2022年圆的方程知识点总结和典型例题.docx

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1、圆的方程学问点总结和经典例题1. 圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合轨迹标准x a2 y b2 r2 r 0圆心： a,b,半径： r方程DE一般x2 y2 Dx Ey F 0D2 E2圆心： 2 , 2 ,方程留意点4F 0半径： 12D 2 E2 4F(1) 求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程(2) 对于方程 x2y2 Dx Ey F 0 表示圆时易忽视 D 2 E2 4F 0 这一条件2. 点与圆的位置关系点 M x0, y0与圆 x a2y b2 r 2 的位置关系： 1如 M x0, y0在圆外,就 x0 a2 y0

2、b2 r2. 2如 M x0, y0在圆上,就 x0 a2 y0 b2 r2. 3如 M x0, y0在圆内,就 x0 a2 y0 b2 r2.3. 直线与圆的位置关系（1） 直线与圆的位置关系的判定方法设直线 l ：Ax By C0 A2 B2 0, 圆： x a2 y b2 r2r 0,d 为圆心 a, b到直线 l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为 .方法位置关系几何法代数法相交d0相切d r 0相离drr 1 r 2无解外切d r 1 r 2一组实数解相交r 1 r 2 d0 ,1圆 O2： x a22 y b22 r 2r 20 2方法位置关系几何法：圆

3、心距的关系d 与 r1, r2代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情形内切d r 1 r 2 r1 r20 d r 1r 2 r1 r 2一组实数解内含无解易误点： 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形1. 判定两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范畴有以下几个步骤：(1) 化成圆的标准方程,写出圆心和半径；(2) 运算两圆圆心的距离d；(3) 通过 d,r 1r2, r 1r 2 的关系来判定两圆的位置关系或求参数的范畴,必要时可借助于图形,数形结合2. 应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范畴是特别简洁清楚的,要理清圆心距与两圆半径的关系（2）两圆相交有关问题1. 圆

4、系方程一般地过圆 C1：x2 y2D1xE1yF1 0 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 交点的圆的方程可设为： x2 y2D1xE1yF1 x2 y2D2xE2yF2 0 1,然后再由其他条件求出 ,即可得圆的方程2. 两圆相交时,公共弦所在的直线方程如圆 C1：x2y2D1 x E1yF10 与圆 C2：x2 y2D2xE2yF2 0 相交,就两圆公共弦所在直线的方程为 D1 D2x E1 E2yF1 F20.3. 公共弦长的求法(1) 代数法： 将两圆的方程联立, 解出交点坐标, 利用两点间的距离公式求出弦长(2) 几何法： 求出公共弦所在直线的方程, 利用圆的半径、 半弦长、弦心

5、距构成的直角三角形,依据勾股定理求解5. 对称问题(1) 点关于点成中心对称通常利用中点坐标公式点| P（x,y）关于 Q（a,b）的对称点为 P（2a x, 2by）.| 2点关于直线成轴对称3曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称6. 与圆有关的最值问题的常见解法y b(1) 形如 x形式的最值问题 , 可转化为动直线斜率的最值问题a(2) 形如 t ax by 形式的最值问题 , 可转化为动直线截距的最值问题(3) 形如 x a2 yb 2 形式的最值问题 , 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题|7. 典型例题1.直线 3x 4y 50 与圆 x2 y2 1 的位置关系是 A

6、相交B相切C相离D无法判定【解析】圆心 0,0到直线 3x 4y 50 的距离 d 532 42 1,又圆 x2 y21 的半径 r 1, d r ,故直线与圆相切2.直线 3x4y 120 与圆x12y129 的位置关系是 A过圆心B相切C相离D相交但不过圆心【解析】 圆心1, 1到直线 3x4y12 0 的距离 d314 1 12324211 5 r.【答案】D3. 求过点 1, 7且与圆 x2y225 相切的直线方程【解析】由题意知切线斜率存在, 设切线的斜率为 k,就切线方程为 y 7 kx1,k743即 kx y k 7 0.k21 5,解得 k3或 k 4.所求切线方程为y74x1

7、或 y7 3 1,即 4x3y250 或 3x 4y250.34x4.过点 A4, 3作圆 C：x 32y 12 1 的切线,求此切线的方程 .|【解析】 由于432 3 12 171,所以点 A 在圆外(1) 如所求切线的斜率存在,设切线斜率为k, 就切线方程为 y 3 k x 4由于圆心 C3,1到切线的距离等于半径,半径为1,所以 3k134k 1,即 k4 k2 1, k2 18 .所以 k28k16k21,解得 k 15所以切线方程为 y3158 x4,即 15x8y 360.(2) 如直线斜率不存在,圆心 C3,1到直线 x4 的距离也为 1, 这时直线与圆也相切,所以另一条切线方

8、程是x4.综上,所求切线方程为15x8y 360 或 x4.5.求直线 l： 3xy60 被圆 C：x2y2 2y40 截得的弦长【解析】 圆 C：x2y2 2y40 可化为 x2y125, 其圆心坐标为 0,1,半径 r 5.点0,1到直线 l 的距离为 d30161032 12 2 ,l2r2d2 10,所以截得的弦长为10.6.直线 x2y5 50 被圆 x2y22x4y 0 截得的弦长为 A1B2C 4D46【解析】圆的方程可化为 C：x12y225,其圆心为 C1,2,半径 r 5.如下列图,取弦 AB 的中点 P,连接 CP,就 CPAB,圆心 C 到直线 AB 的距离 d CP

9、145 5 1.在 Rt ACP 中, AP r 2 d22,故直线1222被圆截得的弦长 AB 4.7.两圆 x2y29 和 x2y2 8x6y 9 0 的位置关系是 A外离B相交C内切D外切【解析】两圆 x2 y29 和 x2y28x6y 9 0 的圆心分别为 0,0和4,3,半径分别为 3 和 4.所以两圆的圆心距 d 42 3 2 5.又 43534,故两圆相交8.圆 O1：x2y2 2x0 和圆 O2： x2y24y0 的位置关系为 A外离B相交C外切D内切【解析】圆 O1 的圆心坐标为 1,0,半径长 r11；圆 O2 的圆心坐标为 0,2,半径长 r22；1r 2r 1 O1O2

10、 5r 1r 2 3,即两圆相交9.求两圆 x2y22x10y240 和 x2 y22x 2y80 的公共弦所在直线的方程及公共弦长【解析】联立两圆的方程得方程组x2y2 2x10y 240,x2 y22x2y80,两式相减得x2y40,此为两圆公共弦所在直线的方程法 一 ： 设 两 圆 相 交 于 点 A , B , 就 A , B两 点 满 足 方 程 组x2y 4 0, x2 y22x2y80, 解得x 4,或y0x0, y2.所以 AB 40 2 0 2 225,即公共弦长为 25.法二： 由 x2y22x 10y24 0,得x12y5250,其圆心坐标为1 , 5 ,半径长 r 52

11、 ,圆心到直线x 2y 4 0 的距离为d1 2 5 4 35.设公共弦长为 2l,由勾股定理得 r2 d2l2,即 501 2 2352l 2,解得 l 5,故公共弦长 2l25.10. 求圆 C1：x2 y21 与圆 C2： x2y22x2y10 的公共弦所在直线被圆25C3：x 12y 12 4 所截得的弦长作差【出色点拨】联立圆C1、C2的方程 得公共弦所在的直线 圆心C3到公共弦的距离 d 圆的半径 r 弦长 2r2d2【解析】 设两圆的交点坐标分别为 Ax1,y1,Bx2,y2,就 A,B 的坐标是方程组x2y2 1,x2 y2 2x2y 1 0的解,两式相减得 xy1 0.由于

12、A, B 两点的坐标满意 | x y 1 0,所以 AB 所在直线方程为 xy10,即 C1,C2 的公共弦所在直线方程为xy10,圆 C3 的圆心为 1,1,其到直线 AB 的距离 d 1 ,由条件知 r 2 d225122323 4 24 ,所以直线 AB 被圆 C3 截得弦长为 2 2 23.11. 已知圆 C 与圆x12y21 关于直线 y x 对称,就圆 C 的方程为 Ax12y21Bx2y2 1C x2y121Dx2y12 1【解析】 由已知圆 x12y21 得圆心 C11,0,半径长 r11.设圆心 C11,0关于直线 y x 对称的点为 a,b,ba 1 1 1,就a0,解得所

13、以圆 C 的方程为 x2y121.a1bb 1. 22,12. 当动点 P 在圆 x2y2 2 上运动时,它与定点 A3,1连线中点 Q 的轨迹方程为【解析】设 Qx,y,Pa, b,由中点坐标公式得xa 32,b 1a 2x3, 所以 b 2y1.y 2,点 P2x3,2y 1满意圆 x2y2 2 的方程,所以 2x322y122,2化简得 x32 y1212,即为点Q 的轨迹方程213.（1）ABC 的顶点坐标分别是A（5,1）, B（ 7, 3）, C（ 2, 8）, 求它的外接圆的方程；（2）ABC 的顶点坐标分别是 A（ 0,0）,B（5,0）,C（0,12 ）,求它的内切圆的方程【

14、解答】 解：（ 1）设所求圆的方程为（ x a） 2+（yb）2=r2, 由于 A（ 5, 1）, B（7, 3）, C（2, 8）都在圆上,所以它们的坐标都满意方程,于是,可解得 a=2,b= 3,r=25 ,所以ABC 的外接圆的方程是（ x 2 ）2+（y+3） 2=25 （2）ABC 三个顶点坐标分别为 A（0,0）,B（5,0）,C（ 0,12）,AB AC, AB=5 ,AC=12 , BC=13 ,ABC 内切圆的半径 r=2 ,圆心（ 2,2）,ABC 内切圆的方程为（ x 2） 2+（y2）2=414.已知圆 C：x2+（y+1） 2=5,直线 l：mx y+1=0（m R）

15、（1） 判定直线 l 与圆 C 的位置关系；（2） 设直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,如直线 l 的倾斜角为 120 ,求弦 AB的长【解答】 解：（ 1）由于直线 l 的方程是 mx y+1=0,即 y1=mx ,经过定点 H（0 , 1）,而点 H 到圆心 C（0,1）的距离为 2,小于半径,故点 H 在圆的内部,故直线 l 与圆 C 相交,故直线和圆恒有两个交点（2）直线 l 的倾斜角为 120 ,直线 l：x y+1=0,圆心到直线的距离 d=1,| AB| =2=415. 过点1, 2的直线 l 被圆 x2 y22x 2y10 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程【解】由题意,直线与圆要相交,斜率必需存在,设为k.设直线 l 的方程为 y2kx1又圆的方程为 x 12 y12 1,圆心为 1,1,半径为 1,所以圆心到直线的距离d 2k12 12 2 2 21k21722 .17解得 k1 或7 .所以直线 l 的方程为 y2x1 或 y 27 x1,即 xy10 或 17x 7y30.