2022年基本不等式教学设计.docx

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1、精品学习资源黑龙江省七台河市其次中学王世艳教材：人教版高中数学必修5 第三章一、教案内容解读本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在同学学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简洁的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步讨论；在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培育同学观看问题、分析问题和解决问题的才能；培育同学形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式， 有助于培育同学形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式；二、教案目标设置 1通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导同学从几何图形中获得两个基本不等式

2、，明白基本不等式的几何背景培育同学观看问题、分析问题和解决问题的才能；培育同学形成数形结合的思想意识； 2进一步让同学探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的懂得和熟悉，提高同学规律推理的才能和严谨的思维方式；3. 通过例题让同学学会用基本不等式求最大值和最小值；三、同学学情分析对于高一的同学，不等式并不生疏，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简洁的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以同学可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是简洁的，争取让同学真正意义上懂得基本不等式；四、教案策略分析在教案过程中同学往往会直接应用不等式而忽视成立的条件，因此本节课的重点内容

3、是对基本不等式的懂得和运用；在运用过程中生成的规律，在同学做题时能敏捷运用是难点，因此懂得基本不等式和敏捷应用基本不等式十本节课难点五、教案过程：（一）情形引入下图是 2002 年在北京召开的第24 届国际数学家大会会议现场；欢迎下载精品学习资源通过情境引发联想，同学深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和进展做出的杰出奉献，激发同学喜爱数学，学好数学的热忱；探究一：观看上面的会标；会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的, 该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，表达了以形证数、数形结合的思想；将代数与几何紧密的结合在了一起；【设计意

4、图】1. 培育同学识图和分析数据的才能，并通过对数量关系的分析得出基本不等式的雏形，进而逐步发觉基本不等式的本质和成立条件；2. 勉励同学独立摸索，充分发挥同学的创新和想象才能，进而发觉并懂得基本不等式的实质；师：从图形上你能观看到了什么？ 生：边、角、三角形、正方形师：我们依据弦图可知勾股定理，那么我们对三角形、正方形可以讨论哪些数量关系呢？ 生：正方形和三角形的面积、周长，依据给的边可以求；师：那么面积之间又有怎样的关系呢？欢迎下载精品学习资源生：大正方形面积 a 2b2 ，四个直角三角形面积2ab ，并且 a 2b 2 2ab ；欢迎下载精品学习资源师：仅此而已吗？你仍能发觉怎样的关系？

5、 生：仍会相等；ab 时会相等；2（老师投影展现取等号的条件，证明同学的想法是正确的；）欢迎下载精品学习资源结论： a 2b2 ab （当且仅当 ab 时取等号）欢迎下载精品学习资源2师：你能给出证明吗？（此问题同学口述即可）欢迎下载精品学习资源2生：由 a22b2ab ，就 a2b2ab0 ab0恒成立；就 ab 时取等号；欢迎下载精品学习资源师：一般的我们都用a ， b 表示，那么如将上式中的a ， b 换成a ， b ，你又会得出什么结论？如何证明？【设计意图】用代数的方法证明基本不等式，进而使同学加深对基本不等式的懂得，懂得基本不等式中不等号和等号成立的条件；引导同学自己动手写出证明过

6、程，并自我总结归纳基本不等式运用的条件， 有利于同学精确、敏捷应用；欢迎下载精品学习资源生：ab2 ab a0,b0当且仅当 ab 时取等号；欢迎下载精品学习资源师：很好，仍可以写成欢迎下载精品学习资源abab a 20, b0 ，如何证明这个结论成立呢？欢迎下载精品学习资源生投影展现：要证abab ，只要证 ab22ab ，只要证ab2ab0 ，只要证欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ab 20，明显式子成立，当且仅当ab 取等号；欢迎下载精品学习资源师：这样我们又一次得到了基本不等式；依据以上证明同学已经基本明白了基本不等式的形式和推导方法，同学们是否真正懂得了基本不等式的含义；探究

7、二：如右图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点，ACa ， BCb ；过点 C 作垂直于欢迎下载精品学习资源AB 的弦 DE , 连接 AD 、 BD ；你能利用这个图形，得出吗？abab a 20,b0 的几何说明欢迎下载精品学习资源【设计意图】对图形进一步分析，引导同学发觉几何平均数和算术平均数，让同学体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何说明，仍可以通过对图形的观看分析以形识数，进而完善前面的代数结论；（同学口述证明过程，老师给以引导）证明：由于ACDBCD ，所以 CDab ；D由于 CD 小于或等于圆的半径，AOCB欢迎下载精品学习资源用不等式表示为abab a 20, b

8、0欢迎下载精品学习资源明显不等式当且仅当点C 与圆心结合， 即当 ab 时，等号成立结论 : （老师投影展现同学口述结果）ab欢迎下载精品学习资源ab 是 a、 b 的几何平均数，是 a 、 b 的算术平均数；2欢迎下载精品学习资源代数说明是几何平均数不大于算术平均数；几何说明为半弦不大于半径；师：以上利用代数法和几何法推导基本不等式，过程具体，内容明确，同学们对基本不等式懂得了吗？我们来看看以下几个问题是否正确？例：判定对错欢迎下载精品学习资源（ 1）由a, bR, 就 ab2ab ；（）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）如 x0, 就 x12 ；（）x欢迎下载精品学习资源（

9、3）当 a0, b0 时，abab ；（）2欢迎下载精品学习资源（ 4）函数 yx1的最小值为 2.（）x欢迎下载精品学习资源【设计意图】考查同学对所学学问点把握的情形，是否真正懂得了基本不等式并能留意运用公式时需要留意的条件，从而真正意义上懂得不等式的含义；（同学先独立摸索，组内再探讨，最终小组派代表解答；）师：基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，看下面的例题；合作探究：下面两道例题都由同学先独立完成，然后组内探讨，最终组内出代表完成；例：（）用篱笆围一个面积为平方M 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短最短的篱笆是多少？【设计意图】1. 总结

10、归纳利用基本不等式求最值问题，实现积与和的转化；2. 培育同学在实际生活中对不等式的感性熟悉提炼为理性熟悉的过程，感受不等式和生活的紧密联系和指导意义；解：设矩形菜园的长为x ，宽为 y ，就 xy100 ，篱笆的长为 2 xy 欢迎下载精品学习资源由 xyxy ， 可 得 xy22100 ， 2 xy40 ； 等 号 当 且 仅 当 xy 时 成 立 ， 此 时欢迎下载精品学习资源xy10 .因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m 师：完成此例题你有什么发觉？生：乘积是定值的时候，和取最值，并且为最小值；师：很好，那总结个规律该怎么说呢？（同学尝试说，最终老师完善

11、） 结论 1：积定和最小；师：看看下面这道例题，你又会得到什么结论呢？（ 2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大最大的面积是多少？欢迎下载精品学习资源解：设矩形菜园的长为x，宽为 y ，就 2 xy36 ， xy18 ，矩形菜园的面积为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xy 由xyxy189 ，可得 xy81 ，欢迎下载精品学习资源22当且仅当 xy ，即 xy9 ，等号成立；因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大的面积是81 ；师：此题做完你又有什么想法呢？生：和定积最大；（由上面的题引导同学会很快得出结论）师：由上面例

12、题，同学们，能总结一下运用基本不等式解题需要满意的条件吗？（依据前面学习同学会说出至少两点）生： a, b 都为正数，取最值的条件是ab师：例题中运用公式取到最值的前提必需有什么？（通过老师引导同学会想到定值） 生：有一个是定值；师：好，那我们给运用基本不等式满意的条件一个口诀吧？（生尝试去说，但不肯定简便，但用自己的思维方式说印象会更深） 师：一正、二定、三相等；师：那我们如何运用基本不等式都能求哪些最值得题型呢？下节课我们再讨论；五、课堂总结1、本节课你学到了什么？2、你仍有哪些疑问？【设计意图】通过提问让同学在头脑中形成自己的学问体系，自己总结检验本节课的听课成效，是否仍有自己没听懂的问

13、题一下就清晰了；欢迎下载精品学习资源六、课后作业教材 P113 练习 1、2、 3. 习题 A 组 2、3【设计意图】巩固训练本节课学习内容并且给同学一个完整的独立摸索，自主学习的机会；七、教案设计说明不等式对高中的同学来说不生疏，但基本不等式就是一个新的学问点显现在高中数学教材中， 让同学又学会一种求函数最值得方法，所以同学只有真正懂得了才会用起来得心应手；基本不等式公式的引出利用了两种方法：代数法和几何法；代数学通过图形展现，让同学自己找出不等式关系，从而引出结论；又利用完全平方差公式更简洁的看出公式成立的条件；最终用几何法，移动弦的位置更直观的看出公式形成的过程；两种方法就是期望同学真正懂得公式的由来；从而能够敏捷运用；基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，所以一道求最值的实际问题引导同学懂得运用不等式需要留意的三点：一正、二定、三相等；为后面求最值的题型做了铺垫；课堂总结和课后作业都是给同学一个独立摸索，理顺自己思路，回忆学习的内容，从而检验自己学习情形；欢迎下载