2022年基本不等式知识点归纳.docx

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1、1. 基本不等式abab 2基本不等式学问点归纳(1) 基本不等式成立的条件：a0,b0.(2) 等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号 探究 1. 如何懂得基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：当 ab 时, ab 2ab 取等号,即 abab2ab.仅当 ab 时, ab2ab 取等号,即 ab2abab.2. 几个重要的不等式a 2b 2aab2aba,bb2 a,b2R; baaR; a bb 222 aba220.b 2a,bR3. 算术平均数与几何平均数设 a0,b0, 就a, b 的算术平均数为ab ,几何平均数为ab ,基本不等式可表达为：两个正实数的算术2平均数不小于它的几何

2、平均数4. 利用基本不等式求最值问题已知 x0, y0, 就(1) 假如积 xy是定值p, 那么当且仅当 xy 时, xy 有最小值是2p. 简记：积定和最小 p 2(2) 假如和 xy 是定值p, ,那么当且仅当 xy 时, xy有最大值是. 简记：和定积最大 4 探究 2. 当利用基本不等式求最大 小 值时,等号取不到时,如何处理？提示：当等号取不到时,可利用函数的单调性等学问来求解例如,yx1 在 x x2 时的最小值,利用单调性,易知 x52 时 ymin. 21. 已知 m0, n0,且 mn81, 就 m 自测牛刀小试 n的最小值为 A 18B 36C 81 D 243解析：选 A

3、由于 m0, n0,所以 m n2 mn 281 18.2. 如函数f xx1 x x22 在 xa 处取最小值,就 aA 12B 13C 3D 43. 已知 x0, y0, z0, xy2z0, 就1xz 的y 21A最小值为 8 B 最大值为 8C最小值为8D最大值为 84. 函数 y1x的值域为x5. 在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数最小值是f x2的图象交于 P 、 Q 两点,就线段 PQ 长的x利用基本不等式证明不等式 例 1已知 a0,b0, ab1, 求证： 11 119.ab保持例题条件不变,证明：a1b2122.利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本

4、不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情形,要从整体上把握运用基本不等式,对不满意使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有：拆项、 并项, 也可乘上一个数或加上一个数,“1” 的代换法等1已知 a0, b0, c0, 求证： bccaababcabc.利用基本不等式求最值 例 212022 浙江高考 如 x0, y0, 满意 x3y5 xy, 就 3 x4 y 的最小值是 24A. 5B.285 C 5 D 62 已知 a0, b0, a 2b1, 就 a1b2的最大值为22应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时,要留意其必需满意的三个条件：(1) 一正二定三相等

5、“一正”就是各项必需为正数；(2) “二定”就是要求和的最小值,必需把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值,就必需把构成积的因式的和转化成定值；(3) “三相等”是利用基本不等式求最值时,必需验证等号成立的条件,如不能取等号就这个定值就不是所求的最值,这也是最简单发生错误的地方11 函数 ya1 x a0, a1 的图象过定点A, 如点 A 在直线 mxny10m, n0 上,求 1m1的最小值；n2 如正数a, b 满意 abab3, 求 ab 的取值范畴利用基本不等式解决实际问题 例 3为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在20XX 年举办促销活动,经调查测算,该产品的年销量 即该厂的

6、年产量 x 万件与年促销费用t t0 万元满意 x4k k 为常数 假如不搞促销活动, 就该产品的年销2t1量只能是 1 万件已知 20XX 年生产该产品的固定投入为6 万元,每生产1 万件该产品需要再投入12 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5 倍 产品成本包括固定投入和再投入两部分 (1) 将该厂家 20XX年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；(2) 该厂家 20XX年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大？解实际应用题时应留意的问题(1) 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2) 依据实际问题抽象出函数的解析式后,只需再利用基

7、本不等式求得函数的最值；在求函数的最值时,肯定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范畴内求 .有些实际问题中, 要求最值的量需要用几个变量表示,同时这几个变量满意某个关系式,这时问题就变成了一个条件最值,可用求条件最值的方法求最值.3某种商品原先每件售价为25 元,年销售量8 万件(1) 据市场调查,如价格每提高1 元,销售量将相应削减2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最高为多少元？(2) 为了扩大该商品的影响力,提高年销售量公司打算明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到 x 元公司拟投入1 x26600 万元作为技改费用,投入50 万元作为固定宣

8、扬费用,投入1 x 万元作为5浮动宣扬费用试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价1 个技巧公式的逆用运 用 公 式 解 题 时 , 既 要 掌 握 公 式 的 正 用 , 也 要 注 意 公 式 的 逆 用 , 例 如 a 2b 22ab逆 用 就 是a 2b2aba20, b0, 逆用就是 ab ab2 a, b 20 等,仍要留意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等2 个变形基本不等式的变形1 ab 22a 2b22aba,bR,当且仅当 ab时取“”.2a2b 2ab 22ab2a11ab0,b0,

9、当且仅当 ab时取“”.3 个关注利用基本不等式求最值应留意的问题(1) 使用基本不等式求最值,其失误的真正缘由是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不行(2) 在运用基本不等式时, 要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满意基本不等式中“正”“定”“等” 的条件(3) 连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满意任何一次的字母取值存在且一样.创新交汇基本不等式在其他数学学问中的应用1. 考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等学问为载体考查基本不等式求最值问题2. 解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式,同时要留意

10、基本不等式的使用条件8 典例2022 湖南高考 已知两条直线l1 : ym和 l 2 : ym2m10,l1 与函数 ylog 2 x的图象从左至右相交于点 A 、B , l2 与函数 yblog2x 的图象从左至右相交于点C 、 D , 记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a, b.当 m 变化时,的最小值为 aA 162B 82C 83 4 D 43 4 名师点评 1此题具有以下创新点(1) 此题是对数函数的图象问题,通过分析、转化为基本不等式求最值问题(2) 此题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合,考查了考生分析问题、解决问题的才能2解决此题的关键有以下几点(1)

11、 正确求出 A 、 B 、 C 、 D 四点的坐标；(2) 正确懂得a, b 的几何意义,并能正确用A 、 B 、 C 、 D 的坐标表示；(3) 能用拼凑法将 m 变式训练 8m2m10 化成利用基本不等式求最值的形式1. 已知 x0, y0, x, a,b,y 成等差数列x, c, d,y 成等比数列,就2abcd的最小值是 A 0B 1C2D 42. 如直线 ax13by230a0, b0, 被圆 x2y 22x4 y10 截得的弦长为 4,就 1a1的最小值为 bA.B.2C. 4 2D. 22 223. 如 x0, y0, 且 xyaxy 恒成立,就 a的最小值是练习一、挑选题 本大

12、题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分12022 福建高考 以下不等式肯定成立的是A lg x21 4lg xx0 B sin x1sin x2 xk, kZ C x212 x xR D.1x211 xR22022 陕西高考 小王从甲地到乙地来回的时速分别为a 和 b （ ab ）,其全程的平均时速为v, 就A avab B vabC.abvab 2D vab 23如 a10, b0, 且 ln ab0, 就 1a1的最小值是 b4A.B 1C 4D 842022 淮北模拟 函数 yx22 xx11 的最小值是 A 232 B 23 2C 23D25设 a0, b0, 且不等式 1a1k

13、bab0 恒成立,就实数k 的最小值等于 A 0 B 4C 4 D 262022 温州模拟 已知 M 是 ABC 内的一点, 且 AB AC 23,BAC300 , 如MBC ,MCA和 MAB的面积分别为1 , x, y, 就 12x4的最小值是 yA 20 B 18C 16 D 19二、填空题 本大题共 3 小题,每道题 5 分,共 15 分7. 某公司租地建仓库,每月土地占用费y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2 与到车站的距离成正比,假如在距车站10 公里处建仓库,这两项费用小,仓库应建在离车站 公里处y1 和y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么要使这两项费用之

14、和最8. 如 a0, b0, ab2, 就以下不等式对一切满意条件的a,b 恒成立的是 写出全部正确命题的编号 ab1 ab2 a2b 22 a2b 23 112.ab92022 泰州模拟 已知 x0, y0, x2 y2 xy8, 就 x2 y 的最小值是三、解答题 本大题共 3 小题,每道题 12 分,共 36 分10已知 a0, b0,c0, d0.求证：adbc bdbcad4. ac11提高过江大桥的车辆通行才能可改善整个城市的交通状况在一般情形下,大桥上的车流速度v 单位：千米 / 小时 是车流密度 x 单位： 辆/ 千米 的函数, 当桥上的车流密度达到200 辆/ 千米时, 造成

15、堵塞, 此时车流速度为 0； 当车流密度不超过20 辆/ 千米时,车流速度为60 千米/ 小时讨论说明：当20 x 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数1 当 0 x200 时,求函数v x的表达式；2 当车流密度 x 为多大时,车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位：辆/ 小时 达到最大,并求出最大值 精确到 1 辆/ 小时 f xx v x 可以1. 已知log2 alog 2 b1,就 3a9b 的最小值为2. 设a, b均为正实数,求证：1a 21ab b222 .3. 已知 x5 , 求4f x4 x214x5的最大值4. 某房地产开发公司方案在一楼区内建造

16、一个长方形公园ABCD,公园由长方形 A1B1C1D1 的休闲区和环公园人行道 阴影部分 组成已知休闲区A1B1C1D1 的面积为 4 000 平方米,人行道的宽分别为4 米和 10 米 如下列图 | A1B1|(1) 如设休闲区的长和宽的比| B1C1| xx1, 求公园 ABCD所占面积 S 关于 x 的函数S x的解析式；(2) 要使公园所占面积最小,就休闲区A1 B1C1D1 的长和宽该如何设计？ 归纳学问整合 1. 合情推理(1) 归纳推理：定义：由某类事物的部分对象具有某些特点,推出该类事物的全部对象都具有这些特点的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理特点：是由部分到整体、由个

17、别到一般的推理(2) 类比推理定义：由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象的某些已知特点,推出另一类对象也具有这些特点的推理特点：类比推理是由特殊到特殊的推理 探究 1. 归纳推理的结论肯定正确吗？提示：不肯定,结论是否真实,仍需要经过严格的规律证明和实践检验2. 演绎推理(1) 模式：三段论大前提已知的一般原理；小前提所讨论的特殊情形；结论依据一般原理,对特殊情形做出的判定(2) 特点：演绎推理是由一般到特殊的推理 探究 2. 演绎推理所获得的结论肯定牢靠吗？提示：不肯定,只有前提是正确的,推理形式是正确的,结论才肯定是真实的,错误的前提就可能导致错误的结论1下面几种推理是合情推理的是 自

18、测牛刀小试 由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180,归纳出全部三角形的内角和都是180；某次考试张军成果是100 分,由此推出全班同学成果都是100 分；三角形的内角和是 180, 四边形的内角和是360, 五边形的内角和是540, 由此得出凸多边形的内角和是 n2 180.67A B C D52观看以下各式： 5 3 125,5A 3 125 B 5 625C 0 625 D 8 125 15 625,5 78 125 ,就 52 013的末四位数字为 3 教材习题改编 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,就直线平行于平面内全部直线；已知直线

19、b.平面 ,直线 a. 平面 ,直线 b平面 ,就直线 b直线 a”,结论明显是错误的,这是由于A大前提错误B 小前提错误C推理形式错误D 非以上错误归纳推理 例 112022 江西高考 观看以下各式：ab1, a2b23.a3b34,a 4b47, a5b511, 就a10b10A 28B76C 123 D 199(2) 设f x1, 先分别求3x3f 0f 1, f 1f 2, f 2f 3, 然后归纳猜想一般性结论, 并给出证明利用本例 2 的结论运算f 2022f 2022f 1f 0f 1f 2022的值归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1) 数的归纳包括数字归

20、纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观看,寻求相邻项及项与序号之间的关系, 同时仍要联系相关的学问,如等差数列、等比数列等(2) 形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳1 11 231 13331 2 93331 23 61 2 3 361. 观看以下等式：33331 23 4 101 2 3 4 100333331 23 4 5151 2 3 4 5 225333* 可以估计： 1 2 3 n3 n N ,用含 n 的代数式表示 类比推理 例 22022 广州模拟 已知数列 an 为等差数列, 如 ama,anb nm1, m, nN , 就 an mnbma ,nm类比等差数列

21、an 的上述结论, 对于等比数列 bnbn0, nN , 如 amc, and nm2, m, nN , 就可以得到 bnm .类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1) 类比定义：在求解由某种熟识的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解；(2) 类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要仔细分析两者之间的联系与区分,深化摸索两者的转化过程是求解的关键；(3) 类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,留意学问的迁移2. 在ABC 中, ABAC , ADBC 于 D ,

22、 求证：1AD 21AB 21.AC2演 绎 推 理 例 3已知函数f xaaaxa0且a1.1 证明：函数 yf x 的图象关于点 1 ,2 对称；122 求 f 2f 1f 0f 1f 2f 3 的值演绎推理的结构特点(1) 演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式是三段论, 它是由大前提、 小前提、结论三部分组成的 三段论推理中包含三个判定：第一个判定称为大前提,它供应了一个一般的原理；其次个判定叫小前提,它指出了一个特殊情形这两个判定联合起来,提示了一般原理和特殊情形的内在联系,从而产生了第三个判定：结论(2) 演绎推理的前提和结论之间有着某种包蕴关系,解题时要找准正确的大前提一般

23、地,如大前提不明确时, 一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提3. 已知函数减性f xabx, 其中 a x0,b0, x0, 试确定f x 的单调区间,并证明在每个单调区间上的增2 个步骤归纳推理与类比推理的步骤(1) 归纳推理的一般步骤：通过观看个别情形发觉某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 ；检验猜想试验、观看 概括、推广 推测一般性结论(2) 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相像性或一样性；用一类事物的性质去估计另一类事物的性质,得出一个明确的命题 猜想 ；检验猜想观看、比较 联想、类推 猜想新结论1 个区分合情推理与演绎推理的区分(1) 归纳

24、是由特殊到一般的推理；(2) 类比是由特殊到特殊的推理；(3) 演绎推理是由一般到特殊的推理；(4) 从推理的结论来看,合情推理的结论不肯定正确,有待证明；如大前提和小前提正确,就演绎推理得到的结论肯定正确 .创新交汇合情推理与证明的交汇创新1. 归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比题型多为客观题,而20XX 年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合显现在解答题中,是高考命题的一个创新2. 解决此类问题第一要通过观看特例发觉某些相像性 特例的共性或一般规律 ；然后把这种相像性推广到一个明确表述的一般命题 猜想

25、；最终对所得的一般性命题进行检验一、挑选 题 本大题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分12022 合肥模拟 正弦函数是奇函数, 推理 f xsin x21 是正弦函数,因此f xsin x21 是奇函数,以上A结论正确B大前提不正确 C小前提不正确D 全不正确2 2022 银川模拟 当 x 0 , 时可得到不等式x12, x4xx2xx 2 222x3, 由此可以推广为xpn xn1, 取值 p 等于A nn B n2 C n D n132022 江西高考 观看以下事实： | x | | y | 1 的不同整数解 x, y 的个数为 4, | x | | y | 2 的不同整数解 x,

26、 y 的个数为 8,| x | | y | 3 的不同整数解 x, y 的个数为 12,就| x | | y | 20 的不同整数解 x, y 的个数为 A 76 B 80C 86 D 925设ABC 的三边长分别为 a 、 b 、 c, ABC 的面积为 S ,内切圆半径为 r ,就 r2 Sabc; 类比这个结论可知：四周体 SABCD的四个面的面积分别为S1 、 S2 、 S3 、S4 ,内切球的半径为 R ,四周体 SABC的体积为V ,就 R A.VB.2VS1S2S3S4S1S2S3S4C.3VD.4VS1S2S3S4S1S2S3S46已知“整数对”按如下规律排成一列：1,1 ,

27、1,2 , 2,1,1,3, 2,2, 3,1, 1,4, 2,3, 3,2,4,1,就第 60 个数对是 A 7,5 B 5,7C 2,10 D10,1二、填空题 本大题共 3 小题,每道题 5 分,共 15 分72022 陕西高考 观看以下不等式1321 22 ,111533 22 2 ,111741 22 3242 ,照此规律,第五个不等式为 82022 湖北高考 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等明显 2 位回文数有 9 个： 11,22,33 , 99.3 位回文数有 90 个： 101,111,121 , 191,202 , 999. 就(1) 4位回文数有个；*(2) 2 n 1 n N 位回文数有个1. 正方形 ABCD 的边长是 a ,依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形,再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形,依此得到一系列的正方形,如下列图现有一只小虫从A 点动身,沿正方形的边逆时针方向爬行,每遇到新正方形的顶点时,沿这个正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬行了10 条线段就这 10 条线段的长度的平方和是1 023A. 2 048511C. 1 024a 2 B. 1 023 a 2768a D.22 04724 096 a