2022年椭圆知识点总结及经典习题练习.docx

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1、其次部分 圆锥曲线（一） - 椭圆学问点一： 1、平面内与两个定点F1 , F 2的距离之和等于常数（大于F 1F 2）的点的轨迹称为 椭圆即：| MF1 | MF2 |2a,2a| F1F2| ；留意： 如 PF1PF2F1F 2 ,就动点 P 的轨迹为线段F1 F2 ；这两个定点称为 椭圆的焦点 , 两焦点的距离称为椭圆的焦距2、椭圆的几何性质 ：标准方程x 2y 2a 2b 21 ab0y 2x 2a 2b 21ab0图形焦点F1 c,0 ,F2 c,0F1 0,c ,F2 0, c焦距F1F22cF1 F22c范畴xa, ybxb , ya对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称顶点a,

2、0 , 0, b性质0,a, b,0轴长长轴长 = 2a ,短轴长 =2b离心率ec 0 ae122ccPF1aex0 ,PF2aex0PF1aey0,PF2aey0准线方程xaya焦半径x2留意： 椭圆2ay1 , y222b 2a 2x1 a2b 2b0 的相同点：外形、大小都相同；参数间的关系都有 ab0 和 ec 0 ae1 ,ab2c 2 ；不同点： 两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同；学问点二： 椭圆的标准方程x2y 21. 当焦点在 x 轴上时, 椭圆的标准方程：1 ab0 ,其中 c 2a 2b 2a 2b 22222. 当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程： yax1

3、 a b2b0 ,其中 c22a b ；2留意： 1只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时, 才能得到椭圆的标准方程；2. 在椭圆的两种标准方程中,都有3. 椭圆的焦点总在长轴上 .ab0 和c 2a 2b 2 ；当焦点在 x 轴上时,椭圆的焦点坐标为 c,0 , c,0 ；22当焦点在 y 轴上时,椭圆的焦点坐标为学问点三： 椭圆的简洁几何性质0,c , 0, c椭圆： xa 2y1 ab 2b 0 的简洁几何性质2（1）对称性： 对于椭圆标准方程xa 22y1 ab b20 ：说明：把 x 换成x 、或把 y 换成y 、或把 x 、 y 同时换成x 、y 、2原方程都不

4、变,所以椭圆x2y1 是以 x 轴、 y 轴为对称轴a 2b 2的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心；（2） 范畴：椭圆上全部的点都位于直线xa 和 yb 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满意xa , yb ；（3） 顶点： 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点；2椭圆 xa 22y1 a b 2b 0 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1 a,0 ,A2 a,0 , B1 0,b , B2 0, b线段A1 A2 , B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,A1 A22a ,B1B22b ；a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；

5、（4） 离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作 e2cc ；2aa由于 ac 0 ,所以 e的取值范畴是 0e1 ； e越接近 1,就 c就越接近 a ,从而22bac越小, 因此椭圆越扁； 反之, e越接近于 0,c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆就越接近于圆；当且仅当 ab 时, c0 ,这时两个焦点重合, 图形变为圆, 方程为 x2y 2a ；留意：x 2y 2椭圆1的图像中线段的几何特点（如下图）：a 2b 2PF1PF22a 22（1） PF1PF22a ；e； PM 1PM 2 ；（2） BF1BF 2PM 1a) ； OF1PM 2OF

6、2c ；A1 BA2Bca 2b2 ；（3）A1F1A2 F2ac ；A1F2A2 F1ac ； acPF1ac ；规律方法：1. 如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴； 当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式；此时,椭圆焦点在坐标轴上；确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件由焦点坐标的形式确定标准方程的类型；a,b ；一个定位条件焦点坐标,2. 椭圆标准方程中的三个量a,b,c 的几何意义椭圆标准方程中,a, b,c 三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的外形大小所确定的；分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均

7、为正数,且三个量的大小关系为：ab0 , ac0 ,且a 2b 2c2 ；可借助右图懂得记忆：明显：a,b,c 恰构成一个直角三角形的三条边,其中a 是斜边, b、c 为两条直角边；3. 如何由椭圆标准方程判定焦点位置2椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判定焦点位置的方法是：看x 2 ,y 的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上；4 方程Ax2By 2C A, B, C均不为零）是表示椭圆的条件Ax 2By 2x2By 2方程 Ax 2By2C 可化为1 ,即1 ,CCCC AB所以只有 A 、B 、C 同号, 且 AB 时, 方程表示椭圆； 当 CAC 时,椭圆的焦点在x 轴上

8、；B当 CCAB时,椭圆的焦点在y 轴上；5. 求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法： 由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型, 设出标准方程,再由条件确定方程中的参数a,b, c 的值；其主要步骤是“先定型,再定量”；定义法：由已知条件判定出动点的轨迹是什么图形,然后再依据定义确定方程；6. 共焦点的椭圆标准方程形式上的差异x 2共 焦 点 , 就 c相 同 ； 与 椭 圆2ay221 abb0共 焦 点 的 椭 圆 方 程 可 设 为x 2a 2my 2b 2m1 mb 2 ,此类问题常用待定系数法求解；7. 如何求解与焦点三角形 PF1 F2（P 为椭圆上的点）有关的运算问题1

9、思路分析：与焦点三角形 PF1F2 有关的运算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理） 、三角形面积公式S PF1 F21 PFPF2sinF1PF 2 相结合的方法进行运算解题；将有关线段PF1 、PF2 、F1F2,有关角F1 PF2 F1PF2F1BF2 结合起来, 建立 PF1PF2、 PF1PF2之间的关系 .9如何运算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系打算椭圆外形的变化；离心率ec 0 ae1 ,由于c 2a 2b 2 , ac0 ,用a、b 表示为 eb 21 0ae1 ；明显：当b 越小时,ae0e1 越大,椭圆外形越扁；当b 越大, e0ae1 越

10、小,椭圆外形越趋近于圆；（二）椭圆练习题一、挑选题2222221、与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点,且短轴长为45 的椭圆方程是2x 2y(A) 12520 B xy1 2025(C) xy1 2045(D) xy1 80852、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点,是一个含60角的菱形的四个顶点,就椭圆的离心率为A1B23C2313或D3222x3、椭圆2y1 中,F1、F2 为左、右焦点 ,A 为短轴一端点 ,弦 AB 过左焦点 F1,就ABF 263的面积为（A ） 3（ B） 332（ C） 4 3（ D） 44、方程x225 - my 216m=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,就 m

11、 的取值范畴是9A-16m25B-16m2C99m22x 2y 2105、已知椭圆1 的离心率 e=5m5,就 m 的值为A3B3 或CD或6、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点,就椭圆的长轴长是短轴长的A3 倍B2 倍C2 倍D 3 倍7、椭圆 ax2 by2ab=0 ab0 的焦点坐标为A0 ,a b B ab , 0C0 ,b a D ba , 08、椭圆 x2+4 y2=1 的离心率为3A2(B) 22(C) 2(D) 29、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,就这个椭圆的离心率e=3A2x 2y 21B2x 23C3y 21D310、曲线1 与曲线1m9 肯定有25

12、925m9mA 相等的长轴长B 相等的焦距C相等的离心率D 相同的准线二、填空题11.1中心在原点,长半轴长与短半轴长的和为92 ,离心率为0.6的椭圆的方程为 ；2 对称轴是坐标轴 , 离心率等于3 ,且过点 2 , 0 的椭圆的方程是 212.1短轴长为 6,且过点 1 ,4 的椭圆标准方程是 ；2 顶点 -6 , 0 , 6 , 0 过点 3 , 3 的椭圆方程是 x2y213. 已知椭圆2=1 的焦距为 4,就这个椭圆的焦点在 轴上,坐标是 2 aax 2y 214. 已知椭圆1 的离率为1 ,就 m=m4三、解答题2215、求椭圆 xya 2b 21a2b0 的内接矩形面积的最大值16. 已知圆x 2y2 ,从这个圆上任意一点P 向 y 轴作垂线段 ,求线段的中点 M的轨迹.17. ABC的两个顶点坐标分别是 B0 ,6 和 C0 , -6 ,另两边 AB、AC的斜率的乘积是 -4 ,求顶点 A 的轨迹方程 .918. （本小题满分 15 分）已知椭圆的焦点在 x 轴上,短轴长为 4,离心率为 5 .5(1) 求椭圆的标准方程； （ 2）如直线 l 过该椭圆的左焦点,交椭圆于M、N两点,且 MN1659,求直线 l 的方程.