2022年复习第一次课圆.docx

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1、精品学习资源【老师寄语：将来和欢乐都把握在自己手中，所以好好把握将来，为自己制造幸福和欢乐；】复习课圆一、考点热点回忆、及典型例题（一）、圆的概念1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充 ） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点 C 在

2、圆内；AdrO2、点在圆上dr点 B 在圆上；Bd C3、点在圆外dr点 A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点 ；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；rdd=rrd四、圆与圆的位置关系欢迎下载精品学习资源dRr ；RdrRdr ；Rr外离（图 1）无交点dRr ； 外切（图 2）有一个交点相交（图 3）有两个交点；内切（图 4）有一个交点内含（图 5）无交点dRr ；dddRrRrRr图 1图2图3ddrRrR图4图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦

3、所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它 3 个结论，即： AB 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD欢迎下载精品学习资源中任意 2 个条件推出其他 3 个结论；推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在 O 中， AB CD弧 AC弧 BD六、圆心角定理ACDOOABECDB欢迎下载精品学习资源圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对E的弧相等，弦心距相等

4、；此定理也称1 推 3 定理，即上述四个结论F中，OD只要知道其中的 1 个相等，就可以推出其它的3 个结论，ACB即：AOBDOE ； ABDE ； OCOF ； 弧 BA弧 BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一C半；BO即：AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角A欢迎下载精品学习资源AOB2ACB欢迎下载精品学习资源2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的DC圆周角所对的弧是等弧；即：在 O 中，C 、D 都是所对的圆周角BOACD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧C是半圆，

5、所对的弦是直径；欢迎下载精品学习资源即：在 O 中， AB 是直径或C90BOA欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C90 AB 是直径欢迎下载精品学习资源推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是C直角三角形；即：在 ABC 中， OCOAOBBOA欢迎下载精品学习资源 ABC 是直角三角形或C90欢迎下载精品学习资源注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；欢迎下载精品学习资源八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角；即：在 O 中，DC四边形 ABCD 是内接四边形欢迎下载精品

6、学习资源CBADDAEC180BD180BAE欢迎下载精品学习资源九、切线的性质与判定定理（1） 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不行即： MNOA 且 MN 过半径 OA 外端 MN 是 O 的切线O欢迎下载精品学习资源（2） 性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；MAN欢迎下载精品学习资源推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；B以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件O P就能推出最终一个；A十、切线长定理切线长定理：从圆外一点

7、引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即： PA 、 PB 是的两条切线 PAPB ， PO 平分BPA十一、圆幂定理O（ 1 ） 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相D B等；PAC即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于点 P ， PA PBPC PD欢迎下载精品学习资源（ 2）推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；CBOEA欢迎下载精品学习资源即：在 O 中，直径 ABCD ， CE 2AE BED欢迎下载精品学习资源（ 3） 切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切A线长是这点到割线与圆交点的两

8、条线段长的比例中项；E DO即：在 O 中， PA 是切线， PB是割线PCB欢迎下载精品学习资源 PA2PCPB欢迎下载精品学习资源（4） 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）；即：在 O 中， PB 、 PE 是割线， PC PBPDPE十二、两圆公共弦定理欢迎下载精品学习资源圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦；A的O1O2欢迎下载精品学习资源如图：O1O2 垂直平分 AB ；B欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即：O1 、O2 相交于 A 、 B 两点欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 O1O2

9、垂直平分 AB十三、圆的公切线两圆公切线长的运算公式：2（1）公切线长：ABCO1O2Rt O1O2C中，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A2 B22OCO112； O2CO欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（2）外公切线长：CO2 是半径之差；内公切线长：CO2 是半径之和；欢迎下载精品学习资源十四、 圆内正多边形的运算C（1） 正三角形O在 O 中 ABC 是正三角形，有关运算在RtBOD 中进行：BDAOD : BD : OB1:3 : 2；BC5 / 13OAED欢迎下载精品学习资源（2） 正四边形欢迎下载精品学习资源同理，四边形的有关运算在RtOAE 中进行，OE :

10、AE : OA1:1:2 ：欢迎下载精品学习资源（3） 正六边形同 理 ， 六 边 形 的 有 关 计 算 在 RtOAB中 进 行 ，O欢迎下载精品学习资源A B:O : BO1A :. 3:2BA欢迎下载精品学习资源十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式nRAl1、扇形：（ 1）弧长公式：180 ；欢迎下载精品学习资源（2）扇形面积公式：nR21SlR3602OSlB欢迎下载精品学习资源n ： 圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积欢迎下载精品学习资源2、圆柱：（1） 圆柱侧面绽开图DAD1欢迎下载精品学习资源S表S侧2S底 = 2rh2r 2B底面圆周长母线长C1欢迎

11、下载精品学习资源（2） 圆柱的体积：Vr 2hCB1欢迎下载精品学习资源（2）圆锥侧面绽开图O欢迎下载精品学习资源（1） S表S侧 S底 =Rrr 2R欢迎下载精品学习资源V（2） 圆锥的体积：二、典型例题1r 2h 3CArB欢迎下载精品学习资源1（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代闻名的数学菱九章算术中的一个问题， “今在圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为 O 的直径，弦 AB CD，垂足为 E， CE 1 寸， AB寸，求直径 CD的长”依题意，CD长为（ D）欢迎下载精品学习资源25（ A） 2寸（ B） 13 寸

12、（C） 25 寸（D） 26 寸欢迎下载精品学习资源2（北京市朝阳区）假如圆锥的侧面积为20平方厘 M，它的母线长为 5 厘 M，那么此圆锥的底面半径的长等于（C）（A） 2 厘 M（B） 22 厘 M（ C） 4 厘 M（ D） 8 厘 M 3（天津市）相交两圆的公共弦长为16 厘 M，如两圆的半径长分别为10 厘 M和 17 厘 M，就这两圆的圆心距为（C）（ A）7 厘 M（B） 16 厘 M（ C）21 厘 M（ D）27 厘 M4（重庆市）如图，O 为 ABC的内切圆， C 90 ， AO的延长线交BC于点 D，AC 4， DC 1，就 O的半径等于（A）欢迎下载精品学习资源4（ A

13、） 55（ B） 43（ C） 45（ D） 6欢迎下载精品学习资源5（镇江市）如图，正方形ABCD内接于 O，E 为 DC的中点，直线 BE交 O于点 F如O的半径为2 ，就 BF的长为（ C）欢迎下载精品学习资源3（ A） 22（ B） 265（ C） 545（ D） 5欢迎下载精品学习资源6 （ 扬 州 市 ） 如 图 ， AB 是 O 的 直 径 ， ACD 15， 就 BAD 的 度 数 为（A）（ A） 75（ B） 72（ C） 70（ D） 657（宁夏回族自治区）已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为（B）（ A） 18（ B） 9（ C）6（ D） 3 8（山东省

14、）如图，点P 是半径为 5 的 O内一点，且OP 3，在过点 P 的全部弦中，长度为整数的弦一共有（C）（ A）2 条（ B） 3 条（ C） 4 条（ D） 5 条欢迎下载精品学习资源9（南京市）如图，正六边形ABCDEF的边长的上 a，分别以 C、F 为圆心， a 为半径画弧，就图中阴影部分的面积是（C）欢迎下载精品学习资源（ A）1 a 261a 2（ B） 3（ C）2 a 23（ D）4a 23欢迎下载精品学习资源10（杭州市）过 O内一点 M的最长的弦长为6 厘 M，最短的弦长为4 厘M，就 OM的长为（ B）（ A） 3 厘 M（B） 5 厘 M（ C） 2 厘 M（ D）5 厘

15、 M 11（昆明市）如图，正六边形ABCDEF中阴影部分面积为123 平方厘M，就此正六边形的边长为（B）（ A）2 厘 M（ B）4 厘 M（ C） 6 厘 M（ D） 8 厘 M 12（河南省）如图，A、 B、 C、 D、 E 相互外离，它们的半径都是 1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCD，E 就图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（B）（ A）（ B） 1.5（ C） 2（ D） 2.5 13（苏州市）如图，O的弦 AB8 厘 M，弦 CD平分 AB于点 E如 CE2 厘 MED长为（A）（ A）8 厘 M（ B） 6 厘 M（ C） 4 厘 M（ D） 2 厘 M14（苏州市）如图，

16、四边形ABCD内接于 O，如 BOD 160 ，就 BCD（B）（ A） 160（ B） 100（ C） 80（ D） 20三、课堂实战1（南京市）如图， AB是 O的直径，弦 CD AB，垂足是 G， F 是 CG的中点，延长 AF交 O于 E，CF 2，AF 3，就 EF的长是 48 / 13欢迎下载精品学习资源（ 1题图）（ 2题图）2（北京市海淀区）一种圆状包装的保鲜膜，如下列图，其规格为“20 厘 M 60M”，经4 测量这筒保鲜膜的内径1 、外径2 的长分别为 3.2厘 M、4.0 厘 M，就该种保鲜膜的厚度欢迎下载精品学习资源约为 7.510厘 M（ 取 3.14 ，结果保留两位

17、有效数字）欢迎下载精品学习资源3（重庆市）如图， AB是 O的直径，四边形 ABCD内接于 O，的度数比为3 2 4， MN是 O的切线， C是切点，就 BCM的度数为 30 度 （ 3 题图）（ 4 题图）欢迎下载精品学习资源4（哈尔滨市）如图，圆内接正六边形ABCDE中F1:2 ， AC、BF交于点 M就S ABM S AFM欢迎下载精品学习资源5、（陕西省）如图，O1 的半径 O1 A 是 O2 的直径， C 是 O1 上的一点， O1 C 交 O2 于欢迎下载精品学习资源1点 B如 O1的半径等于 5 厘 M，的长等于 O1 周长的 10，就的长是 欢迎下载精品学习资源6（河南省）如图

18、， AB为 O的直径， P 点在 AB的延长线上， PM切 O于 M点如 OA欢迎下载精品学习资源a， PM 3 a，那么 PMB的周长的 （ 32）a欢迎下载精品学习资源（ 6 题图）（ 7题图）欢迎下载精品学习资源7（贵阳市）某种商品的商标图案如图所求（阴影部分），已知菱形ABCD的边长为 4，A 60 ，是以 A为圆心， AB长为半径的弧，是以 B 为圆心， BC长为半径的弧，就该商标图案的面积为4 3四、课后反馈1（苏州市）已知：如图，ABC内接于 O，过点 B 作 O 的切线，交CA的延长线于点E， EBC2 C求证： AB AC；1AB欢迎下载精品学习资源如 tan ABE 2 ，

19、（）求BC的值；（）求当AC2 时， AE的长欢迎下载精品学习资源1（ 1）BE切 O于点 B，ABE CEBC 2C，即 ABE ABC 2C，C ABC 2 C，ABC C，ABAC（ 2）连结 AO，交 BC于点 F，AB AC，AO BC且 BF FC欢迎下载精品学习资源AF在 Rt ABF中， BF tan ABF，欢迎下载精品学习资源1AF欢迎下载精品学习资源又tan ABFtan C tan ABE 2 ，BF 1 ，2欢迎下载精品学习资源AFAB1 BF2AF 2BF 2 21 BF2BF 25 2 BF欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ABBCAB52BF4 欢迎下载精

20、品学习资源在 EBA与 ECB中，E E， EBA ECB， EBA ECB欢迎下载精品学习资源EA EB BE 2AB BCEA EC，解之，得1625 EA EA（ EA AC），又 EA 0，欢迎下载精品学习资源115105 EA AC， EA 11 2 11 2（四川省）已知，如图，以ABC的边 AB作直径的 O，分别并 AC、BC于点 D、E，弦FG AB， S CDE S ABC 14， DE 5cm， FG 8cm，求梯形 AFGB的面积6解： CDE CBA， DCE BCA， CDE ABC2S CDEDES ABCABDES CDE1欢迎下载精品学习资源AB S ABC4

21、1 ，2欢迎下载精品学习资源5即 AB12 ，解得AB10（ cm），欢迎下载精品学习资源作 OM FG，垂足为 M，欢迎下载精品学习资源就 FM1 FG21 8 4（ cm），2欢迎下载精品学习资源连结 OF，OA 12AB1 10 5（cm）2欢迎下载精品学习资源OF OA 5（ cm）在 Rt OMF中，由勾股定理，得欢迎下载精品学习资源OMOF 2FM 2 5242 3（ cm）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ABFG梯形 AFGB的面积210 OM282 3 27（ cm）欢迎下载精品学习资源3（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切， D 为切点，且 M

22、NAB， MNa， ON、CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积5解：如图取 MN的中点 E，连结 OE，欢迎下载精品学习资源OE MN， EN1 MN21 a2欢迎下载精品学习资源在四边形 EOCD中，CO DE， OE DE， DECO，四边形 EOCD为矩形欢迎下载精品学习资源OE CD，2a2222欢迎下载精品学习资源在 Rt NOE中， NO OE EN欢迎下载精品学习资源12212a 228 a欢迎下载精品学习资源阴影S （ NO OE） 22欢迎下载精品学习资源4（贵阳市）如下列图：PA为 O的切线， A 为切点， PBC是过点 O的割线， PA 10， PB 5，求：（ 1）

23、O的面积（注：用含 的式子表示）；（ 2） cos BAP的值欢迎下载精品学习资源7(1) PA是 O的 切 线P B 是C O的 割 线2PA PB PC PC 20半径为 7.5圆面积为2254（或欢迎下载精品学习资源56.25 ）（平方单位）欢迎下载精品学习资源(2) C PB A P PACPAACP BAPABPBAC2AB1 欢迎下载精品学习资源解法一：设 AB x， AC2x，BC为 O的直径 CAB 90，就BC 5 x欢迎下载精品学习资源ACBAP C，cos BAP cos C BC2x255 x5欢迎下载精品学习资源222解法二：设 AB x，在 Rt ABC中， AC ABBC，欢迎下载精品学习资源2即x （ 2x）22 15 ，解之得x 35 ，AC 65 ，欢迎下载精品学习资源6515255ACBAP C， cos BAP cos C BC欢迎下载