2022年概率论和数理统计复习笔记.docx

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1、精品学习资源概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一. 基本概念随机试验 E:1可以在相同的条件下重复地进行； 2每次试验的可能结果不止一个 , 并且能事先明确试验的全部可能结果； 3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会显现.样本空间 S: E的全部可能结果组成的集合 . 样本点基本领件 :E 的每个结果 .随机大事 大事: 样本空间 S 的子集.必定大事 S: 每次试验中肯定发生的大事 .不行能大事 :每次试验中肯定不会发生的大事.二.大事间的关系和运算1.AB 大事 B 包含大事 A 大事 A 发生必定导致大事 B 发生.2. AB 和大事大事 A 与 B 至少有一个发生 .3. A

2、B=AB 积大事大事 A 与 B 同时发生 .4. A- B差大事大事 A 发生而 B 不发生.5. AB=A 与 B 互不相容或互斥 大事 A 与 B 不能同时发生 .6. AB=且 A B=S A 与 B 互为逆大事或对立大事 表示一次试验中 A 与 B 必有一个且仅欢迎下载精品学习资源有一个发生 . B=A, A=B .运算规章 交换律 结合律 安排律 德.摩根律 AB三.概率的定义与性质AB ABAB欢迎下载精品学习资源1. 定义对于 E 的每一大事 A 给予一个实数 ,记为 PA,称为大事 A 的概率. 1非负性 PA 0 ； 2归一性或规范性 PS=1 ；3可列可加性 对于两两互不

3、相容的大事 A 1,A 2, A iAj=, i j, i,j=1,2, , PA1A 2 =P A1+PA 2+2. 性质(1) P = 0 ,留意:A 为不行能大事PA=0 .欢迎下载精品学习资源(2) 有限可加性对于 n 个两两互不相容的大事A 1,A2,A n ,PA1 A 2 A n=PA1+PA 2+ +PA n 有限可加性与可列可加性合称加法定理 3如 AB, 就 PA PB, PB- A=PB - PA .4对于任一大事 A, PA 1, PA=1- PA .5广义加法定理对于任意二大事 A,B ,PA B=PA+PB - PAB .对于任意 n 个大事 A 1,A 2,A n

4、欢迎下载精品学习资源P A1A2nAnP Aii11ijP Ai Ajn1ijkP Ai Aj Akn欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源四.等可能 古典 概型+-1 n-1PA1A 2A n欢迎下载精品学习资源1. 定义 假如试验 E 满意:1样本空间的元素只有有限个 ,即 S=e1,e2,e n ；2每一个基本领件的概率相等 ,即 Pe1=Pe2= = Pen .就称试验 E 所对应的概率模型为等可能 古典概型.2. 运算公式 PA=k / n 其中 k 是 A 中包含的基本领件数 , n 是 S 中包含的基本领件总数 .五.条件概率1.定义 大事 A 发生的条件下大事 B 发生的条件

5、概率 PB|A=PAB / PA PA0.2.乘法定理 PAB=PA P B|A PA0 ； PAB=PB P A|B PB0.PA1A 2A n=PA1PA 2|A1PA 3|A1A 2PA n|A1A 2A n-1 n2, PA1A 2A n-1 03.B1,B2,B n 是样本空间 S 的一个划分 B iBj=,i j,i,j=1,2, ,n, B1B2 B n=S ,就欢迎下载精品学习资源当 PB i0 时,有全概率公式 PA=nP BiPA Bi欢迎下载精品学习资源i1欢迎下载精品学习资源当 PA0, PBi0 时,有贝叶斯公式 P Bi|A=P ABi P AP BinP A Bi

6、.欢迎下载精品学习资源六. 大事的独立性P Bii1P A Bi欢迎下载精品学习资源1. 两个大事 A,B, 满意 PAB = PA PB 时,称 A,B 为相互独立的大事 . 1两个大事 A,B 相互独立PB= P B|A .欢迎下载精品学习资源2如 A 与 B, A 与 B , A 与 B, , A 与 B 中有一对相互独立 , 就另外三对也相互独立 .2. 三个大事 A,B,C 满意 PAB =PA PB, PAC= PA PC, PBC= PB PC,称 A,B,C 三大事两两相互独立 . 如再满意 PABC =PA PB PC, 就称 A,B,C 三大事相互独立 .3.n 个大事 A

7、 1,A 2,A n,假如对任意 k 1k n,任意 1 i1i2i kn.有欢迎下载精品学习资源iiiP A AA12kP AP Aii12P A,就称这 n 个大事 A 1,A2,A n 相互独立 .欢迎下载精品学习资源ik其次章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1. 在随机试验 E 的样本空间 S=e 上定义的单值实值函数 X=X e 称为随机变量 .2. 随机变量 X 的分布函数 Fx=PX x , x 是任意实数 . 其性质为 :10 Fx 1-,F=0,F =1.2Fx单调不减 ,即如 x1x2 ,就 Fx1 F2x.3Fx 右连续,即 Fx+0=Fx.4Px 1Xx2

8、=Fx 2-Fx1.二.离散型随机变量 只能取有限个或可列无限多个值的随机变量1. 离散型随机变量的分布律PX= x k= p k k=1,2, 也可以列表表示 . 其性质为 :(1) 非负性 0Pk1 ； 2归一性pk1 .k1欢迎下载精品学习资源2. 离散型随机变量的分布函数 Fx=X k跳动值为 p k=PX=x k .3. 三种重要的离散型随机变量的分布Pk 为阶梯函数 ,它在 x=x k k=1,2,处具有跳动点 ,其x欢迎下载精品学习资源1X0-1 分布 PX=1= p ,PX=0=1p 0p1 .欢迎下载精品学习资源2Xbn,p 参数为 n,p 的二项分布 PX=k=npk 1

9、kp nk k=0,1,2,n 0p0欢迎下载精品学习资源1. 定义如 果随机 变量 X的分布 函数 Fx 可以表示成某 一非负 函数 fx 的积分欢迎下载精品学习资源Fx= xft dt ,- x , 就称 X 为连续型随机变量 ,其中 f x 称为 X 的概率密度 函数.欢迎下载精品学习资源2. 概率密度的性质(1) 非负性 fx 0 ；2归一性f xdx=1 ；欢迎下载精品学习资源3 Px 10.0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(3) XN , 2 参数为 , 的正态分布f x x21e222-x0.欢迎下载精品学习资源特殊,=0,2 =1 时,称 X 听从标准正态分布 ,记为

10、 XN 0,1, 其概率密度欢迎下载精品学习资源 xx21e22, 标准正态分布函数 x1x e 2t 22 dtx,-x=1- x .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如 XN , 2, 就 Z= XN 0,1, Px1z= PZz /2=,就点 z,- z , z / 2 分别称为标准正态分布的上 ,下,双侧 分位点. 留意： z =1-, z 1- = - z .四.随机变量 X 的函数 Y= g X 的分布1. 离散型随机变量的函数Xx 1x2 x kp kp 1p2 p kY=gXgx1 gx2 gx k 如 gx k k=1,2, 的值全不相等 ,就由上表立得 Y=gX 的分

11、布律 .如 gx k k=1,2, 的值有相等的 ,就应将相等的值的概率相加 ,才能得到 Y=gX 的分布律 .2. 连续型随机变量的函数如 X 的概率密度为 fX x,就求其函数 Y=gX 的概率密度 f Yy 常用两种方法：欢迎下载精品学习资源(1) 分布函数法先求 Y 的分布函数 FY y=PY y=PgX y=kyf Xx dx欢迎下载精品学习资源k其中ky是与 gX y 对应的 X 的可能值 x 所在的区间 可能不只一个 ,然后对 y 求导即得f Yy=F Y /y .(2) 公式法 如 gx 到处可导 ,且恒有 g /x0 或 g / x0 , 就 Y=g X 是连续型随机变量 ,

12、其欢迎下载精品学习资源概率密度为fYyf Xh yhyy0其它欢迎下载精品学习资源其中 hy 是 gx的反函数 ,= min g -,g = max g -,g .假如 f x 在有限区间 a,b以外等于零 ,就 = min g a,g b= max g a,g b .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1. 定义 如 X 和 Y 是定义在样本空间 S上的两个随机变量 ,就由它们所组成的向量 X,Y 称为二维随机向量或二维随机变量 .对任意实数 x,y,二元函数 Fx,y=PX x,Y y 称为X,Y 的X 和 Y 的联合分布函数 .2. 分布函数的性质(1) Fx,

13、y 分别关于 x 和 y 单调不减 .20Fx,y 1 , Fx,-=0, F-,y=0, F-,-=0, F,=1 .3 Fx,y 关于每个变量都是右连续的 ,即 Fx+0,y= Fx,y,Fx,y+0= Fx,y . 4对于任意实数 x 1x 2 , y 1y 2Px 1X x 2 , y 1Y y 2= Fx 2,y2- Fx 2,y1- Fx1,y2+ Fx1,y1二.二维离散型随机变量及其联合分布律1. 定义如随机变量 X,Y 只能取有限对或可列无限多对值 x i ,y j i ,j =1,2, 称X,Y 为二维离散型随机变量 .并称 PX= x i,Y= y j = p i j 为

14、X,Y 的联合分布律 .也可列表表示 .欢迎下载精品学习资源2. 性质1非负性 0p i j 1 .2归一性pij1 .ij欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. X,Y 的X 和 Y 的联合 分布函数 Fx,y=x ix yjpijy欢迎下载精品学习资源三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1. 定义 假如存在非负的函数 f x,y, 使对任意的 x 和 y,有 Fx,y=yxf u, vdudv欢迎下载精品学习资源就称X,Y 为二维连续型随机变量 ,称 fx,y 为X,Y 的X 和 Y 的联合概率密度 .欢迎下载精品学习资源2.性质 1非负性 f x,y 0 . 2归一性f2F x,

15、 x,yydxdy1 .欢迎下载精品学习资源(3) 如 f x,y 在点x,y 连续,就f x, yx y欢迎下载精品学习资源(4) 如 G 为 xoy 平面上一个区域 ,就四.边缘分布P x, yGf x,Gy) dxdy.欢迎下载精品学习资源1. X,Y 关于 X 的边缘分布函数 FX x = PX x , Y= F x , . X,Y 关于 Y 的边缘分布函数 FY y = PX0, 就称欢迎下载精品学习资源P Xxi ,Yyj pi j欢迎下载精品学习资源PX=x i |Y=yj ,PYyj p j欢迎下载精品学习资源为在 Y= y j 条件下随机变量 X 的条件分布律 .同样,对于固

16、定的 i,如 PX=x i0, 就称欢迎下载精品学习资源PY=y j |X=x iP Xxi ,Yyj pi j,欢迎下载精品学习资源P Xxi pi为在 X=x i 条件下随机变量 Y 的条件分布律 .第四章 随机变量的数字特点一.数学期望和方差的定义随机变量 X离散型随机变量连续型随机变量分布律 PX=x i= p i i =1,2,概率密度 f x欢迎下载精品学习资源数学期望 均值EXxi pi 级数肯定收敛 i1xf xdx积分肯定收敛 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方差 DX=EX-EX2xiE X pi2i1 xE X2f xdx欢迎下载精品学习资源=EX 2-EX 2级

17、数肯定收敛 积分肯定收敛 欢迎下载精品学习资源函数数学期望 EY=EgX标准差 X= DX.g xi pi 级数肯定收敛 i1g xf xdx 积分肯定收敛 欢迎下载精品学习资源二.数学期望与方差的性质1. c为为任意常数时 , Ec = c , EcX = cEX , Dc = 0 , D cX = c 2 DX . 2.X,Y 为任意随机变量时 , E XY=EX EY .3. X 与 Y 相互独立时 , EXY=EXEY , DXY=DX+DY .4. DX = 0PX = C=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差EXDX 1.X 0-1分布 PX=1= p 0p1pp 1

18、- p2.X b n,p 0p1n pn p 1- p欢迎下载精品学习资源3.X 4.X Ua,ba+b/2b-a2/125.X 听从参数为 的指数分布26.X N , 22四.矩的概念随机变量 X 的 k 阶原点 矩 EX k k=1,2, 随机变量 X 的 k 阶中心矩 EX-EXk随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合矩 EX kY l l=1,2,随机变量 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩 EX-EXk Y-EY l 第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体 X 即随机变量 X ； 样本 X 1 ,X 2 ,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量；样本值 x1 ,x2 ,x n

19、 为实数； n 是样本容量 .统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：欢迎下载精品学习资源样本均值 X1 nX n i1i样本方差 S21nXn1 i1i2X样本标准差 S欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源样本 k 阶矩 Ak1 nX kn i1i k=1,2,样本 k 阶中心矩 Bk1 n X n i1iX k k=1,2,欢迎下载精品学习资源二.抽样分布 即统计量的分布1. X 的分布 不论总体 X 听从什么分布 , E X = EX , D X = DX / n .特殊,如 X N , 2 ,就 X N , 2/n .欢迎下载精品学习资源n2. 2 分布 1定义 如 X N

20、 0,1 ,就 Y =i1X i 2 2n自由度为 n 的 2 分布.欢迎下载精品学习资源2性质 如 Y2n,就 EY = n , DY = 2n .如 Y 12n1 Y22n2 ,就 Y 1+Y 22n1 + n2.欢迎下载精品学习资源如 X N , 2 , 就 n1) S2 22n-1,且 X 与 S2 相互独立 .欢迎下载精品学习资源3分位点 如 Y2n,01 ,就满意欢迎下载精品学习资源PY2 nPY2 nPY2nY2/ 21/ 21/ 2 n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1/ 21的点 2 n,2n,2n和 2n 分别称为 2 分布的上、下、双侧分位点.欢迎下载精品学习资源

21、欢迎下载精品学习资源3. t 分布(1) 定义 如 XN 0,1,Y2 n,且 X,Y 相互独立 ,就 t=Xtn自由度为 n 的 t 分布.欢迎下载精品学习资源Y n(2) 性质 n时,t 分布的极限为标准正态分布 .欢迎下载精品学习资源XN , 2 时,X t n-1 .欢迎下载精品学习资源Sn两个正态总体相互独立的样本样本均值 样本方差=212n111X N 1, 12 且 22=2X ,X ,XX S 22Y N 2, 22 Y1 ,Y2 ,Y n2Y S22欢迎下载精品学习资源就 XY 1wS112 t n1+n2-2 , 其中2n1Sw1 S21n1n2n221 S2欢迎下载精品学

22、习资源n1n2(3) 分位点 如 t t n ,0 1 , 就满意欢迎下载精品学习资源Ptt nPtt nP tt / 2 n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源的点 tn,t n,t / 2 n 分别称 t 分布的上、下、双侧分位点.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源留意: t 1-n = - tn.4.F 分布1定义 如 U 2n1, V2n2, 且 U,V 相互独立 ,就 F = UVn1 Fn1,n 2自由度为n2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n1,n2的 F 分布.S222性质条件同 3.2 112S22 Fn1-1,n2-12欢迎下载精品学习资源3分位点 如 F

23、 Fn1,n2 ,01,就满意欢迎下载精品学习资源P FFn1 , n2 P FF 1 n1 , n2 欢迎下载精品学习资源P FF / 2 n1 , n2 FF1/ 2 n1, n2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源的点 Fn1 , n2 , F1 n1 , n2 , F/ 2 n1 , n2 和F1/ 2 n1 , n2 分别称为 F 分布的上、下、双侧欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分位点.留意: F 1 n1 , n2 1.F n 2 .n1 欢迎下载精品学习资源第七章 参数估量一.点估量 总体 X 的分布中有 k 个待估参数 1,2,k.X 1 ,X2 ,X n 是

24、X 的一个样本 ,x1 ,x2 , ,x n 是样本值 .欢迎下载精品学习资源1. 矩估量法11 1 , 2 , k 111 ,2 ,k 欢迎下载精品学习资源先求总体矩2 k2 1 ,2 ,k 1 , 2 , k 解此方程组 ,得到2, k k2 1 ,2 ,k 1 ,2 ,k ,k 欢迎下载精品学习资源11 A1, A2 , Ak 欢迎下载精品学习资源以样本矩 Al 取代总体矩 l l=1,2, ,k得到矩估量量2k2 A1, A2 ,k A1 , A2 , Ak , Ak 欢迎下载精品学习资源如代入样本值就得到矩估量值 .2. 最大似然估量法如总体分布形式 可以是分布律或概率密度 为 px

25、, 1, 2, k,称样本 X 1 ,X2 ,X n 的联合欢迎下载精品学习资源分 布 L 1 , 2 ,k np xi ,i11, 2 , k 为 似 然 函 数. 取 使 似 然函 数 达 到 最 大 值的欢迎下载精品学习资源1 , 2 , k ,称为参数 1, 2, , k 的最大似然估量值 ,代入样本得到最大似然估量量.如 L 1, 2, k关于 1, 2, k 可微,就一般可由欢迎下载精品学习资源似然方程组L0 或 对数似然方程组iln Li0 i =1,2,k 求出最大似然估量 .欢迎下载精品学习资源3. 估量量的标准(1) 无偏性 如 E= ,就估量量 称为参数 的无偏估量量 .

26、欢迎下载精品学习资源不论总体 X 听从什么分布 , E X = EX , ES 2=DX, EA k= k=EX k,即样本均值 X , 样本方差 S2,样本 k 阶矩 Ak 分别是总体均值 EX, 方差 DX, 总体 k 阶矩 k 的无偏估量 ,2有效性 如 E1=E2= , 而 D1 D2, 就称估量量 1 比 2 有效.P欢迎下载精品学习资源3一样性 相合性 如 n时,二.区间估量,就称估量量是参数 的相合估量量 .欢迎下载精品学习资源1. 求参数 的置信水平为 1-的双侧置信区间的步骤(1) 查找样本函数 W=WX 1 ,X 2 ,X n, ,其中只有一个待估参数未知,且其分布完全确定

27、 . 2利用双侧分位点找出 W 的区间 a,b,使 PaW b=1 -.3由不等式 aWb 解出就区间 ,为所求.2. 单个正态总体待估参数 其它参数W 及其分布置信区间欢迎下载精品学习资源2 已知XN 0,1 Xnz / 2 n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 未知X t n-1 XS t n1欢迎下载精品学习资源Snn/ 2欢迎下载精品学习资源2未知 n1 S22n-1n1) S2 n1,n1 S2欢迎下载精品学习资源23. 两个正态总体 1均值差 1-222/ 21/ 2 n1欢迎下载精品学习资源其它参数W 及其分布置信区间欢迎下载精品学习资源,XY2212112已知222 N

28、0,1 XY22z12 2n1n2欢迎下载精品学习资源n1n2欢迎下载精品学习资源22XY12212tn1+n2-2 XYt n111n22 Sw欢迎下载精品学习资源11n未知Sw1n22n1n2欢迎下载精品学习资源其中 Sw 等符号的意义见第六章二 . 3 2.欢迎下载精品学习资源S2221,2 未知, W=112S22 Fn1-1,n2-1,方差比 12/22 的置信区间为欢迎下载精品学习资源2S21SF22/ 2n111, n22S,1S212 F11/ 2 n11, n21欢迎下载精品学习资源留意: 对于单侧置信区间 ,只需将以上所列的双侧置信区间中的上下限中的下标 /2 改为 ,另外的下上限取为-即可.欢迎下载