2022年概率论与数理统计公式整理.docx

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1、精品学习资源2021-1-1第 1 章 随机大事及其概率nm.Pm从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数；欢迎下载精品学习资源 1 排列组合公式 mn.Cnm.m从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数；欢迎下载精品学习资源n. mn.欢迎下载精品学习资源 2 加法和 乘 法 原理 3 一些常见排列 4 随机试 验 和 随机大事 5 基本大事、样本空 间 和 大事加法原理两种方法均能完成此事： m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，其次种方法可由n种方法来完成，就这件事可由m+n 种方法来完成；乘法原理两个步骤分别不能完成这件事： mn某件事由两个步骤来完成，第一个步

2、骤可由m种方法完成，其次个步骤可由n种方法来完成，就这件事可由m n 种方法来完成；重复排列和非重复排列有序对立大事至少有一个次序问题假如一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果，就称这种试验为随机试 验；试验的可能结果称为随机大事；在一个试验下， 不管大事有多少个， 总可以从其中找出这样一组大事，它具有如下性质：每进行一次试验，必需发生且只能发生这一组中的一个大事；任何大事，都是由这一组中的部分大事组成的；这样一组大事中的每一个大事称为基本大事，用来表示；基本大事的全体，称为试验的样本空间，用表示；一个大事就是由中的部分点

3、基本大事组成的集合；通常用大写字母A，B，C，表示大事，它们是的子集；为必定大事，. 为不行能大事；不行能大事 .的概率为零，而概率为零的大事不肯定是不行能大事；同理， 必定大事的概率为1，而概率为 1 的大事也不肯定是必定大事；关系：假如大事 A 的组成部分也是大事B的组成部分， A发生必有大事 B 发生：欢迎下载精品学习资源AB假如同时有 AB ， BA ，就称大事 A 与大事 B 等价，或称 A 等于 B：欢迎下载精品学习资源 6 大事的 关 系 与运算A=B；A、B中至少有一个发生的大事：AB，或者 A+B；属于 A而不属于 B 的部分所构成的大事，称为A 与 B的差，记为 A-B，也

4、可欢迎下载精品学习资源表示为 A-AB或者 AB ，它表示 A 发生而 B不发生的大事；A、B同时发生： AB，或者 AB；AB=.，就表示 A与 B 不行能同时发生， 称大事 A 与大事 B 互不相容或者互斥；基本大事是互不相容的；欢迎下载精品学习资源2021-1-1-A 称为大事 A 的逆大事，或称 A 的对立大事，记为A ；它表示 A 不发生的大事；互斥未必对立；运算：结合率： ABC=ABC A B C=A B C安排率： AB C=A C B C A B C=AC BCAiAi欢迎下载精品学习资源德摩根率：i 1i 1ABAB ， ABAB欢迎下载精品学习资源设为样本空间，A 为大事

5、，对每一个大事A 都有一个实数PA ，假设满意以下三个条件：1 0 PA 1，2 P =1欢迎下载精品学习资源 7 概率的 公 理 化定义3 对于两两互不相容的大事PA1 ，AiA2 ，有PAi 欢迎下载精品学习资源i 1i 1常称为可列完全可加性；就称 PA 为大事 A 的概率；欢迎下载精品学习资源12P1 ,21 Pn，12Pn ；n欢迎下载精品学习资源 8 古典设任一大事 A ，它是由1 ,2m 组成的，就有欢迎下载精品学习资源概型PA = 1 2 m = P1 P2 Pm 欢迎下载精品学习资源mA所包含的基本大事数n基本大事总数欢迎下载精品学习资源 9 几何概型假设随机试验的结果为无限

6、不行数并且每个结果显现的可能性匀称，同时样本空间中的每一个基本大事可以使用一个有界区域来描述，就称此随机试验为几何概型；对任一大事A，L A欢迎下载精品学习资源P AL；其中 L 为几何度量长度、面积、体积；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源10加法公式11减法公式12条件PA+B=PA+PB-PAB当 PAB 0 时， PA+B=PA+PBPA-B=PA-PAB当 BA时， PA-B=PA-PB当 A=时， P B =1- PB定义 设 A、B 是两个大事，且 PA0 ，就称P ABP A为大事 A 发生条件下，事欢迎下载精品学习资源概率件 B 发生的条件概率，记为P B / AP A

7、B ；P A欢迎下载精品学习资源2021-1-1条件概率是概率的一种，全部概率的性质都适合于条件概率；例如 P /B=1P B /A=1-PB/A欢迎下载精品学习资源乘法公式：P ABP A PB / A欢迎下载精品学习资源13乘法更一般地，对大事A1， A2， An，假设 PA1A2 An-1 0 ，就有欢迎下载精品学习资源公式P A1 A2 An1 ；AnP A1P A2 |A1 P A3 |A1 A2 P An |A1A2 欢迎下载精品学习资源两个大事的独立性设大事 A 、B 满意P ABPAP B ，就称大事 A 、B 是相互独立的；欢迎下载精品学习资源假设大事 A 、 B 相互独立，

8、且P A0 ，就有欢迎下载精品学习资源P B | AP ABP AP AP B P AP B欢迎下载精品学习资源14独立性假设大事 A 、 B 相互独立， 就可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立；必定大事和不行能大事. 与任何大事都相互独立；. 与任何大事都互斥；多个大事的独立性设 ABC是三个大事，假如满意两两独立的条件， PAB=PAPB ； PBC=PBPC ； PCA=PCPA 并且同时满意 PABC=PAPBPC那么 A、B、C 相互独立；对于 n 个大事类似；欢迎下载精品学习资源设大事B1, B2, Bn 满意欢迎下载精品学习资源15全概公式1 B1,

9、B 2,nA, Bn 两两互不相容，BiPBi 0i1,2, n ，欢迎下载精品学习资源2i 1，就有欢迎下载精品学习资源P AP B1 P A | B1P B 2 P A | B2PBn P A |Bn ；欢迎下载精品学习资源设大事B1 ， B 2 ，Bn 及 A 满意欢迎下载精品学习资源1 B1 ，B2 ，nBn 两两互不相容，P Bi 0， i1， 2， n ，欢迎下载精品学习资源A1，2i就BiP A0欢迎下载精品学习资源16贝叶斯公式P Bi/ APBi P A/ Bi nP B j P A/ Bj ， i=1 ， 2， n；欢迎下载精品学习资源j 1此公式即为贝叶斯公式；欢迎下载精

10、品学习资源P Bi ， i1 ， 2 ， n ，通常叫先验概率；PBi/ A， i1 ， 2 ，欢迎下载精品学习资源17伯努利概型n ，通常称为后验概率；贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断；我们作了 n 次试验，且满意每次试验只有两种可能结果，A 发生或 A 不发生；欢迎下载精品学习资源2021-1-1n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的；这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验；欢迎下载精品学习资源用 p 表示每次试验 A 发生的概率，就 A 发生的概率为 1pq ，用

11、Pnk 表欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源示 n重伯努利试验中A 显现k 0kn 次的概率，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Pn kkCn pk q n kk，0,1,2, n ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1离散型 随 机 变量 的 分 布律其次章随机变量及其分布设离散型随机变量X 的可能取值为 Xkk=1,2, 且取各个值的概率，即大事X=Xk 的概率为PX=xk =p k， k=1,2, ，就称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律；有时也用分布列的形式给出：欢迎下载精品学习资源X| x1, x2, xk,欢迎下载精品学习资源P Xxk p1, p 2,

12、pk ,；欢迎下载精品学习资源明显分布律应满意以下条件：欢迎下载精品学习资源1 pk0 ， k1,2,pk1， 2 k 1；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2连续型 随 机 变量 的 分 布设 F x 是随机变量 X 的分布函数，假设存在非负函数有xf x ，对任意实数x ，欢迎下载精品学习资源F x密度f x dx，欢迎下载精品学习资源就称 X 为连续型随机变量；率密度；f x 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概欢迎下载精品学习资源密度函数具有下面4 个性质：欢迎下载精品学习资源1fx0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源23离散f xdx1；欢迎下载精品学习资源与

13、连 续 型PXx) PxXx dxf xdx欢迎下载精品学习资源随 机 变 量的关系积分元f xdx在连续型随机变量理论中所起的作用与P Xxkpk 在离欢迎下载精品学习资源散型随机变量理论中所起的作用相类似；欢迎下载精品学习资源2021-1-1欢迎下载精品学习资源4分布设 X 为随机变量， x 是任意实数，就函数欢迎下载精品学习资源函数F xP Xx欢迎下载精品学习资源称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数；欢迎下载精品学习资源PaXbF bF a可以得到X 落入区间a, b 的概率；分布欢迎下载精品学习资源函数 F x 表示随机变量落入区间， x 内的概率；分布函数具有如下性质：

14、10F x1,x；欢迎下载精品学习资源2F x 是单调不减的函数，即x1x2 时，有F x1F x2 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3F limxF x0 ，F limxF x1；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4F x0F x ，即F x 是右连续的；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5P XxF xF x0) ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源对于离散型随机变量，F xpk ；xkx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源对于连续型随机变量，F xxf x dx ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5八大分布0-1 分布PX=1=p, PX=0=q二

15、项分布在 n 重贝努里试验中，设大事A 发生的概率为 p ；大事 A 发生欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源的次数是随机变量，设为X ，就 X 可能取值为0,1,2,n ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源P XkPn kkkn k n，其中欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Cpqq1p,0p1,k0,1,2, n ，欢迎下载精品学习资源就 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n ， p 的 二 项 分 布 ； 记 为k1X Bn, p ；欢迎下载精品学习资源当 n1时，P Xkp qk ， k0.1 ，这就是 0-1 分欢迎下载精品学习资源布，所以 0-1 分布是二

16、项分布的特例；欢迎下载精品学习资源2021-1-1泊松分布设随机变量 X 的分布律为kP Xk k.e，0 ， k0,1,2，就称随机变量 X 听从参数为的泊松分布，记为X 或者 P ；泊松分布为二项分布的极限分布np=， n；超几何分布P XkCk Mn Nk Mk0,1,2,lC. Cn,Nlmin M , n随机变量 X 听从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为Hn,N,M ；几何分布P Xkqk1 p, k1,2,3,，其中 p0， q=1-p ；随机变量 X 听从参数为 p 的几何分布，记为Gp ；匀称分布设随机变量 X 的值只落在 a ，b 内， 其密度函数f x 在a ，b1上

17、为常数ba，即f x1ba 0,a x b其他，就称随机变量X 在a ， b 上听从匀称分布，记为XUa ， b ；分布函数为0，x bxb；当 a x 1x2 b 时， X 落在区间 x1 , x2 内的概率为P x1Xx2 x2bx1a；欢迎下载精品学习资源2021-1-1欢迎下载精品学习资源指数分布f xe x ,x0 ,欢迎下载精品学习资源0,x0 ,其中0 ，就称随机变量 X 听从参数为的指数分布；X 的分布函数为欢迎下载精品学习资源F x1ex ,0,x0 ,欢迎下载精品学习资源x0 ；记住积分公式：欢迎下载精品学习资源xn e0x dxn.欢迎下载精品学习资源正态分布设随机变量

18、X 的密度函数为欢迎下载精品学习资源f x x1e2222，x，欢迎下载精品学习资源；其中、0 为常数，就称随机变量 X 听从参数为、欢迎下载精品学习资源的正态分布或高斯 Gauss分布，记为f x 具有如下性质：X N,2欢迎下载精品学习资源1f x 的图形是关于 x对称的；欢迎下载精品学习资源2 当 x时， f 21为最大值；2欢迎下载精品学习资源假设 X N, ，t就2 X 的分布函数为欢迎下载精品学习资源F x1x e2 2dt2；欢迎下载精品学习资源参数0 、1 时的正态分布称为标准正态分布，记为X N 0,1x21，其密度函数记为欢迎下载精品学习资源 xe 22，x，欢迎下载精品学

19、习资源欢迎下载精品学习资源分布函数为xt 2欢迎下载精品学习资源 x1e 22dt ；欢迎下载精品学习资源 x 是不行求积函数，其函数值，已编制成表可供查用；-x 1- x 且 0 1 ；X2欢迎下载精品学习资源假如 X N,2 ，就 N 0,1 ；欢迎下载精品学习资源P x1Xx2x1x2 ；欢迎下载精品学习资源2021-1-16分位数下分位表：P X；上分位表：离散型P X；7函数分布已知 X 的分布列为XP Xx1,xi p1,x2,p2 ,xn,pn ,，Yg X 的分布列 yig xi 互不相等如下：Ygx1,g x2,g xn ,PYyi ，假设有某些 g xi 相等，就应将对应的

20、p1,p 2,pn ,pi 相加作为 g xi 的概率；连续型先利用 X 的概率密度 f Xx 写出 Y 的分布函数FYy PgX y ，再利用变上下限积分的求导公式求出f Yy ；第三章二维随机变量及其分布欢迎下载精品学习资源2021-1-1欢迎下载精品学习资源 1 联合分布离散型假如二维随机向量X， Y的全部可能取值为至多可列个有序对 x,y ，就称为离散型随机量；欢迎下载精品学习资源设=X，Y的全部可能取值为 xi , y j i , j1,2, ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源且大事 = xi , y j 的概率为 pij, , 称欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源P

21、X , Y xi , y j piji , j1,2,欢迎下载精品学习资源为=X， Y的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律；联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：y1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jYX欢迎下载精品学习资源xipi1pij欢迎下载精品学习资源这里 pij 具有下面两个性质：1 pij 0 i,j=1,2,；欢迎下载精品学习资源2ijpij1.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源连续型对 于 二 维 随 机 向 量 X , Y ， 如 果 存 在 非 负 函 数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f x,yx,y ，使对任意一个其邻边欢迎下载精品学

22、习资源分别平行于坐标轴的矩形区域D，即 D=X,Y|axb,cyx1 时，有 F x2,y Fx 1,y;当 y2y 1 时，有 Fx,y 2 Fx,y 1;3Fx,y 分别对 x 和 y 是右连续的，即欢迎下载精品学习资源F x, yF x0, y, F x, yF x, y0;欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4 F ,F , yF x,0, F ,1.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5对于 x1x2，y1y2，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源F x2，y2 F x2，y1F x1， y2 F x1，y1 0 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 4 离散型 与

23、 连 续型的关系P Xx， YyPxXx dx， yYy dy f x， y dxdy欢迎下载精品学习资源 5 边缘离散型X 的边缘分布为欢迎下载精品学习资源分布Pi .P Xxi pijji , j1,2, ；欢迎下载精品学习资源Y 的边缘分布为欢迎下载精品学习资源P. jPYy j pijii, j1,2, ；欢迎下载精品学习资源连续型X 的边缘分布密度为f X xf x, y dy；Y 的边缘分布密度为f Y yf x, y dx.欢迎下载精品学习资源2021-1-1 6 条件分布离散型在已知 X=xi 的条件下， Y 取值的条件分布为pijPYy j | Xxi pi.；在已知 Y=y

24、j 的条件下， X 取值的条件分布为pijPXxi |Yy j p. j,连续型在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为f x | yf x, y；fY y在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为f y | xf x, yf X x 7 独立性一般型离散型FX,Y=F XxF Yypijpi. jp有零不独立连续型fx,y=fXxfYy直接判定，充要条件：可别离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布1x221f x, ye2 112 x1 y1 22 y212 2,22121随机变量的函数 0假设 X1,X 2, Xm,X m+1, Xn 相互独立， h,g为连续函数，就：hX1

25、， X2, Xm和 gXm+1, Xn相互独立；特例：假设 X 与 Y 独立，就： hX和 gY独立；例如：假设 X 与 Y 独立，就： 3X+1 和 5Y-2 独立；欢迎下载精品学习资源2021-1-1 8 二维匀称分布设随机向量 X， Y的分布密度函数为1SD x, yDf x, y0,其他其中 SD 为区域 D的面积，就称UD；X，Y听从 D 上的匀称分布，记为X，Y例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 ；y1D1O1xy1D2O2x1ydD3cOabx欢迎下载精品学习资源2021-1-1 9 二维正态分布设随机向量 X， Y的分布密度函数为221x1f x, y2 112 x1

26、y1 22 y212 222e,121其中1 ,2 ,10,20, |1是 5 个参数，就称 X，Y听从二维正态分布，记为 X，Y N12,21,22,.由边缘密度的运算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 X N1,21, Y N2 ,22.但是假设 X N1,21, Y N2,22， X ， Y未必是二维正态分布；10函数分布Z=X+Y依据定义运算：FZ zPZzP XYz对于连续型， f Zz f x, zxdx两个独立的正态分布的和仍为正态分布121,222；n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍听从正态分布；C2ii，C2i2iiiZ=max,minX 1,X 2

27、, X n假 设X , X12Xn相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为Fx x，Fx x12Fx x ，就nZ=max,minX 1 ,X 2, X n的分布函数为：Fmax xFx x . Fx x12Fx xnFmin x11Fx x .11Fx x21Fx xn欢迎下载精品学习资源2021-1-12分布设 n 个随机变量 X 1, X 2 , X n 相互独立，且听从标准正态分布，可以证明它们的平方和nWX i2i 1的分布密度为1nu 2f un220,n21eu2u0,u0.我们称随机变量 W听从自由度为 n的2分布，记为 W2 n ，其中n2n0x21e x dx.所

28、谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数；2分布满意可加性：设Y2in ,i就kZY 2i n1n2n .ki 1欢迎下载精品学习资源2021-1-1t 分布设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，且欢迎下载精品学习资源X N0,1,Y 2 n,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源可以证明函数T的概率密度为n1XY / nn 1欢迎下载精品学习资源f t2t 221nnn2t.欢迎下载精品学习资源我们称随机变量 T 听从自由度为n 的 t 分布，记为 T tn；t1ntn欢迎下载精品学习资源F 分布设 X 2 n, Y 2 n 2，且 X 与 Y 独 立，可 以

29、 证明欢迎下载精品学习资源1X / n1F的概率密度函数为Y / n2欢迎下载精品学习资源f yn1n22n1n222n11nn121y 21n2n1 y n2n1 n2 2, y0欢迎下载精品学习资源0, y0我们称随机变量 F 听从第一个自由度为n1，其次个自由度为n2的 F 分布，记为 F fn 1, n 2.欢迎下载精品学习资源F1 n1, n2 1Fn 2 , n1 欢迎下载精品学习资源第四章随机变量的数字特点1离散型连续型欢迎下载精品学习资源2021-1-1欢迎下载精品学习资源一 维期望设 X 是离散型随机变量， 其分布设 X 是连续型随机变量， 其概率密欢迎下载精品学习资源随 机

30、期望就是平均值变 量律 为 PXxk pk ，度为 fx，欢迎下载精品学习资源的 数k=1,2, ,n ，字 特nE X xf xdx欢迎下载精品学习资源征E X xk pkk 1要求肯定收敛欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源要求肯定收敛函数的期望Y=gXY=gX欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源EY ng xk pkk 1EYgx f xdx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方差2DX=EX-EX，标准差D X xkkE X 2 pDX xE X 2f xdx欢迎下载精品学习资源k X D X ，欢迎下载精品学习资源k矩对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk, 即对于正整数 k，称随机变量 X 的k 次幂的数学期望为 X