2022年大学一级高数期末考试题附标准答案.docx

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1、精品学习资源第一学期高等数学期末考试试卷答案一运算题（此题满分35 分，共有 5 道小题，每道小题7 分），欢迎下载精品学习资源1. 求极限lim 1xxcos x23欢迎下载精品学习资源x0sinx欢迎下载精品学习资源解：x2 x1x3cos x1x1cos x1欢迎下载精品学习资源lim1xcos x232lim3lim2欢迎下载精品学习资源x0sinxx0xx0x欢迎下载精品学习资源lim1x lnecos x 231limx lne1 cos x 21 limx ln 1cosx23limln 1cosx22欢迎下载精品学习资源x0xx 0 x ln 1cosxx0x2x0x欢迎下载精

2、品学习资源欢迎下载精品学习资源limsin x1 欢迎下载精品学习资源x0 1cosx 2 x4欢迎下载精品学习资源2. 设 x0 时， fx2x 与是等价无穷小，23 xf t dt 与0Ax k 等价无穷小，求常数k 与 A 欢迎下载精品学习资源解：欢迎下载精品学习资源由于当 x3 x0 时，ft dt 与Axk 等价无穷小，所以3 xflim 0t dt1 而欢迎下载精品学习资源0x0Axk欢迎下载精品学习资源3 xf t dtf 3 x12x133322欢迎下载精品学习资源lim0lim3 3 x 2limf 3 x23 3 x2lim xxlim1欢迎下载精品学习资源x0Axkx0A

3、kx k 1x02x32Akx k 1x0 6 Akx k 1x0 6 Akx k 1欢迎下载精品学习资源所以，lim11 因此， k1,A1 欢迎下载精品学习资源x0 6 Akxk 1x26axb欢迎下载精品学习资源3. 假如不定积分22x11xdx 中不含有对数函数，求常数a 与 b 应满意地条件欢迎下载精品学习资源解：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2xaxb2将2x11x化为部分分式，有欢迎下载精品学习资源2xaxb22x11xABx1x1CxD ，21x2欢迎下载精品学习资源x2axb2因此不定积分dx 中不含有对数函数地充分必要条件是上式中地待定系数欢迎下载精品学习资源x1

4、1x2AC0 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x2axb2即2x11xBDx1 21x2B 1x2D2x112x1x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以，有 x2axbB 1x 2D x1 2BD x22 DxBD 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源比较上式两端地系数，有1BD,a2 D ,bBD 所以，得 b1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5运算定积分52min 1,0x2dx 欢迎下载精品学习资源解：欢迎下载精品学习资源min 1,x2x2x211x21欢迎下载精品学习资源1x12x1x2x22x31x3欢迎下载精品学习资源所以，52min 1,0x2dx

5、11dx022x dx152x2 dx13 28欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 设曲线 C 地极坐标方程为r解：a sin3，求曲线 C 地全长3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源曲线 r3a sin3一周地定义域为330，即 033因此曲线 C 地全长为3欢迎下载精品学习资源2srr0da2 sin6203a2 sin4cos2d 33asin2d033a 2欢迎下载精品学习资源二（此题满分 45 分，共有 5 道小题，每道小题9 分），欢迎下载精品学习资源6. 求出函数 fxlimsinx2n地全部间断点，并指出这些间断点地类型欢迎下载精品学习资源n12 x解：sinx

6、x1 21x1欢迎下载精品学习资源f xlimnsinx222n12x1x1 22欢迎下载精品学习资源0x12欢迎下载精品学习资源因此 x11 与 x221是函数 f2x 地间断点欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源limfxlim00 ， limfxlimsinx1 ，因此 x1是函数 fx 地第一类可去型欢迎下载精品学习资源x1x122x1x1222欢迎下载精品学习资源间断点欢迎下载精品学习资源limfxlimsinx1 ， limfxlim00 ，因此 x12是函数 fx 地第一类可去型间断欢迎下载精品学习资源1111xxxx2222点欢迎下载精品学习资源7. 设是函数 fxarcs

7、in x 在区间 0,b 上使用 Lagrange（拉格朗日）中值定理中地“中值 ”，求欢迎下载精品学习资源极限 limb0 b解：欢迎下载精品学习资源fxarcsinx 在区间 0,b 上应用 Lagrange 中值定理，知存在0,b，使得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源arcsinbarcsin01b0 12欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以，212b因此，arcsinb欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2lim21lim2barcsinb2limarcsinbb2222欢迎下载精品学习资源b0 bb0bb0barcsin b欢迎下载精品学习资源令 tarcsinb

8、，就有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2lim2t 2lim2sin 2 t2t 2limsin2 t4欢迎下载精品学习资源b0 bt0tsin tt0t欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2tlimsin 2t32lim2 cos2t211limcos 2t21lim2 sin 2t1欢迎下载精品学习资源t04tt012t16 t0t6 t02t3欢迎下载精品学习资源所以，lim欢迎下载精品学习资源b0 b3欢迎下载精品学习资源8. 设 f x1 xey 201y dy ，求f0x dx 欢迎下载精品学习资源解：欢迎下载精品学习资源1f x dx01xf x 01xfx dx0欢

9、迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在方程 f x1 xey 20y dy 中，令 x1 ，得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1 1f 1ey 20y dy0ey 20y dy0 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源再在方程 f x1 xey 20y dy两端对 x 求导，得fx1 x 2e，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1因此，f0x dx1xf x 01xfx dx01xfx dx0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1xe10x 2 dx1e xe0x 2 dxe11 e x2201 e1 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源9. 讨论方程exa x2a

10、0 在区间,内实根地个数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：设函数 fx2xax e1， fxx2axe2xax eax 2xx e欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源令 fx0 ，得函数f x 地驻点 x10,x22 欢迎下载精品学习资源由于 a0 ，所以欢迎下载精品学习资源lim f xxlim ax1，e2xx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源limfxxlimxax 2 e x1x 2a limx xe2 x1a limxxe21a limx11 xe欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因此，得函数xfx 地性态,000,222,欢迎下载精品学习资源fx00欢迎下

11、载精品学习资源fx14 ae 211欢迎下载精品学习资源 如 4ae 210 ，即 a2e时，函数 fx4ax 2 e x1 在,0 、 0,2 、 2,内各有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x一个零点，即方程e2a x 在,内有 3 个实根欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 如 4ae 210 ，即e2a时，函数 fx 4ax 2e x1 在,0 、 0,内各有一个零点，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即方程 exa x2 在,内有 2 个实根欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 如 4ae 210 ，即 a2e时，函数 fxax2 e x1 在x,0 有一个零点，

12、 即方程 ea x2 在欢迎下载精品学习资源4,内有 1 个实根10 设函数 f x 可导，且满意fxx fx1 ， f 00 欢迎下载精品学习资源试求函数fx 地极值欢迎下载精品学习资源解：欢迎下载精品学习资源在方程 fxx fx1 中令 tx ，得 ftt ft1 ，即欢迎下载精品学习资源fxx fx1 欢迎下载精品学习资源在方程组fxxfxx xfxfx中消去 fxx ，得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源积分，留意 f00 ，得 fxf 0fxxtt 22xx21x2 dt 即欢迎下载精品学习资源0 1t欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xf xttdtx1 ln 1x2a

13、rctanx 欢迎下载精品学习资源201t2222xx12 xx欢迎下载精品学习资源由 fx1x 2得函数 fx 地驻点 x10,x21. 而 fx2所以，21x欢迎下载精品学习资源f010 ， f110 2欢迎下载精品学习资源所以， f 00 是函数 fx 微小值； f111ln 2 2是函数4f x 极大值欢迎下载精品学习资源三应用题与证明题（此题满分20 分，共有 2 道小题，每道小题10 分），欢迎下载精品学习资源11 求曲线 yx 地一条切线，使得该曲线与切线l 及直线 x0 和 x2 所围成地图形绕 x 轴旋转地欢迎下载精品学习资源旋转体地体积为最小 解：欢迎下载精品学习资源设切点

14、坐标为 t,t ，由 y1，可知曲线 y2tx 在 t ,t 处地切线方程为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1ytx2tt ，或 y1xt 2t欢迎下载精品学习资源因此所求旋转体地体积为欢迎下载精品学习资源221Vxt02t2xdx843t42t欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以， dVdtd 2V8243t2160 得驻点 t2，舍去 t322由于3欢迎下载精品学习资源tdt 22343t 22t30 ，因而函数 V 在 t处达到微小值，而且也是最小值因此所求切线方3欢迎下载精品学习资源程为 y3 x1 42欢迎下载精品学习资源12 设函数f x 在闭区间0， 1上连续，在

15、开区间0， 1内可导，且欢迎下载精品学习资源2e f x0arctan xdx1， f 10 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明：至少存在一点0， 11，使得 f12arctan欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：由于 fx 在闭区间0,1 上连续，所以由积分中值定理，知存在20,，使得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2e f x0arctanxdx2 efarctan欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2由于ef x 0arctan xdx1 ，所以，22 e farctan1再由 f 120 ，得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源e farctane

16、f 14arctan 1 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源作函数 g xef xarctan x ，就函数在区间,10,1 上连续，在区间,1 内可导所以由欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Rolle 中值定理，存在,10,1 ，使得 g0 而欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源g xe f x fx arctan xe f x1x2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以存在,10,1 ，使得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源e ffarctane0 f21欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 e f0 ，所以 farctan10 ，即 f1欢迎下载精品学习资源2112arctan欢迎下载