2022年复变函数四川大学数学学院课程号.docx

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1、精品学习资源课程号： 20213140 课程名称：复变函数总学时： 68学分： 4先修课程：数学分析教案目的：娴熟把握复变函数的基本理论和基本方法，对解读函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解读函数的泰勒绽开与罗朗绽开、留数理论、保形变换、解读开拓、调和函数等有较深化的明白；欢迎下载精品学习资源一、基本内容第一章 第一章复数与复变函数欢迎下载精品学习资源复数的表示，复数的性质与运算，平面图形的复数表示，区域与约当曲线，复变函数的概念，复变函数的极限与连续性，复球面，无穷远点与扩充复平面；二、基本要求1. 1 娴熟把握复数的模与幅角、复数的三种表示、复数的基本性质，把握复数的乘幂与方根的求法，会用

2、复数表示平面图形，会用复数解决一些简洁的几何问 题；2. 2 懂得平面点集的几个基本概念，懂得区域与约当曲线的概念，明白约当定理，会区分单连通区域与多连通区域；3. 3 充分懂得复变函数、多值函数、反函数等概念，懂得复变函数的几何表示， 会求简洁平面图形的变换象（或原象），懂得复变函数的极限，把握极限的等价刻划定理，懂得复变函数的连续性及其等价刻划定理，熟识有界闭集上连续函数的性质；4. 4 明白复球面，懂得无穷远点与扩充复平面；三、建议课时支配（ 7 学时）1. 复数、复数的模与幅角、复数的乘幂与方根2. 复数在几何上的应用、复平面上的点集2 学时2 学时3. 复变函数的概念、复变函数的极限

3、与连续4. 复球面与无穷远点心1 学时2 学时欢迎下载精品学习资源一、基本内容其次章 其次章解读函数欢迎下载精品学习资源复变函数的导数与微分，解读函数及其简洁性质，柯西-黎曼条件，指数函数，三角函数，双曲函数，根式函数，对数函数，一般幂函数与一般指数函数，具有多个支点的多值函数，反三角函数与反双曲函数；二、基本要求1. 1 懂得复变函数的导数的概念，把握解读函数的定义及其简洁性质，娴熟把握解读函数的等价刻划定理特殊是柯西-黎曼条件；2. 2 娴熟把握指数函数的定义与主要性质，把握三角函数的定义与基本性质，明白双曲函数定义与基本性质；3. 3 把握幂函数与指数函数的变换性质与单叶性区域，懂得并逐

4、步把握通过限制幅角或割破平面的方法求根式函数和对数函数的单值解读分支，明白一般幂函数与一般指数函数，懂得并把握求具有多个支点的多值函数的支点从而使其能分出单值解读分支的方法，会由已知单值解读分支的初值运算终值，明白反三角函数与反双曲函数；三、建议课时支配（ 11 学时）1. 解读函数的概念与柯西-黎曼条件3 学时2. 指数函数、三角函数与双曲函数2 学时3. 根式函数2 学时4. 对数函数、一般幂函数与一般指数函数2 学时欢迎下载精品学习资源5. 具有多个支点的多值函数、反三角函数与反双曲函数2 学时第三章 第三章复变函数的积分一、基本内容复变函数的积分的定义、性质与运算，柯西积分定理及其推广

5、，不定积分，柯西积分公式或高阶导数公式，解读函数的无穷可微性，柯西不等式，刘维尔定理，摩勒拉定理， 解读函数与调和函数的关系；二、基本要求1. 1 懂得复变函数的积分的定义，把握复积分的性质与运算方法；2. 2 把握柯西积分定理及其等价形式和两种推广形式以及它们的应用，把握不定积分特殊是由变上限积分确定的单值解读函数，会用牛顿-莱布尼兹公式运算复定积分；3. 3 娴熟把握柯西积分公式与高阶导数公式，把握解读函数的平均值定理、无穷可微性以及它的其次个等价刻划定理，把握柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理；4. 4 把握调和函数与共轭调和函数的概念，懂得解读函数与调和函数的关系，把握由解读函数的实部

6、（或虚部）求虚部（或实部）的两种方法；三、建议课时支配（ 10 学时） 1复变函数的积分的定义、性质与运算2 学时2. 柯西积分定理及其推广、不定积分3 学时3. 柯西积分公式及其推论3 学时4. 解读函数与调和函数的关系2 学时欢迎下载精品学习资源一、基本内容第四章 第四章解读函数的幂级数表示法欢迎下载精品学习资源复数项级数及其基本性质，一样收敛的复变函数项级数及其性质，解读函数项级数的维尔斯特拉斯定理，阿贝尔定理和幂级数的敛散性，幂级数收敛半径的求法，幂级数和函数的解读性，泰勒定理，幂级数的和函数在收敛圆周上的情形，一些初等函数的泰勒绽开式，解读函数零点的孤立性，解读函数的唯独性定理，最大

7、模原理；二、基本要求1. 1 懂得复数项级数敛散性的定义，把握其收敛性的两个刻划定理，把握复级数的肯定收敛性及肯定收敛复级数的性质，把握关于复变函数项级数的柯西一样收敛准就与优级数准就，熟识复连续函数项级数的性质，明白复变函数项级数的内闭一样收敛性，娴熟把握关于解读函数项级数的维尔斯特拉斯定理；2. 2 把握阿贝尔定理，充分懂得幂级数的敛散性，娴熟把握幂级数收敛半径的求法，把握幂级数和函数的解读性；3. 3 把握泰勒定理，懂得幂级数的和函数在收敛圆周上的情形，把握一些初等函数的泰勒绽开式，会用间接法把解读函数绽开为幂级数；4. 4 把握解读函数零点的概念及具有零点的解读函数的表达式，把握解读函

8、数零点的孤立性与解读函数的唯独性定理，娴熟把握最大模原理及其推论；三、建议课时支配（ 9 学时）1. 复级数的基本性质1 学时2. 幂级数的敛散性与和函数的解读性2 学时3. 解读函数的泰勒绽开式3 学时4. 解读函数零点的孤立性与唯独性定理3 学时第五章第五章解读函数的罗朗展式与孤立奇点一、基本内容双边幂级数，罗朗定理，解读函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式，孤立奇点的三种类型及其判别法，席瓦尔兹引理，关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理，解欢迎下载精品学习资源读函数在无穷远点的性质，整函数与亚纯函数；二、基本要求1. 1 明白双边幂级数的敛散性及其和函数的解读性，把握罗朗定理，懂得罗

9、朗级数与泰勒级数的关系，会用间接法把解读函数在孤立奇点邻域内展成罗朗级数；2. 2 把握孤立奇点的三种类型及其判别法，把握席瓦尔兹引理，明白关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理；3. 3 懂得解读函数在无穷远点邻域内的性态，把握无穷远点作为孤立奇点的分类及相应的判别法；4. 4 把握整函数的概念及其分类，明白亚纯函数的概念及其与有理函数的关系；三、建议课时支配（ 8 学时）1. 解读函数的罗朗展式3 学时2. 解读函数的孤立奇点3 学时3. 解读函数在无穷远点的性质1 学时4. 整函数与亚纯函数的概念1 学时欢迎下载精品学习资源一、基本内容第六章 第六章留数理论及其应用欢迎下载精品学

10、习资源留数的定义，留数定理，留数的求法，函数在无穷远点的留数，用留数运算实积分， 对数留数，幅角原理，儒歇定理；二、基本要求1. 1 把握留数的定义与留数定理，娴熟把握留数的求法，把握无穷远点的留数的定义及其求法；2. 2 把握用留数运算三角函数有理式在一个周期上的积分、有理函数的无穷限广义积分、有理函数与纯虚变量指数函数（或三角函数）乘积的无穷限广义积分的方法，明白积分路径上有奇点的积分的求法；3. 3 把握关于解读函数零点与极点个数的定理，把握幅角原理及其应用，把握儒歇定理及其应用；三、建议课时支配（ 8 学时） 1留数与留数定理，留数的求法，函数在无穷远点的留数 3 学时2. 用留数定理

11、运算实积分2 学时3. 对数留数、幅角原理与儒歇定理及其应用3 学时第七章 第七章保形变换一、基本内容解读变换的保域性和保角性，单叶解读变换的保形性，分式线性变换及其分解，分式线性变换的保形性、保交比性、保圆（周）性、保对称点性，分式线性变换的应用，幂函数与根式函数所构成的保形变换，指数函数与对数函数所构成的保形变换，由圆弧构成的两角形区域的保形变换，儒可夫斯基变换，黎曼映射定理，边界对应定理；二、基本要求1. 1 懂得并把握解读变换的保域性，懂得解读变换的保角性（导数的几何意义），懂得单叶解读变换的保形性；2. 2 娴熟把握分式线性变换，把握分式线性变换的保形性、保交比性、保圆（周）性、保对

12、称点性及分式线性变换的应用；3. 3 把握幂函数与根式函数所构成的保形变换及其作用，把握指数函数与对数函数所构成的保形变换及其作用，明白由圆弧所构成的两角形区域的保形变换及其作用，明白儒可夫斯基变换；4. 4 充分懂得黎曼映射定理及其重要意义，懂得边界对应定理；三、建议课时支配（ 8 学时）1. 解读变换的特性2 学时2. 分式线性变换及其性质与应用3 学时欢迎下载精品学习资源3. 某些初等函数所构成的保形变换2 学时4. 关于保形变换的黎曼存在定理与边界对应定理1 学时欢迎下载精品学习资源一、基本内容第八章 第八章解读开拓欢迎下载精品学习资源解读开拓的概念，解读开拓的幂级数方法，潘勒卫连续开

13、拓原理，黎曼-席瓦尔兹对称原理，完全解读函数，单值性定理，黎曼面的概念；二、基本要求1. 1 娴熟把握相交区域解读开拓的概念，把握解读开拓的幂级数方法；2. 2 把握潘勒卫连续开拓原理，充分懂得黎曼-席瓦尔兹对称原理；3. 3 懂得完全解读函数的概念，明白单值性定理，明白黎曼面的概念；三、建议课时支配（ 5 学时）1. 解读开拓的概念，解读开拓的幂级数方法2 学时2. 透弧解读开拓与对称原理2 学时3. 完全解读函数与黎曼面的概念1 学时欢迎下载精品学习资源一、基本内容第九章 第九章调和函数欢迎下载精品学习资源平均值定理，极值原理，泊松积分公式，狄利克莱问题，单位圆内与上半平面内狄利克莱问题的解二、基本要求1. 1 把握平均值定理与极值原理；2. 2 把握泊松积分公式，明白狄利克莱问题、单位圆内与上半平面内狄利克莱问题的解；三、建议课时支配（ 2 学时） 1平均值定理与极值原理、泊松积分公式1 学时2狄利克莱问题、单位圆内与上半平面内狄利克莱问题的解1 学时教案方式：每周 4 学时（共 68 学时） 教材：钟玉泉：复变函数论，高等训练出版社参考书：1、方企勤：复变函数教程，北京高校出版社2、龚昇：简明复分析，北京高校出版社3、L. V. 阿尔福斯：复分析（张立、张靖译），上海科学技术出版社欢迎下载