2022年汇杰教育郑州人教版九级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结.docx

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1、人教版九年级数学下二次函数最全的中考学问点总结-郑州汇杰训练教研组总结相关概念及定义二次函数的概念：一般地,形如2yaxbxc（ a ,b ,c 是常数, a0 ）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项2系数 a0 ,而 b,c 可以为零二次函数的定义域是全体实数二次函数yaxbxc 的结构特点： 等号左边是函数, 右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是2 a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项 二次函数各种形式之间的变换二次函数 ybax2bx4acc 用配方法可化成： yb 2a xh 2k 的形式,其中 h, k

2、.2a4a22二 次 函 数 由特 殊到 一般 , 可分 为以 下几 种 形式 ： yax2 ； yax2k ； ya xh； ya xhk ； yax2bxc .二次函数解析式的表示方法一般式：y2axbxc （ a , b , c 为常数, a0 ）；顶点式：ya x2hk （ a , h , k 为常数, a0 ）；两根式：标） .ya xx1 xx2 （ a0 , x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b 24ac0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函

3、数解析式的这三种形式可以互化.2二次函数2yaxbxc 图象的画法五 点 绘 图法 ： 利 用配 方 法将 二 次 函 数yaxbxc 化 为 顶 点 式2ya xhk ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0 ,c、以及 0,c关于对称轴对称的点2h ,c、与 x 轴的交点x1,0 ,x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）.2画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点, 与 y 轴的交点 .二次函数 yax 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称性质轴x0 时, y

4、随 x 的增大而增大； x0 时,a0向上0 ,0y 轴y 随 x 的增大而减小； x0 时, y 有最小向下0 ,0y 轴x值 0 0 时, y 随 x 的增大而减小； x0 时,a0y 随 x 的增大而增大； x0 时, y 有最大值 0 二次函数2yaxc 的性质开口方a 的符号向顶点坐标对称性质轴x0 时, y 随 x 的增大而增大； x0 时,a0向上0 ,cy 轴y 随 x 的增大而减小； x0 时, y 有最小值c x0 时, y 随 x 的增大而减小； x0 时,a0向下0 ,cy 轴y 随 x 的增大而增大； x0 时, y 有最大二次函数ya xh的性质：值c 2a 的符号

5、开口方向顶点坐标对称性质轴xh 时, y 随 x 的增大而增大； xh 时,a0向上a0向下h ,0h ,0X=hX=hy 随 x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值0 xh 时, y 随 x 的增大而减小； xh 时,y 随 x 的增大而增大； xh 时, y 有最大值0 二次函数2ya xhk 的性质开口方a 的符号向顶点坐标对称性质轴xh 时, y 随 x 的增大而增大； xh 时,a0向上h ,ka0向下h ,kX=hX=hy 随 x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值k xh 时, y 随 x 的增大而减小； xh 时,2y 随 x 的增大而增大； xh 时, y 有最大

6、值k 抛物线yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点 .a 的符号打算抛物线的开口方向：当a开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 .0 时,开口向上；当 a0 时,对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 xb . 特殊地, y 轴记作2a直线 x0 .b4acb 2顶点坐标：（,）2 a4a顶点打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数, 假如二次项系数 a相同, 那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.抛物线 yax 2bxc 中,a, b, c 与函数图像的关系2二次项系数 a二次函数yaxbxc 中, a 作为二次项系数,明显 a0 当 a口越大； 当

7、 a口越大0 时,抛物线开口向上, a 越大,开口越小,反之 a 的值越小,开0 时,抛物线开口向下, a 越小,开口越小,反之 a 的值越大,开总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向, a 的正负打算开口方向, a的大小打算开口的大小一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下,当b0 时, 当b0 时,当b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2ab0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即当b0 时, 当b0 时,当b0 时,b0 ,即抛物线

8、的对称轴在 y 轴右侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2ab0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2a总结起来,在 a 确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置 总结：常数项 c 当 c坐标为正； 当 c坐标为 0 ； 当 c坐标为负0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的 求抛物线的顶点、对称轴的方法

9、公 式 法 ： yax2bxc2a xb 2a4acb 24a, 顶 点 是b4ac（,2 a4 ab 2b）,对称轴是直线 x.22 a配方法： 运用配方的方法, 将抛物线的解析式化为 ya xhk 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线 xh .运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形, 所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点, 再用公式法或对称性进行验证, 才能做到万无一失 .用待定系数法求二次函数的解析式一般式： y2一般式.ax 2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选顶点式： ya

10、xhk . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x1 、 x2,通常选用交点式：ya xx1xx2 .直线与抛物线的交点y 轴与抛物线 yax2bxc得交点为 0,c .与 y 轴平行的直线 xh 与抛物线yax2bxc 有且只有一个交点 h ,ah 2bhc .抛物线与 x 轴的交点 : 二次函数 yax2bxc的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1、 x2 ,是对应一元二次方程ax 2bxc0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与 x

11、轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离.平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、2 个交点. 当有 2 个交点时, 两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根 .一次函数 ykxn k0 的图像 l 与二次函数 yykxnax 2bxc a0 的图像 G 的交点,由方程组2yaxbxc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l 与G 有两个交点 ;方程组只有一组解时l与G 只有一个交点；方程组无解时l 与G 没有交点 .抛物线与 x 轴两交点之间的距离： 如抛物线 yax2bxc 与 x轴两交点为 A x ,0 ,B x ,0,由

12、于x 、 x 是方程ax 2bxc0 的两个根,故1x1x221212b , xxcaaABx1x22x1x22x1x24x1x22b4caab24acaa二次函数图象的对称 :二次函数图象的对称一般有五种情形, 可以用一般式或顶点式表达2关于 x 轴对称2ya xb x关c于 x 轴对称后,得到的解析式是yaxbxc ；2ya xhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2ya xhk ；关于 y 轴对称22ya xb x 关c于 y 轴对称后,得到的解析式是 yaxbxc ；2ya xhk 关于 y 轴对称后,得到的解析式是2yaxhk ；关于原点对称22ya xb x 关c于原点对称后,得

13、到的解析式是yaxbxc ；22yaxh关k 于原点对称后,得到的解析式是ya xhk ；关于顶点对称222ya xb x关c于顶点对称后,得到的解析式是yaxbxcb ；2a2ya xhk 关于顶点对称后,得到的解析式是2ya xhk 关于点 m ,n 对称2ya xhk关 于 点m ,n对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2ya xh2m2nk总结：依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此 a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确

14、定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ,确定其顶点坐标 h ,k； 保持抛物线如下：yax2 的外形不变, 将其顶点平移到 h,k处,详细平移方法y=ax2向上k0【或向下k0【或左h0【或左h0【或下k0【或下k0【或左h0】平移|k|个单位y=ax-h2+k平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移,负左移； k 值正上移,负下移 ”概括成八个字“左加右减,上加下减” 依据条件确定二次函数表达式的几种基本思路；三点式；1,已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ 3 ,0）,B（ 2求抛

15、物线的解析式；3 , 0）,C（0,-3 ）三点,2,已知抛物线 y=ax-1 +4 , 经过点 A（2,3）,求抛物线的解析式；顶点式；1,已知抛物线 y=x2-2ax+a 2 +b 顶点为 A（2, 1）,求抛物线的解析式；22,已知抛物线 y=4x+a-2a的顶点为（ 3,1）,求抛物线的解析式；交点式；1,已知抛物线与 x轴两个交点分别为（ 3, 0）,5,0,求抛物线 y=x-ax-b的解析式；2,已知抛物线线与 x轴两个交点（ 4,0）,（1,0）求抛物线的解析式；定点式；y= 12ax-2ax-b1,在直角坐标系中, 不论 a 取何值,抛物线 y1 x225a x2a 22 经过

16、 x 轴上肯定点 Q,直线 ya2x2 经过点 Q,求抛物线的解析式；2,抛物线 y= x 2 +2m-1x-2m 与 x 轴的肯定交点经过直线 y=mx+m+,4的解析式；求抛物线23,抛物线 y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2上的定点 A,求抛物线的解析式；平移式；1,把抛物线 y= -2x向左平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到2抛物线 y=a x-h+k, 求此抛物线解析式；22,抛物线 yxx3 向上平移 , 使抛物线经过点 C0,2,求抛物线的解析式 .距离式；21,抛物线 y=ax +4ax+1a0 与 x 轴的两个交点间的距离为 2,求抛物线的解

17、析式；2,已知抛物线 y=m x2+3mx-4mm0 与 x 轴交于 A、B 两点,与 轴交于 C 点,且 AB=BC求, 此抛物线的解析式；对称轴式；221、抛物线 y=x -2x+m-4m+4与 x 轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍,求抛物线的解析式；2、已知抛物线 y=-x 2+ax+4,交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点,交 y 轴于点 C,且3OB-OA=4OC,求此抛物线的解析式；对称式；1,平行四边形 ABCD对角线 AC在 x 轴上,且 A（ -10 ,0）, AC=16,D（2,6）； AD交 y 轴于 E,将三角形 ABC沿

18、 x 轴折叠,点 B 到 B1 的位置,求经过 A,B,E 三点的抛物线的解析式；2,求与抛物线 y=x2+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式；切点式；1,已知直线 y=ax-a 2a 0与抛物线 y=mx2 有唯独公共点, 求抛物线的解析式；222, 直线 y=x+a 与抛物线 y=ax +k 的唯独公共点 A（2,1）, 求抛物线的解析式；判别式式；1、已知关于 X 的一元二次方程（ m+1）x +2m+1x+2=0 有两个相等的实数根,求2抛物线 y=-x +m+1x+3 解析式；2、已知抛物线 y=a+2x 2-a+1x+2a的顶点在 x 轴上, 求抛物线的解析式；3、已知抛物线 y=m+1x2+m+2x+1 与 x 轴有唯独公共点,求抛物线的解析式；