2022年椭圆典型题型归纳总结.docx

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1、学习资料收集于网络,仅供参考椭圆典型题型归纳题型一.定义及其应用学习资料例 1：已知一个动圆与圆2C : x42y100 相内切,且过点A4,0,求这个动圆圆心M的轨迹方程；练习：1. 方程 x32y2 x32y26 对应的图形是（）A. 直线B.线段C.椭圆D.圆2. 方程 x32y 2x32y210 对应的图形是（）A. 直线B.线段C.椭圆D.圆3. 方程x2 y32x2 y3210 成立的充要条件是（）x2y2A. 1B.x2y21C.x2y21D.x2y 21251625916259254. 假如方程x2 ym 2x2 ym 2m1表示椭圆,就 m 的取值范畴是5. 过椭圆9 x24

2、 y21的一个焦点F1的直线与椭圆相交于A, B 两点,就A, B 两点与椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2 的周长等于；6. 设圆 x12y225 的圆心为 C ,A1,0 是圆内肯定点, Q 为圆周上任意一点,线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ,就点 M 的轨迹方程为；题型二.椭圆的方程（一）由方程争论曲线2例 1. 方程 xy21 的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹1625（二） 分情形求椭圆的方程例 2. 已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3 倍,并且过点P 3,0,求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例 3. 已知椭圆的中心在原点, 以坐标轴为对称轴, 且

3、经过两点P1 6,1 、P2 3,2,求椭圆的方程；例 4. 求经过点 2,3 且与椭圆9 x24 y236 有共同焦点的椭圆方程；（四）定义法求轨迹方程；例 5. 在 ABC 中,A, B,C 所对的三边分别为a, b, c ,且 B 1,0,C1,0,求满意 bac且 b, a, c 成等22差数列时顶点 A 的轨迹； 练习：21、动圆 P 与圆C1 : x4 2y81内切与圆C2 : x42y1 外切,求动圆圆心的P 的轨迹方程；2、已知动圆 C 过点 A 2,0 ,且与圆C2 : x22y64 相内切,就动圆圆心的轨迹方程为；（五）相关点法求轨迹方程；x2例 6. 已知 x 轴上肯定点

4、A1,0 , Q 为椭圆4y21 上任一点,求 AQ 的中点 M 的轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例 7. 设动直线 l 垂直于 x 轴,且与椭圆 x2点,求点 P 的轨迹方程；2 y24 交于A, B 两点, 点 P 是直线 l 上满意PAPB1 的（七）列方程组求方程例 8. 中心在原点, 一焦点为的方程；F 0,50的椭圆被直线 y3 x2 截得的弦的中点的横坐标为12,求此椭圆题型三. 焦点三角形问题椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；椭圆 x2a2y2b21ab0 上一点Px0, y0 和焦点F1 c, 0 ,F2 c,0为顶点的PF1 F2 中

5、,F1PF2,就当 P 为短轴端点时最大,且 PF1PF22a；22 4c2PFPF2 PF PFcos；1212 S PF1F21 PF1 PF22x2y 2sin= b2 tan2；（ b 短轴长）5例：知椭圆16251 上一点 P 的纵坐标为,椭圆的上下两个焦点分别为3F2 、F1 ,求PF1 、PF2 及cosF1PF2 ；练习：x2y21、椭圆921的焦点为F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上,如PF14,就PF2；F1PF2 的大小为；222、 P 是椭圆 xy1 上的一点,F1 和F2 为左右焦点,如F1PF260 ；（ 1）求259F1PF2 的面积；（ 2）求点 P 的坐标；题

6、型四. 椭圆的几何性质x2y25例 1. 已知 P 是椭圆221 上的点,的纵坐标为ab, F1 、3F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为 c ,就PF1PF2的最大值与最小值之差为x2y2例 2. 椭圆221 ab ab0 的四个顶点为A, B,C, D ,如四边形 ABCD 的内切圆恰好过焦点,就椭圆的离心率为；例 3. 如椭圆x2y2k141 的离心率为1 ,就 k；2x2y200例 4. 如 P 为椭圆就椭圆的离心率为a 2b21ab0 上一点, F1 、F2 为其两个焦点, 且PF1F215 , PF2F175 ,题型五. 求范畴x2y 2例 1. 方程221焦点在 x 轴的椭

7、圆,求实数 m 的取值范畴；mm1题型六. 求离心率x2y2例 1.椭圆a2b 21 ab0 的左焦点为F1c,0, Aa,0 ,B0, b 是两个顶点,假如F1 到直线 AB 的距离为b,就椭圆的离心率 e 7x2y2例 2. 如 P 为椭圆就椭圆的离心率为a 2b21ab0 上一点,F1 、F2 为其两个焦点, 且PF1F2,PF2F12,例 3.F1、F2为椭圆的两个焦点,过F2 的直线交椭圆于P, Q 两点,PF1PQ ,且PF1PQ ,就椭圆的离心率为；练习x21、（ 2022 南京二模）以椭圆2ay2b 21ab0 的右焦点为圆心的圆经过原点O ,且与该椭圆的右准线交于 A 、 B

8、 两点,已知OAB 是正三角形,就该椭圆的离心率是；22、已知 ABC 分别为椭圆xa22y1ab b 20 的右顶点、上顶点、和左焦点,如ABC900 ,就该椭圆的离心率为；x2y23a3 、（ 2022年新课标）设F1F2是椭圆E : a 2b 21ab0 的左、右焦点, P 为直线x上一2点,F2PF1是底角为 30 的等腰三角形 , 就 E 的离心率为（）12A B 23CD x2y24、椭圆221 ab0 的左、右顶点分别是A,B, 左、右焦点分别是F1,F 2. 如|AF 1|,|F1F2|,|F1B| 成等ab比数列 , 就此椭圆的离心率为 题型七. 直线与椭圆的关系（ 1）直线

9、与椭圆的位置关系例 1.当 m 为何值时,直线l : yxm 与椭圆9 x216 y2144 相切、相交、相离？例 2. 曲线2x2y22 a （ a0 ）与连结A 1,1 , B 2,3的线段没有公共点,求a 的取值范畴；例 3. 过点 P3, 0作直线 l 与椭圆3x24 y212 相交于y2AA, B 两点, O 为坐P标原点,求OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值；Ox B例 4. 求直线的取值范畴x cosy sin20 和椭圆 x23 y26 有公共点时,（ 二）弦长问题例 1. 已知椭圆 x22 y212 , A是 x 轴正方向上的肯定点,如过点A ,斜率为 1 的直线被

10、椭圆截得的弦长为 413 ,求点 A 的坐标；3例 2. 椭圆ax2by21与直线 xy1 相交于A, B 两点, C 是 AB 的中点,如 | AB |22 , O 为坐标原点, OC 的斜率为2 ,求2a, b的值；x2y2例 3. 椭圆1的焦点分别是F1和F2 ,过中心 O 作直线与椭圆交于A, B 两点, 如ABF2 的面积是452020,求直线方程；（三）弦所在直线方程x2例 1. 已知椭圆y 21 ,过点P 2,0能否作直线 l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；164例 2. 已知始终线与椭圆程；4 x29 y236 相交于A, B 两点,弦 AB的中点坐标为M 1,1,求直线

11、AB 的方例 3.椭圆 E 中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,其离心率两点,且 C 分有向线段 AB 的比为2e,过点3C 1,0 的直线 l 与椭圆 E 相交于A, B（ 1）用直线 l 的斜率kk0 表示 OAB 的面积；（ 2）当 OAB 的面积最大时,求椭圆E 的方程（四）关于直线对称问题2例 1. 已知椭圆 xy1 ,试确定 m 的取值范畴, 使得椭圆上有两个不同的点关于直线y4xm 对称；24322例 2. 已知中心在原点,焦点在y 轴上,长轴长等于6,离心率e,试问是否存在直线l ,使 l 与椭3圆交于不同两点A, B ,且线段 AB 恰被直线 x1 平分？如存在,求出直线l

12、倾斜角的取值范畴；如不2存在,请说明理由；题型八 . 最值问题例 1如 P 2,3x2y 2, F2 为椭圆1的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求MPMF2的最大值和最小值；2516M 1F1F2M 22结论 1：设椭圆 xa 22y1 的左右焦点分别为b 2F1, F2 , Px0,y0 为椭圆内一点,M x, y 为椭圆上任意一点,就MPMF2的最大值为2aPF1,最小值为2aPF1 ；例 2 P2,6x 2y 2, F2 为椭圆1 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求MPMF2的最大值和最小2516值；2结论 2 设椭圆 xa 22y1的左右焦点分别为b2F1, F2 , Px0,y0 为椭

13、圆外一点,M x, y 为椭圆上任意一点,就MPMF2的最大值为2aPF1,最小值为PF2 ;2. 二次函数法x 2y 2例 3求定点Aa,0到椭圆1上的点之间的最短距离；a 2b 2x2y2结论 3：椭圆1 上的点M x, y到定点 Am,0 或 B0,n 距离的最值问题,可以用两点间距离公a 2b 2式表示 MA 或 MB ,通过动点在椭圆上消去y 或 x,转化为二次函数求最值,留意自变量的取值范畴；3. 三角函数法22例 4求椭圆 x4y 21 上的点M x, y到直线l : x2 y4 的距离的最值；4. 判别式法例 4 的解决仍可以用判别式法结论 5：椭圆上的点到定直线l 距离的最值

14、问题 ,可转化为与 l 平行的直线 m 与椭圆相切的问题 ,利用判别式求出直线 m 方程,再利用平行线间的距离公式求出最值；题型九 .轨迹问题例 1到两定点 2,1 , 2,2 的距离之和为定值5 的点的轨迹是例 2已知点的轨迹方程；A3,0,点 P 在圆 x2y21的上半圆周上 即 y 0, AOP 的平分线交 PA 于 Q,求点 Q例 3.已知圆C : x32y2100 及点A3,0, P 是圆 C 上任一点,线段 PA 的垂直平分线l 与 PC 相交于 Q 点,求 Q 点的轨迹方程；题型一.定义及其应用椭圆定义：平面内一动点到两定点椭圆典型题型归纳F1, F2 的距离和等于常数 2a（

15、大于F1F2= 2c）点的集合叫椭圆；即 P M| MF1MF22a注：当 ac时轨迹为椭圆；当ac时轨迹为线段F1F2 ；当 ac时无轨迹；例 1：已知一个动圆与圆C : x42y2100 相内切, 且过点A4,0,求这个动圆圆心 M 的轨迹方程；练习：1. 方程 x32y2 x32y26 对应的图形是（）A. 直线B.线段C.椭圆D.圆2. 方程 x32y 2x32y210 对应的图形是（）222A. 直线B.线段C.椭圆D.圆23. 方程x y3x y310 成立的充要条件是（）x2y2A. 1B.x2y21C.x2y21D.x2y 21251625916259254. 假如方程x2 y

16、m 2x2 ym 2m1表示椭圆,就 m 的取值范畴是225. 过椭圆 9 x4 y1的一个焦点F1的直线与椭圆相交于A, B 两点,就A, B 两点与椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2 的周长等于；6. 设圆 x12y225 的圆心为 C ,A1,0 是圆内肯定点, Q 为圆周上任意一点,线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ,就点 M 的轨迹方程为；题型二.椭圆的方程（一）由方程争论曲线x2例 1. 方程y21 的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；（二）1625分情形求椭圆的方程例 2. 已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3 倍,并且过点P 3,0,求椭圆的方程；（三

17、）用待定系数法求方程例 3. 已知椭圆的中心在原点, 以坐标轴为对称轴, 且经过两点P1 6,1 、P2 3,2,求椭圆的方程；例 4. 求经过点 2,3 且与椭圆9 x24 y236 有共同焦点的椭圆方程；2注：一般地,与椭圆xa 22y1共焦点的椭圆可设其方程为b 2x2y2a 2kb2k1kb 2 ；（四）定义法求轨迹方程；例 5. 在 ABC 中,A, B,C 所对的三边分别为a, b, c ,且 B 1,0,C1,0,求满意 bac且 b, a, c 成等差数列时顶点 A 的轨迹；练习 1、动圆 P 与圆程；C1 : x42y281内切与圆C2 : x4 2y21 外切,求动圆圆心的

18、P 的轨迹方练习2、已知动圆C 过点A 2,0 ,且与圆为；C2 : x2 2y264 相内切,就动圆圆心的轨迹方程（五）相关点法求轨迹方程；x22例 6. 已知 x 轴上肯定点A1,0 , Q 为椭圆y 41 上任一点,求 AQ 的中点 M 的轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例 7. 设动直线 l 垂直于 x 轴,且与椭圆 x2点,求点 P 的轨迹方程；2 y24 交于A, B 两点, 点 P 是直线 l 上满意PAPB1 的（七）列方程组求方程例 8. 中心在原点, 一焦点为的方程；F 0,50的椭圆被直线 y3 x2 截得的弦的中点的横坐标为12,求此椭圆题型三. 焦点三角形问题椭圆中

19、的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；x2y2椭 圆 a2b21ab0 上 一 点P x0, y0 和 焦 点F1 c , 0 ,F2 c,0为顶 点 的PF1F2 中 ,F1PF2 PF1,就当 P 为短轴端点时最大,且PF22a ；22 4c2PFPF2 PFPF cos；1212 S PF1F212 PF1x2y2PF2sin2= btan2；（ b 短轴长）5例：知椭圆16251 上一点 P 的纵坐标为,椭圆的上下两个焦点分别为3F2 、 F1,求PF1 、PF2 及cosF1PF2 ；练习：x2y21、（ 2022 北京） 椭圆921的焦点为F1 、 F2

20、,点 P 在椭圆上,如PF14,就PF2；F1PF2 的大小为；22 、 P 是 椭 圆 xy21 上 的 一 点 ,F1 和F2 是 焦 点 , 如F1PF230 , 就F1PF2的 面 积 等 于2516（） A1633x2y2 B423 C 16 23 D 162-33、 P 是椭圆2591 上的一点,F1 和F2 为左右焦点,如F1PF260 ；（ 1）求F1PF2 的面积；（ 2）求点 P 的坐标；题型四. 椭圆的几何性质x2y25例 1. 已知 P 是椭圆221 上的点,的纵坐标为ab, F1 、3F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为 c ,就PF1PF2的最大值与最小值之差

21、为x2y2例 2. 椭圆a 2b21 ab0 的四个顶点为A, B,C, D ,如四边形 ABCD 的内切圆恰好过焦点,就椭圆的离心率为；例 3. 如椭圆x2y2k14x21 的离心率为y21 ,就 k；200例 4. 如 P 为椭圆就椭圆的离心率为221abab0 上一点, F1、F2 为其两个焦点, 且PF1F215 ,PF2F175 ,题型五. 求范畴x2y 2例 1. 方程221焦点在 x 轴的椭圆,求实数 m 的取值范畴；mm1题型六. 求离心率2例 1.椭圆 xa2y2b 21 abb0 的左焦点为F1c,0, Aa,0 ,B0, b 是两个顶点,假如F1 到直线 AB 的距离为,

22、就椭圆的离心率 e7x2y2例 2. 如 P 为椭圆就椭圆的离心率为a 2b21ab0 上一点,F1 、F2 为其两个焦点, 且PF1F2,PF2F12,例 3.F1、F2为椭圆的两个焦点,过F2 的直线交椭圆于P, Q 两点,PF1PQ ,且PF1PQ ,就椭圆的离心率为；练习x21、（ 2022 南京二模）以椭圆2ay2b 21ab0 的右焦点为圆心的圆经过原点O ,且与该椭圆的右准线交于 A 、 B 两点,已知OAB 是正三角形,就该椭圆的离心率是；22、已知 ABC 分别为椭圆xa22y1ab b 20 的右顶点、上顶点、和左焦点,如ABC900 ,就该椭圆的离心率为；x2y23a3

23、、（ 2022年新课标）设F1F2是椭圆E : a 2b 21ab0 的左、右焦点, P 为直线x上一2点,F2PF1是底角为 30 的等腰三角形 , 就 E 的离心率为（）1A 2x2y2B 23CD 4、椭圆221 ab0 的左、右顶点分别是A,B, 左、右焦点分别是F1,F 2. 如|AF 1|,|F1F2|,|F1B| 成等ab比数列 , 就此椭圆的离心率为 题型七. 直线与椭圆的关系（ 1）直线与椭圆的位置关系例 1.当 m 为何值时,直线l : yxm 与椭圆9 x216 y2144 相切、相交、相离？例 2. 曲线2x2y22 a2 （ a0 ）与连结A 1,1 , B 2,3的

24、线段没有公共点,求a 的取值范畴；例 3. 过点 P3, 0作直线 l 与椭圆3x24 y212 相交于A, B 两点, O 为坐标原点,求OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值；分析：如直接用点斜式设 l 的方程为 y0k x3) ,就要求 ly的斜率肯定要存在, 但在这里 l 的斜率有可能不存在,因此要争论A斜率不存在的情形,为了防止争论,我们可以设直线l 的方程为Px myOx3 ,这样就包含了斜率不存在时的情形了,从而简化B了运算；解：设A x1 , y1, B x2 , y2 , l ： xmy3S AOB1 | OP |2| y1 |1 | OP |2| y2 |3 |y1

25、| y2 |3 y1y2 把 xmy3 代入椭圆方程得：3m 2 y 223my34 y2120 ,即3m24) y 263my30 , yy63m, y y3| yy |108m2123m 2121124144x2483m24123m24 23m243m2449m232433m212433m2124 3m34323m4 S323m3 ,此时43m2 3m11333m21m6233m212令直线的倾角为,就tan3m2133662即 OAB 面积的最大值为3 ,此时直线倾斜角的正切值为6 ；2例 4. 求直线x cosy sin2 和椭圆 x23 y26 有公共点时,的取值范畴 0 ；（ 二）

26、弦长问题例 1. 已知椭圆 x22 y212 , A是 x 轴正方向上的肯定点,如过点A ,斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为 413 ,求点 A 的坐标；3分析： 如直线 ykxb 与圆锥曲线f x, y0 相交于两点P x1, y1 、 Q x2 , y2 ,就弦 PQ 的长度的运算公式为| PQ |1k 2| x1x2 |11| y k 21y2 | ,而 | x1x2 | x1x 24x1x2,因此只要把直线 ykxb 的方程代入圆锥曲线f x,y0 方程, 消2去 y （或 x ）,结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长；解：设A x0 ,0 （x00 ）,就直线 l 的方程为

27、y xx0,设直线 l 与椭圆相交于P x1, y1 、Qx2, y2 ,yxx022由22,可得 3 x4 x0x2 x0120 ,xx1x22 y4 x0312, x1x222 x012,就32222| x1x2 | x1x 24 x1 x216x098x048323632x0 41431x 2| x1414x2 | ,即32236322 x02 x04 ,又 x00 , x02 ,A2,0 ；例 2. 椭圆ax2by21与直线 xy1 相交于A, B 两点, C 是 AB 的中点,如 | AB |22 , O 为坐标原点, OC 的斜率为2 ,求2a, b的值；x2y2例 3. 椭圆1的

28、焦点分别是F1和F2 ,过中心 O 作直线与椭圆交于A, B 两点, 如ABF2 的面积是452020,求直线方程；（三）弦所在直线方程2例 1. 已知椭圆 xy 21 ,过点P 2,0能否作直线 l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；164例 2. 已知始终线与椭圆程；4 x29 y236 相交于A, B 两点,弦 AB的中点坐标为M 1,1,求直线 AB 的方例 3.椭圆 E 中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,其离心率 e两点,且 C 分有向线段 AB 的比为2,过点3C 1,0 的直线 l 与椭圆 E 相交于A, B（ 1）用直线 l 的斜率kk0 表示 OAB 的面积；（ 2）当 O

29、AB 的面积最大时,求椭圆E 的方程x 2y 2c2解：（ 1）设椭圆 E 的方程为1,由 e, 22故椭圆方程 x23 y2a 2b 23b 2 ；a =3ba3设 A x1, y1, B x2 , y2 ,由于点 C 1,0 分有向线段 AB 的比为 2x12 x23y12 y23x11,即0y112x212y2x 23 y2由yk x3b21消去 y 整理并化简得 3k 2+1x 2+6k 2x+3k 2 3b2=0由直线 l 与椭圆 E 相交于A x1, y1, B x2 ,y2 两点x1x1 x236k 4x23k 23k43k 26k 23k 213b 22113k 22b 2 0

30、而 S1 | yy|1|2 yy |3| y |3| k x1 |3| k | x1|OAB122222222222由得 : x2123k2,代入得：1S OAB3| k |3k21 k0 .（ 2）因 S3| k |333,OAB3k 213| k |1232| k |当且仅当 k3, S OAB 取得最大值3此时 xx1 ,又 x12x21 , x1, x2 ；12123将 x , x 及 k 21 代入得 3b2=5 ,椭圆方程x23 y25 312x2y2例4. 已 知A x1 ,y1 , B 1,y0C,2x2y是,椭 圆431 上 的 三 点 , F 为 椭 圆 的 左 焦 点 ,

31、 且AF , BF , CF 成等差数列,就 AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论；（四）关于直线对称问题x2例 1. 已知椭圆y1 ,试确定 m 的取值范畴, 使得椭圆上有两个不同的点关于直线y4xm 对称；243例 2. 已知中心在原点,焦点在y 轴上,长轴长等于6,离心率 e2 2 ,试问是否存在直线l ,使 l 与椭3圆交于不同两点A, B ,且线段 AB 恰被直线 x1 平分？如存在,求出直线l 倾斜角的取值范畴；如不2存在,请说明理由；题型八 . 最值问题例 1如 P 2,3x2y 2, F2 为椭圆1的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求MPMF2的最大值和最小值；2516分析：欲求MPMF2的最大值和最小值M 1可转化为距离差再求；由此想到椭圆第肯定义MF22aMF1 ,F1 为椭圆的左焦点；F1oF2解： MPMF2MP2aMF1,连接PF1,延长PF1 交椭圆于点 M 1,延长M 2F1P 交椭圆于点M 2 由三角形三边关系知PF1MPMF1PF1当且仅当 M 与 M 1 重合时取右等号、 M 与 M 2 重合时取左等号；由于 2a10, PF1x22 ,所以y2 MPMF2 max12 , MPMF2min8 ；结论 1：设椭圆a 21 的左右焦点分别为b 2F1, F2 , Px0,y0 为椭圆内一点,M x, y 为椭圆上任意