C 的方程, 然后把这两个结构相同的式子相减,整理可以得到直线AB 的y2y1斜率x2x1的表达式,也常常会显现x1x2 , y1y2 ,这样又可以与线段AB 的中点P x0 , y0 联系起来！4 如三点A x1, y1, B x2 , y2 , P x0 , y0 满意以线段 AB 为直径的圆经过点P 或 APBP时,常用处理方法有：2依据勾股定理可得AB22PAPB；

12、依据 AP 的斜率与 BP 的斜率之积为1,可得 y0x0y1y0y21 ； x1x0x2依据 PA PB0, PA x1x0 , y1y0 , PBx2x0 , y2y0 可得 x1x0 x2x0 y1y0 y2y0 0 .5 求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.x2y2圆锥曲线中有用的结论xa cos1 椭圆a2b 21abcb20 的参数方程是.ybsin离心率 e12 ,aa PF1 F2 中,记F1PF2,PF1F2,F1F2P,就有since.sinsina线到中心的距离为a,焦点到对应准线的距离 焦准距 pb；22cc2过焦点且垂直于长轴

13、的弦叫通经,其长度为：2 b.a22 椭圆 xa2y2b 21aba 20 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:a2PF1e xaexc2,F1PFPF2excaex；S F1 PF2c | yP |b tan；23 椭圆的的内外部 :x2y2x2y2（1）点P x , y 在椭圆1ab0 的内部001 .00a2b 2x2y2a2b 2x2y 2（ 2）点P x , y 在椭圆1ab0 的外部001 .004 椭圆的切线方程 :a2b2a2b 22(1) 椭圆 xy1ab0 上一点Px, y 处的切线方程是x0 xy0 y1.2a2b 2x2y200a 2b 2x xy y（ 2）过

14、椭圆1外一点 P x , y 所引两条切线的切点弦方程是001 .a2b200x2y 2a 2b2（ 3 ） 椭 圆221ab ab0与 直 线AxByC0 相 切 的 条 件 是A2a 2x2B 2b 2y2c2 .cb25 双曲线221aab0, b0 的离心率 e12 ,aa PF1 F2 中,记F1PF2,PF1F2,F1F2P,就有sinsinsince .a22焦点在 x 轴的 xy与焦点在 y 轴的 yx共渐近2222m m022abn n0ba线,它们离心率满意关系111e2e2准线到中心的距离为xy22a,焦点到对应准线的距离 焦准距 pb ；ccb 2过焦点且垂直于实轴的弦

15、叫通经,其长度为：2.aa 2a 2焦半径公式PF1| e x | | aex |,cPF2| ecx | | aex |,两焦半径与焦距构成三角形的面积2F1PF2F1PFSb cot；26 双曲线的方程与渐近线方程的关系:x2y 2x2y2b1 ）如双曲线方程为1a 2b 2渐近线方程：220abyx .a(2) 如渐近线方程为 yb xaxy0ab双曲线可设为x2y 2.a 2b 222(3) 如双曲线与 xay1 有公共渐近线,可设为bx2y222ab22（0 ,焦点在 x 轴上,0 ,焦点在 y 轴上） .(4) 焦点到渐近线的距离总是b ；7 双曲线的切线方程 :2(1) 双曲线

16、xy1a0, b0 上一点Pxx0xy0 y, y 处的切线方程是1 .22a 2b 200a 2b22(2) 过双曲线 xy1 外一点P x , y 所引两条切线的切点弦方程是x0 xy0 y1.a 22（ 3）双曲线 xa 2b2y221 与直线b00AxByC0 相切的条件是A2a 2a2 B 2b 2b 2c2 .8 抛物线 y 22 px 的焦半径公式 :抛物线y22 px p0 焦半径pCFx0.2过焦点弦长CDppxxxx121222p =2 p sin29 直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB xx 2 yy2 或1212AB1k 2 xx 24xx | xx |1tan2| yy

17、 |1cot 221211212（弦端点 Ax1 , y1 , B x2 , y2 ,由方程ykxb消去 y 得到ax2bxc0F x, y00,为直线的倾斜角,k 为直线斜率, | xx | xx 24x x12121 210. 经过抛物线 y2=2px p0* 的焦点作一条直线l 交抛物线于 Ax1 ,y1、Bx2, y2 ,就 l 的方程为 x=p通经所在直线 ,或 y=kx 2p *2 * 、* 两式联立： 消 x 得 ky 22 pk 2 p 2ypk 2p 20 ,得 y1y2= p2（定值）消y 得方2程 k 2 x 2 kp2 p x40 ,得 x1x2=4定值 例题： 如 P

18、1x1 ,y1, P2 x2, y2是抛物线 y2=2px p0上不同的两点, 就“ y1y2= p2”是“直线 P1P2 过抛物线焦点 F ”的充要条件11. 以焦点弦 AB 为直径的圆必与准线相切；以焦半径为直径的圆必与y 轴相切（请证明！ ）y=2x2过 A 、B 作准线的垂线, 焦点弦 AB 与准线形成的直角梯形ABB /A / 的对角线的交点是原点 T（ 2p,0 ）是抛物线p对称轴 y=0 上的特别点,过此点的弦与抛物线交于P、Q,就有 POQ=90 o 或说OPOQ0 ；x2y212. 中点弦公式 1. AB 是椭圆a 2b21 的不平行于对称轴的弦,M x0 , y0 为 AB

19、的中点,就 kOMk ABb 22 ,即aK ABb2 x0a 2 y；0x2y22.AB 是双曲线221（ a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦,Mab x0 , y0 为 AB 的0中点,就 KKb2 x,即 Kb2 x00；0OMAB2a2 yABa 2 y2y213. 抛物线y2 px上的动点可设为P , y2 p 或 P 2 pt,2 pt 或P x , y ,其中y22 px .x2y216.双曲线221 （ a 0,b 0）与直线abAxByC0 有公共点的充要条件是A2a 2B 2b 2C 2 .222215.焦点在 x 轴的 xa 2ym m b20 与焦点在 y 轴的 yb 2xnn a 20 共渐近线,它们离心率满意关系111e 2e2xy