2022年复数知识点精心总结.docx

《2022年复数知识点精心总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年复数知识点精心总结.docx（5页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、复数学问点考试内容：复数的概念复数的加法和减法 复数的乘法和除法 数系的扩充考试要求：（1） 明白复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义（2） 把握复数代数形式的运算法就,能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算（3） 明白从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想1.复数的单位为 i ,它的平方等于1,即 i 21.复数及其相关概念： 复数形如 a +bi 的数（其中a, bR ）； 实数当 b = 0时的复数 a + b i ,即 a； 虚数当 b0 时的复数 a +bi ； 纯虚数当 a = 0 且 b0 时的复数 a + b i ,即 bi. 复数 a +bi 的实部与虚部 a

2、叫做复数的实部, b 叫做虚部（留意 a, b 都是实数） 复数集 C全体复数的集合,一般用字母C 表示 .两个复数相等的定义：abicdiac且bd（其中, a,b,c,d,R）特殊地 abi0a b0 .两个复数,假如不全是实数,就不能比较大小.注：如z1, z2 为复数,就 1 如 z1z 20 ,就z1z 2 . （） z1 , z2 为复数,而不是实数 ab 2i 2 , bc 21, ca 20 时,上式成立）2.复平面内的两点间距离公式：dz1z2 .其中 z1 ,z2 是复平面内的两点 z1和z2 所对应的复数, d表示 z1 和z2 间的距离 .由上可得：复平面内以z0 为圆

3、心, r 为半径的圆的复数方程：zz 0r（ r0）.曲线方程的复数形式： zz0r表示以 z 0 为圆心, r 为半径的圆的方程.2如 z1z2 ,就z1z20 . （） 如 a, b,cC , 就 ab 2 bc 2ca 20 是 ab c 的 必 要 不 充 分 条 件 . （ 当 zz1zz 2表示线段z1z 2 的垂直平分线的方程 . zz1zz22a（ a0且2az1z 2 ）表示以Z 1, Z 2 为焦点,长半轴长为a 的椭圆的方程（如 2az1z 2,此方程表示线段Z 1,Z 2 ） . zz1zz 22a（02az1z 2 ）,表示以Z 1,Z 2 为焦点,实半轴长为a 的双

4、曲线方程（如 2az1z 2,此方程表示两条射线）.肯定值不等式：设 z1 ,z2 是不等于零的复数,就 z1z2z1z 2z 1z 2.左 边 取 等 号 的 条 件 是 z 2z1 （R,且0） , 右 边 取 等 号 的 条 件 是z2z1（R,0）. z 1z 2z1z 2z1z2 .左边取等号的条件是z2z1 （R,0）,右边取等号的条件是z2z1（R,0）.注： A 1 A 2A 2 A3A 3 A 4A n 1 A nA1 A n .3.共轭复数的性质：zzz1z2z1z 2zz2a , zz2bi （ za +bi ）z z| z |2| z |2z1z2z1z2z1 z 2z

5、1z2z1z1z2z2（ z 20 ）zn z n注：两个共轭复数之差是纯虚数.（） 之差可能为零,此时两个复数是相等的4复数的乘方：znz z z.znNnzz对任何 z , z1 , z2C 及 m, nN有 zm znzm n , zmnzm n, z1z2 nnn12注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否就会得到荒谬的结果,如 i 21,i 41如由11i 2 i 4 21 21 就会得到11 的错误结论 .在实数集成立的| x |x 2 .当 x 为虚数时,| x |x2 ,所以复数集内解方程不能采纳两边平方法 .常用的结论：i 21,i 4n 1i,i 4n21,i 4n3i

6、,i 4n1i ni n 1i n2i n 30, nZ 1i 22i , 1i1ii, 1ii1i2n如是1的立方虚数根,即13 i,1就31,2,10.,n 1n 2220nZ 5. 复数 z 是实数及纯虚数的充要条件： zRzz .如 z0 , z 是纯虚数zz0 .模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里, 都认为是相等的, 而相等的向量表示同一复数 .特例：零向量的方向是任意的,其模为零.注： | z | | z | .6. 复数的三角形式：zr cosi sin .辐角主值：适合于 0 2的值,记作 arg z .注： z 为零时,arg z 可取 0,2 内任意值 .辐角是多值

7、的,都相差2的整数倍 .设 aR , 就 arg a0, arga, arg ai, arg2ai 3.2复数的代数形式与三角形式的互化：abir cosi sin , ra 2b 2, cosab, sin.rr几类三角式的标准形式：r cosi sinrcosi sinr cosi sinrcosi sinr cosi sinr cosi sinr sini cosrcos2i sin 27. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程ax 2bxc0 a0 时,应留意下述问题：当 a, b, cR时,如 0,就有二不等实数根x1,2b；如 =0,就有二相等实数根2ax1, 2b；如 0,就有二相等复数根2ax1, 2b|i 2a（ x1,2 为共轭复数） .当 a, b, c 不全为实数时,不能用方程根的情形 .不论 a, b, c 为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：r1 cos 1i sin2 r2 cos 2i sin2 r1r2cos 12 i sin 12 r1 cos 1i sin2 r1cos 12 isin 12 r2 cos2i sin2 r2棣莫弗定理： r cosi sin nr n cos ni sin n