2022年椭圆知识点归纳总结和经典例题.docx

《2022年椭圆知识点归纳总结和经典例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年椭圆知识点归纳总结和经典例题.docx（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、.椭圆的基本学问精选范本1 椭圆的定义 ：把平面内与两个定点F1, F2 的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距 设为 2c .2. 椭圆的标准方程：yyFM2cccF 1 OF 2xO cMx F 1x2y 2a 2b 21（ a b 0）y2x 2a 2b 21 （ a b 0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形,为了运算简便,可设方程为mx2+ny2=1m0, n0 不必考虑焦点位置,求出方程3. :定义法、待定系数法、相关点法、直接法例1如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线解:

2、相段PP ,求线段PP 中点M的轨迹.关点法 设点 M x,y,点 P x0,y0,yxx0yy0x0x, yP2y.就 ,得02M2222 x0 y0 4,得 x 2 y 4,即 xy 241. 所以点 M的轨迹是一个椭圆.OPx22224. 范畴 .x a , y b , | x| a, | y| b 椭圆位于直线 x a 和 y b 围成的矩形里5. 椭圆的对称性椭圆是关于 y 轴、 x 轴、原点都是对称的坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心6. 顶点只须令 x 0,得 y b,点 B10, b 、B20,b 是椭圆和 y 轴的两个交点；令y 0,得 x

3、 a,点 A1 a,0 、A2 a,0 是椭圆和 x 轴的两个交点椭圆有四个顶点：A1 a, 0、A2 a, 0、B10, b 、B20,b 椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点 线段 A1A2、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.长轴的长等于 2a.短轴的长等于2b. a 叫做椭圆的长半轴长 b 叫做椭圆的短半轴长y| B1F1| | B1 F2| | B2F1| | B2F2| aB2在 Rt OB2F2 中, | OF2| | B2F2| | OB2| ,AbaA22222212即 c a b 7. 椭圆的几何性质：F 1 Oc F 2xB1椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关

4、的性质,如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐2标系无关的本身固有性质, 如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质, 只要 xa22y1ab0 b2y2x 2的有关性质中横坐标x 和纵坐标 y 互换, 就可以得出a2b 21ab0 的有关性质； 总结如下：几点说明：（ 1）长轴：线段A1 A2 ,长为 2a ；短轴：线段B1B2 ,长为 2b ；焦点在长轴上；（ 2）对于离心率 e,由于 ac0,所以 0e1,离心率反映了椭圆的扁平程度；222由于 ecab1b,所以 e 越趋近于 1,b 越趋近于 0 ,椭圆越扁平； e 越趋近于 0,aaa2b 越趋近于 a ,椭圆越圆；（ 3）观看下图,|

5、OB2 |b,| OF2 |c ,所以| B2F2 |a ,所以椭圆的离心率e = cos OF2B28. 直线与椭圆：直线 l ：AxByC0 （ A、 B 不同时为 0）x 2y 2椭圆 C ：a2b 21ab0那么如何来判定直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组,通过方程组的解的个数来判定直线和椭圆交点的情形；方法如下：AxByC0x2y2消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,化简后形式如下a2b21mx2nxp0 m0 ,n 24mp（1） 时,方程组有两组解,故直线与椭圆有两个交点；（2） 时,方程组有一解,直线与椭圆有一个公共点（相切）；（3） 时,方程组无解,直线和椭圆没

6、有公共点；注：当直线与椭圆有两个公共点时,设其坐标为A x1, y1 , Bx2, y2 ,那么线段 AB 的长度（即弦长）为| AB | xx 2 yy 2 ,设直线的斜率为 k ,2221212可得：| AB | x1x2 k x1x21k| x1x2 | ,然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出；例 1 已知椭圆mx23 y2椭圆典型例题6m0 的一个焦点为（ 0, 2）求 m 的值 分析： 把椭圆的方程化为标准方程,由c2 ,依据关系 a 2b 2c2 可求出 m 的值x2y2解： 方程变形为1 由于焦点在 y 轴上,所以 2m6 ,解得 m3 62 m又 c2 ,所以 2m622

7、 , m5 适合故 m5 例 2 已知椭圆的中心在原点,且经过点P 3,0, a3b ,求椭圆的标准方程分析： 因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情形依据题设条件,运用待定系数法,求出参数 a 和 b （或a 2 和 b 2 ）的值,即可求得椭圆的标准方程2解： 当焦点在 x 轴上时,设其方程为xa 2y1 a2b 2b0 由椭圆过点P 3,0 ,知 901 又a3b ,代入得 b 21 , a 29 ,故椭圆的方程为22xy21 9a 2b 22当焦点在 y 轴上时,设其方程为ya 2x1 a b2b0 由椭圆过点P 3,0 ,知 901 又a3b ,联立解得 a 281 , b 29

8、,故椭圆的方程为y2x21 a 2b2819例 3ABC的底边 BC的轨迹16 ,AC 和 AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A分析：（ 1）由已知可得 GCGB20,再利用椭圆定义求解（ 2）由 G 的轨迹方程 G 、 A坐标的关系,利用代入法求A的轨迹方程解： （ 1 ）以 BC 所在的直线为 x 轴, BC 中点为原点建立直角坐标系设G 点坐标为x, y ,由GCGB20 ,知 G 点的轨迹是以 B 、 C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点因a10 , c8 ,有b6 ,x2y2故其方程为1001 y0 36（ 2）设A x, y , G x , y,就 xy1

9、 y0 2210036xx ,3x2y2由题意有y代入, 得 A 的轨迹方程为y39003241 y0,其轨迹是椭圆 （除去 x 轴上两点）例 4 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程4 5 和325 ,过 P 点作焦3解： 设两焦点为F 、 F ,且 PF45 , PF25 从椭圆定义知 2aPFPF2 5 即12121233a5 从 PF1PF2 知PF2垂直焦点所在的对称轴,所以在Rt PF2F1 中, sinPF1F2PF21,PF12可求出PF1F2, 2c6PF1cos6252,从而 b3a 2c210

10、 3x23 y23 x2y 2所求椭圆方程为1 或1 25101052例 5 已知椭圆方程 xa 2y1 a b2b0 ,长轴端点为A1 , A2 ,焦点为F1 , F2 , P 是椭圆上一点,A1PA2,F1PF2求：F1PF2 的面积（用 a 、 b 、表示）分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边, 从而利用 S1 ab sin C 求面积2解：如图,设 Px, y,由椭圆的对称性, 不妨设P x, y,由椭圆的对称性, 不妨设 P 在第一象限 由余弦定理知：2F1F22PF12PF222 PF1 PF2cos4c2 由椭圆定义知：PF1PF22a,就 得PF1PF22b21cos

11、故 S F1 PF21PF12PF2sin12b22 1cossinb 2 tan2例 6 已知动圆 P 过定点 A3,0,且在定圆B：x3 2y 264 的内部与其相内切, 求动圆圆心 P 的轨迹方程分析： 关键是依据题意,列出点P 满意的关系式解： 如下列图,设动圆P 和定圆 B 内切于点 M 动点 P 到两定点,即定点 A3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径,即 PAPBPMPBBM8 点 P 的轨迹是以A, B 为两焦点,半长轴为 4,半短轴长为 b423227 的椭圆的方程： x2y1 167说明： 此题是先依据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后依据椭圆的标准方程,求轨迹

12、的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法x2例 7 已知椭圆2y 21,（ 1）求过点 P 1122且被 P 平分的弦所在直线的方程；（ 2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（ 3）过A 2,1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程；.（ 4）椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线OP 、 OQ 斜率满意求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程分析： 此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法kOP1kOQ,2解： 设弦两端点分别为Mx1, y1, N x2, y2,线段 MN 的中点R x, y ,就x1122y22,得 x1x2x1x22 y1y2y1y20 x222

13、2y22,由题意知x1x2 ,就上式两端同除以x1x2 ,有x1x2y1y22x,2y,x1x22 y1y1y2y20 ,x1x2yy将代入得x2 y12x1x20 （ 1）将 x1 , y21代入,得222y1y2x1x221 ,故所求直线方程为：2112 x4 y30 将代入椭圆方程x2 y为所求2 得 6 y6 y0 ,4364640 符合题意, 2x4 y30（ 2）将 y1y2x1x22 代入得所求轨迹方程为：x 4 y0 （椭圆内部分）y1y2（ 3）将x1x2y 1代入得所求轨迹方程为：x2x 22 y22 x2 y0 （椭圆内部分）xx22y12（ 4）由得：122222 , ,将平方并整理得yxx4x222122 x1x2,222yy4 y122 y1 y2 ,将代入得：4 x22 x1 x2 44 y22 y1y22 ,再 将 y1 y21x1x22代 入 式 得 ：2 x2x1x24 y 221x1x222 ,即2x 2y1 12此即为所求轨迹方程当然,此题除了设弦端坐标的方法,仍可用其它方法解决例 8 已知椭圆4x2y21 及直线 yxm（ 1）当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点？精选范本