2022年梅开萍“导数在分析研究函数中的应用”教学案例.docx

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1、精品学习资源“导数在争论函数中的应用 ”教案案例导言： 高中数学内容抽象，推理严谨，应用广泛，难教难学，已成为横跨在相当一部分学子面前一道难以逾越的“坎”，不少同学不免谈 “数”色变，敬而远之，乃至发出数学在时时 “磨练我们 ”的赞叹 . 笔者从高校毕业始终从事中学数学的课堂教案与教案争论，通过几年的探究发觉：要想提高课堂效率，就必需改变传统的“填鸭式”教案让同学成为课堂的主人，并积极引导同学要善于从数学的基本问题与特点动身，善于用数学的思想与方法驾驭数学学问！设计理念： 依据新课程高中数学的教案实际及本节课的内容特点，本课时的教案先从几个基本问题入手， 在解决基本问题的过程中唤起同学对基础学

2、问、基本方法、基本技能的回忆，充分表达了 “学数学就是做数学 ”的理念 .；通过变式训练来凸现“数学思维与思想方法”、显现数学问题的紧密联系性，让同学初步感知数学的自然、简约与美好；通过同学自编练习来培育同学的发散性思维和制造性潜能.教案目标：1、学问目标：把握利用导数求函数单调区间、极值、最值的一般方法，懂得极值、最值区分与联系 .2、才能目标：通过本节内容的教案，渗透数形结合、化归等重要数学思想，增强同学数形结合才能与化归意识，培育同学的制造性潜能.3、情感目标：通过利用表格争论函数单调性与数形结合的应用，让同学亲身体验数学的简约美，感受极值、最值的和谐统一美，激发同学“学好数学” 的乐趣

3、，增强同学“学好数学”的信心.教案重点： 能利用导数求一些初等函数的单调区间、极值、最值.教案难点： 导数在争论函数中的综合应用 .教案过程实录：1 基本问题：再现学问，夯实 “双基”老师：牛顿、莱布尼兹创立了微积分，导数作为微积分的重要组成部分，进入了中学教材，有了导数这个工具，我们争论函数如虎添翼.这节课我们从一个基本问题动身，来一次利用导数争论函数的探究之旅.请看下面的问题：问题1 已知函数.（1） 求单调区间； 2）的极值.同学1板演）：解： 1）欢迎下载精品学习资源令得：或；令得：的单调递增区间为，单调递减区间为2）由1）可知，当时，有极大值；当时，有微小值.老师：你能依据已经解决的

4、两个问题，画出的大致图象吗？ 同学众：能！老师：请画出的大致图象 一名同学到黑板上画）老师：请大家对这位同学画的图与屏幕上“几何画板 ”画的图作一下比较 对同学画的图的评判略）O12-1老师：从的图象看，在 上有无最大值、最小值？同学2：由于的图象无最高点、最低点，所以在上无最大值、最小值.老师：很好 .假如将定义域限制在闭区间上呢？ 同学3：在闭区间上必有最大值和最小值 . 老师：为什么？同学3：是可导函数，在闭区间上连续，所以必有最大值和最小值.老师：不错，这位同学的基本功很扎实 .现在请同学们解决问题 2. 问题2 求函数， 的最大值、最小值 . 同学4板演）：在问题 1的基础上，列表如

5、下：欢迎下载精品学习资源00，），2）22，）40000.同学3：利用的图象可以直接求出的无最大值、最小值 .老师：太棒了！同学 4从数的角度解决了问题 2，同学 3从形的角度解决了问题2.假如把这两位同学结合起来，也就是把数跟形结合起来了.同学4采纳了表格，不仅单调性表示得很清晰，而且最大值、最小值也很明显，真可谓是“一举两得 ”；而同学 3采纳图象，让我们从直观上看到函数增减性很最值，可谓是各有千秋啊！他们的共同点是：简洁明白.老师：力求简约，追求杰出，是数学的一大魅力.数学实际上很美，只是我们缺少了审美的眼光！有人说数学是无声的诗、立体的画，而我个人认为数学犹如音乐般漂亮，可以说 “音乐

6、是感性的数学，数学乃理性的音乐 ”，你听说过吗？ 同学众：没有！老师：要学好数学、玩好数学，我们需要一双慧眼，去努力挖掘蕴涵数学之中的美 如图形美、结构美、对称美、简洁美、和谐美等等，要学会到处体验数学的自然、简约与美好！老师：问题 1与问题 2说明利用导数可以争论函数的哪些性质？如何争论？ 同学众：其一，求函数的单调区间；其二，求函数的极值；其三，求函数的最值.方法从略）老师：这三类问题是利用导数争论的主要问题，刚才同学们归纳得相当不错，说明大家对导数的应用有了较深刻的熟悉.老师：学数学假如到这里就停下来，那你确定称不上是一个数学“高手”，至少你是一个学数学很累的人！那么怎样才能学好数学？我

7、们不仅要把握数学的学问，而且更要增强用数学思维去懂得、摸索与解决问题的意识！下面我们将问题 1、2进行变式，第一将的解读式中的一次项系数改为欢迎下载精品学习资源，就成为含参数的函数了，得到如下的变式1，请同学们摸索 .2 变式练习：学问迁移，触类旁通变式1已知函数在1，2）上为减函数，在 2，）上为增函数，求实数 的值.同学5：，由已知，是的微小值点，所以，得.老师：这样做有没有缺陷？同学3：仍要检验，不过经过检验室符合的 .老师：很好，假如去掉 “在：由已知，对恒成立，所以，解得.老师：我们临时把这个问题搁置一下，来争论函数在上的单调性与其导函数的关系 .同学：，所以函数在 上是减函数 .老

8、师：回头看前面的解法有无问题？同学1：有点小问题 .应当是对恒成立，下同 .同学2：我仍有一种解法 .由前面的解法，得对恒成立，而当时，所以.老师：已知含参数的函数在某区间上是增减）函数，求参数的范畴问题， 通常利用 “如是特别数函数，且为可导函数，就在某区间上是增减）函数某区间上恒有”转.化为含有参数的不等式恒成立问题，同学 1利用了二次函数的图象的性质，同学 2利用了参数分别法，都是常用的方法.再来解决变式 2.变式2 已知函数在处有微小值，求的值.同学6板演）：.令，得或.由已知欢迎下载精品学习资源.是函数的微小值点，.老师：变式 2是问题 2第2）小题的逆向问题：已知含参数的函数的极值

9、点，求参数问题 .请同学们归纳解决的策略 .同学7：利用 “可导函数在点处有极值的必要条件是”得到关于参数的方程，解出方程的根，再检验.老师：完全正确，再来解决变式3.变式3设函数，是否有 “对任意不等式恒成立.”请说明理由 .同学3：由问题 3知，在上的最大值为，最小值为 0，所以对任意恒有.老师：这种方法你是怎么想到的？ 同学3：从的图象得到启示 .老师：讲得很在理，函数图象是争论函数不行或缺的工具，在今后可别忘 了它的作用！变式 3实际上是证明某区间上任意两个函数值的差的确定值小于某正常数，我们的策略是转化为证明最大值与最小值的差小于此正常数，当然有 一个前提是 同学众：在此区间上有最大

10、值与最小值 .同学1：我的想法是将，代入，行吗？老师：这位同学爱动脑筋，这种方法请课后取探讨.现在请同学们编一道题目，就叫变式 4吧.3编题练习：提升才能，进展思维同学4：我编的题目是： 变式4）已知函数的图象与直线有相异的三个公共点，求实数的取值范畴 .改为有相异的两个公共点呢？改为有相异的一个公共点呢？老师：你们觉得这位同学编的题目如何？同学：很有创意！老师：同学们仍可以编出很多其他问题，请课后连续争论，现在请同学们欢迎下载精品学习资源解决这个问题 变式4） .同学：由图象可得当时，函数的图象与直线有相异的三个公共点；当或时，有相异的两个公共点；当或时，有一个公共点 .老师：同学 4编的题

11、目是方程的根的个数问题，可以归结为函数的极值问题，同学们既能编题，也能解题，表达了较高的数学素养.现在请同学们谈谈学习这节课的感受 .4体验过程：完善同学认知，进展同学才能同学4：想不到我也会编题 .同学2：很多利用导数争论函数的问题可以归结为三类基本问题：求单调区间、求极值与求最值 .同学5：在解决数学问题时，我们要留意各个问题的内在联系与不同之处，今后我要加强变式练习和编题练习 .同学6：利用导数解决同学 2提出的三类基本问题的一般步骤为： 1）求导函数2）列表或作图来分析原函数的单调性 3）在定义域范畴内详细解决问题.详细方法从略）老师：特别好！前面几位同学都发表自己的感受，也总结了本节

12、课的主要内容.我想其他同学也肯定有自己的感受，课后大家要好好沟通沟通，这节课我们就上到这里！5教案反思：1、本节课没有采纳传统的数学复习课教案模式：学问归纳 例题讲解 反馈练习，而是一开头出现了问题 1和问题 2，在解决问题的同时唤起同学对基础学问、基本方法、基本技能的回忆，充分表达了“学数学就是做数学 ”的理念 . 然后，以同学的已有学问 利用导数能求单调区间、极值、最值这一认知基础动身，让同学在新的问题情 境中，引导同学运用作图、猜想、归纳、验证等方法解决问题，在问题解决过 程中获得新知，让同学逐步体会到数学问题的紧密联系，从而进一步完善数学 认知结构 .假如我们长期坚持这样去做，同学的制

13、造潜能肯定会得到充分进展.2、假如说数学新授课教案实现学问 “从薄到厚 ”的话，那么数学复习课教案欢迎下载精品学习资源应实现 “从厚到薄 ”本.节课紧紧抓住了利用导数争论函数的三类基本问题这一核心，变式 1和变式 2作为这三类问题的逆向问题，解决问题的思想方法与原问题一脉相承，变式 3和变式 4最终可以转化为这三类问题，正所谓 “万变不离其宗 ”.变式教案在培育同学数学技能和思维品质等方面不仅特别有效，而且特别有用，在教案中我们肯定要充分运用 .在复习课中，从一个有价值的基本问题动身， 进而变换问题的条件、结论、逆向思维、变更设问方式，这样复习课就会成为 同学数学探究的重要阵地 .3、对于基础

14、较好的班级，仍可以让同学探究如下变式：当时，求证：不等式对恒成立.一方面，引导同学从形的角度去探究，可以利用 “几何画板 ”进行动态演示，揭示问题的几何背景；另一方面， 引导同学从数的角度去探究，把问题转化为函数的最值问题，进一步让同学感悟转化思想 .4、教无定法，老师应依据本班的实际情形敏捷支配教案步骤，切实把关注 同学的进展放在首位来考虑，并依此制定合理而科学的教案方案.如，对于较好的班级，就可以优先进展，实行居高临下的教案思路，先整体把握再对比击破，或是将其纳入整体结构系统，实行类比的学习方式；而对于基础较薄弱的班级，就应以提高学习爱好、教会学习、培育胜利体验为主，千万不行拔苗助长，以防物极必反 .总体来讲，我在教案中深刻的体会到新教材与以往的不同，新教材以同学 为本的教案理念始终贯穿本课 .我对自己教授本课基本上是中意的，完成了制定的教案目标 .但有些细节仍有待完善，在今后的工作中我将会改进.欢迎下载