2022年椭圆题型完美归纳.docx
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1、椭圆题型归纳一、学问总结1.椭圆的定义 :把平面内与两个定点 F1, F2 的距离之和等于常数 (大于 F1F2的轨迹叫做椭圆 .这两个定点叫做焦点,两焦点的距离叫做焦距设为 2c .2.椭圆的标准方程:x 2y 2y 2x 2a2b21 ( a b 0)a2b21 ( a b 0)yMyF 2F 1c OcF 2xcO cF 1Mx焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形,可设方程为 mx2ny21m0, n0 不必考虑焦点位置,求出方程;)的点3. 范畴. 椭圆位于直线 xa 和 yb 围成的矩形里 |x|a,|y|b4. 椭圆的对称性椭圆是关于 y 轴、x 轴、原点都是对称的坐标轴是椭圆的
2、对称轴 原点是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心5. 顶点椭圆有四个顶点: A1 a, 0 、A2 a, 0 、B10, b、B2 0, b 线段 A1A2、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴 .;精品资料长轴的长等于 2a. 短轴的长等于 2b.|B1F1|B1F2|B2 F1|B2F2|a在 Rt OB 2F2 中, |OF 2|2|B2 F2|2|OB 2|2,即 c2a2b2yaB2A1bA2F 1 Oc F 2xB16. 离心率x2ec 0 ay2e17. 椭圆221aba b0的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点F1PF2,就椭圆的焦点角形的面积为F1P
3、F2.Sb tan22x2y28. 椭圆221( ab 0)的焦半径公式ab| MF1 |aex0 ,| MF 2 |aex0 F1 c,0,F2c,0 M x0, y0 .x2y29. AB 是椭圆221 的不平行于对称轴的弦 , M x0 , y0 为 AB 的中点,就a bkOMkABb22 , 即 K ABb 2 x02;aa y0考点一 定义及其应用例 1. 已知一个动圆与圆 C : x4 2y2100 相内切,且过点A4,0 ,求这个动圆圆心 M 的轨迹方程;例 2. 假如方程x2 ym2x2 ym 2m1 表示椭圆,就 m的取值范畴是例 3.过椭圆 9x24 y21 的一个焦点
4、F 的直线与椭圆相交于1A, B 两点,就 A, B 两点与椭圆的另一个焦点 F2 构成的 ABF2 的周长等于;例 4.设圆 x12y 225 的圆心为 C ,A1,0 是圆内肯定点, Q 为圆周上任意一点,线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M ,就点 M 的轨迹方程为考点二 椭圆的方程;例 1. 已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3 倍,并且过点P3,0,求椭圆的方程;例 2. 已知椭圆的 中心在原 点,以坐 标轴为对称轴 ,且经 过两 点 P16 ,1、P23,2 ,求椭圆的方程;例 3. 求经过点 2,3 且与椭圆9 x24 y236 有共同焦点的椭圆方程;2x2y
5、2x2y2注:与椭圆221 共焦点的椭圆可设其方程为ab221kb ; akbk例 1. 在 ABC 中,A, B, C 所对的三边分别为a,b, c ,且B1, 0,C1, 0,求满意b ac 且b, a, c 成等差数列时顶点 A 的轨迹;例 2. 已知 x轴上肯定点A1,0 , Q 为椭圆 x24y21 上任一点,求 AQ 的中点 M 的轨迹方程;例 3.设动直线 l 垂直于 x 轴,且与椭圆 x22 y24 交于A, B 两点,点 P 是直线 l 上满意 PA PB1的点,求点 P 的轨迹方程;例 4. 中心在原点, 一焦点为F 0,50的椭圆被直线 y3 x2 截得的弦的中点的横坐标
6、为 12,求此椭圆的方程;考点三 焦点三角形问题22例1.已知椭圆 xy1 上一点 P 的纵坐标为 5 ,椭圆的上下两个焦点分别为F2 、16253F1,求PF1 、PF2及cosF1PF2 ;考点四椭圆的几何性质x2y25例 1. 已知 P 是椭圆221 上的点,的纵坐标为ab, F1 、 F2 分别为椭圆的两个3焦点,椭圆的半焦距为 c,就PF1PF2的最大值与最小值之差为x2y 2例 2. 椭圆a 2b 21 ab0 的四个顶点为A, B,C, D ,如四边形 ABCD 的内切圆恰好过焦点,就椭圆的离心率为;例 3. 如椭圆x2y2k141 的离心率为1 ,就k;2x2y20例 4. 如
7、P 为椭圆a 2b 21ab0 上一点,F1 、F2 为其两个焦点,且PF1F215 ,PF2 F1750 ,就椭圆的离心率为考点五求范畴x2y2例 1. 方程 221表示准线平行于 x轴的椭圆,求实数 m的取值范畴;m m1考点六 .椭圆的其次定义的应用例 1. 方程2 x12 y12xy2 所表示的曲线是例 2. 求经过点x2M 1,2 ,以 y 轴为准线,离心率为 12y2的椭圆的左顶点的轨迹方程;5例 3. 椭圆2591 上有一点 P ,它到左准线的距离等于,那么 P 到右焦点的距2离为x2y 2例 4 已知椭圆1 ,能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点M ,43使它到左准线的
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