2022年江苏高考数学试题及详细答案.docx

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1、精品学习资源参考公式 :2021 年江苏高考数学试题数学试题欢迎下载精品学习资源圆柱的侧面积公式 :S 圆柱=cl, 其中 c 是圆柱底面的周长， l 为母线长 .圆柱的体积公式 :V 圆柱 =Sh,其中 S 是圆柱的底面积， h 为高.一、填空题：本大题共14 小题，每道题 5 分，共计 70 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上 .欢迎下载精品学习资源1. 已知集合 A2 ，1，3，4 ， B1，2，3 ，就 AB欢迎下载精品学习资源【答案】 1，32. 已知复数 z52i 2 i 为虚数单位 ，就 z 的实部为【答案】 213. 右图是一个算法流程图，就输出的n 的值是【答案】 54.

2、从 1，2 ，3，6 这 4 个数中一次随机地取2 个数，就所取 2 个数的乘积为 6 的欢迎下载精品学习资源概率是【答案】 135. 已知函数 ycosx 与 ysin2 x0 ，它们的图象有一个横坐标为欢迎下载精品学习资源3 的交点，就的值是【答案】 66. 为了明白一片经济林的生长情形，随机抽测了其中60 株树木的底部周长（单位： cm），所得数据均在区间 80 ，130 上，其频率分布直方图如下列图，就在抽测的60 株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm【答案】 24欢迎下载精品学习资源7. 在各项均为正数的等比数列 an 中，如a21 ， a8a62a4 ，欢迎下载精品学习资源

3、就 a6 的值是【答案】 4欢迎下载精品学习资源8. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S ，S ，体积分别为 V ，V，如它们的侧面积相等，且S19 ，欢迎下载精品学习资源1212S2 4欢迎下载精品学习资源就 V1V2的值是欢迎下载精品学习资源【答案】 329. 在平面直角坐标系xOy 中，直线 x【答案】 25552y30 被圆 x2 2 y124 截得的弦长为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源10. 已知函数f xx 2mx1，如对任意 xm ，m1 ，都有f x0 成立， 就实数 m 的取值范畴是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【答案】2 ，0 211. 在平面直角坐标系x

4、Oy 中，如曲线yax2b a ，b 为常数 过点xP2 ，5 ，且该曲线在点 P 处的欢迎下载精品学习资源切线与直线 7 x2 y30 平行，就 ab 的值是【答案】3欢迎下载精品学习资源12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知， AB8，AD5 ， CP3PD ，APBP2 ，就 ABAD 的欢迎下载精品学习资源值是【答案】 22欢迎下载精品学习资源13. 已知f x 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0 ，3 时， f xx22x1 如函数2yf xa欢迎下载精品学习资源在区间 3，4 上有 10 个零点 互不相同 ，就实数 a 的取值范畴是欢迎下载精品学习资源【答案】0

5、，12欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源14. 如ABC 的内角满意 sin A2 sin B2sin C ，就 cosC 的最小值是欢迎下载精品学习资源【答案】6245二、解答题：本大题共 6小题, 共计 90 分. 请在答题卡指定区域内 作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .欢迎下载精品学习资源15. 本小题满分 14 分已知（1） 求 sin的值；42 ， ， sin5 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（2） 求 cos26的值欢迎下载精品学习资源【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力. 满分 14 分.欢迎下载

6、精品学习资源（ 1）， ，sin5 ，欢迎下载精品学习资源25 cos1sin 2255sinsincoscossin2 cossin10 ；欢迎下载精品学习资源444210欢迎下载精品学习资源（ 2） sin 22sincos4 ，cos 2cos2sin 2 3欢迎下载精品学习资源55欢迎下载精品学习资源 cos2coscos2sinsin 23314334 欢迎下载精品学习资源66625251016. 本小题满分14 分如图，在三棱锥PABC 中， D ，E ，F 分别为棱 PC ，AC ，AB 的中点已知欢迎下载精品学习资源PAAC ，PA6 ， BC8 ， DF5 欢迎下载精品学习资

7、源（ 1）求证：直线PA平面 DEF ；（ 2）平面 BDE平面 ABC【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象才能和推理论证才能.满分 14 分.（ 1） D ，E 为 PC ，AC 中点 DE PA PA平面 DEF ， DE平面 DEF PA平面 DEF欢迎下载精品学习资源（ 2） D ，E 为 PC ，AC 中点 DE1 PA32欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 E ，F为 AC ，AB中点 EF1 BC42欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 DE 2EF 2DF 2 DEF90， DE EF欢迎下载精品学习资源 DE /PA

8、，PAAC ， DEAC ACEFE DE 平面 ABC欢迎下载精品学习资源 DE平面 BDE ，平面 BDE 平面 ABC22x17本小题满分 14 分如图， 在平面直角坐标系xOy 中， F1 ，F2 分别是椭圆 a2y1ab b0 的左、欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2右焦点，顶点 B 的坐标为 0 ，b ，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另欢迎下载精品学习资源一点 C，连结 F1C 欢迎下载精品学习资源（ 1）如点 C 的坐标为 4 ，133，且 BF22 ，求椭圆的方程；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）如F1CAB ，求椭圆离

9、心率 e 的值欢迎下载精品学习资源【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础学问，考查运算求解才能 . 满分 14 分.161（ 1） C4199， ，229233ab欢迎下载精品学习资源2 BF 2b2c2a 2 ， a22 22 ， b1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源椭圆方程为xy2 122欢迎下载精品学习资源（ 2）设焦点F1 c ，0 ，F2 c ，0 ，C x ，y欢迎下载精品学习资源 A ，C关于 x 轴对称，A x， y欢迎下载精品学习资源 B ，F2，A 三点共线，bby ，即bxcybc0 欢迎下载精品学习资源 F1CAB ，ybxc

10、ccx1 ，即xcbyc20 欢迎下载精品学习资源联立方程组，解得xca2222， 2bc2 Cbca c2222欢迎下载精品学习资源2bc2bcbc欢迎下载精品学习资源a 2 cyb22c 222bc 2欢迎下载精品学习资源C 在椭圆上，b2c2a2b 2c2b21 ，欢迎下载精品学习资源化简得5c 2a2 ， c5 ,故离心率为5欢迎下载精品学习资源a5518本小题满分 16 分如图，为爱护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形爱护区 规划要求： 新桥 BC 与河岸 AB 垂直； 爱护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆， 且古桥两端 O 和 A 到该圆

11、上任意一点的距离均不少于 80m经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点欢迎下载精品学习资源C 位于点 O 正东方向 170m 处OC 为河岸 ， tan（ 1）求新桥 BC 的长；BCO4 3欢迎下载精品学习资源（ 2）当 OM 多长时，圆形爱护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础学问， 考查建立数学模型及运用数学学问解决实际问题的才能.满分 16 分.解法一：(1) 如图， 以 O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy.由条件知 A0, 60 ， C170, 0，4直线 BC 的斜率 kBC=tan BCO=

12、.3欢迎下载精品学习资源3又由于 AB BC，所以直线AB 的斜率 kAB=.4欢迎下载精品学习资源设点 B 的坐标为 a,b，就 kBC=ba04 ,1703欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源bkAB=a603 ,04欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解得 a=80 ，b=120.所以 BC=因此新桥 BC 的长是 150 m.17080201202150 .欢迎下载精品学习资源(2) 设爱护区的边界圆M 的半径为 r m,OM =d m,0 d60.欢迎下载精品学习资源由条件知，直线 BC 的方程为 y4 x3170 ，即 4 x3 y6800欢迎下载精品学习资源由于圆 M 与

13、直线 BC 相切，故点 M 0 ，d到直线 BC 的距离是 r ，欢迎下载精品学习资源即 r|3d680 |6803d.55欢迎下载精品学习资源由于 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m,6803dd 80欢迎下载精品学习资源5rd 80所以即r60d 806803d560d 80解得 10 d 35欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故当 d=10 时, r6803d5最大，即圆面积最大 .欢迎下载精品学习资源所以当 OM = 10 m 时，圆形爱护区的面积最大.解法二 : 1 如图，延长 OA, CB 交于点 F.由于 tan BCO = 4 .所以 sin FCO

14、= 4 ， cos FCO= 3 .355由于 OA=60,OC=170，所以 OF =OC tan FCO= 680 .3欢迎下载精品学习资源CF =cosOCFCO8503,从而AFOFOA500 .3欢迎下载精品学习资源4由于 OA OC，所以 cos AFB =sin FCO=，5欢迎下载精品学习资源又由于 AB BC，所以 BF=AF cos AFB= 4003，从而 BC=CF BF=150.欢迎下载精品学习资源因此新桥 BC 的长是 150 m.2设爱护区的边界圆M 与 BC 的切点为 D ，连接 MD ，就 MD BC，且 MD 是圆 M 的半欢迎下载精品学习资源径，并设 MD

15、 =r m， OM =d m0 d 60.由于 OA OC，所以 sin CFO =cos FCO ，欢迎下载精品学习资源故由 1 知， sin CFO =MDMDr3 , 所以 r6803d.欢迎下载精品学习资源MFOFOM680d553欢迎下载精品学习资源由于 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于80 m,6803dd 80欢迎下载精品学习资源5rd 80所以即r60d 806803d560d 80解得 10 d 35欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故当 d=10 时, r68053d最大，即圆面积最大 .欢迎下载精品学习资源x所以当 OM = 10 m 时，圆形爱护区的

16、面积最大.欢迎下载精品学习资源19 本小题满分 16 分已知函数f xexe其中 e 是自然对数的底数欢迎下载精品学习资源（1） 证明： f x 是 R 上的偶函数；欢迎下载精品学习资源（2） 如关于 x 的不等式mf x e xm1 在 0 ， 上恒成立，求实数m 的取值范畴；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（3） 已知正数 a 满意：存在 x01， ，使得f x ax33x 成立试比较 ea 1 与 ae 1 的大小，欢迎下载精品学习资源000并证明你的结论【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础学问，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的才能.满分 16 分.

17、欢迎下载精品学习资源（ 1） xR ， f xe xexf x ，f x是 R 上的偶函数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）由题意，me xex e xm1 ，即mexe x1 e x1欢迎下载精品学习资源 x0 ， ， exe x10 ，即xe1m exe x1 对 x0 ， 恒成立欢迎下载精品学习资源令 tex t1 ，就m 1tt 2t1 对任意 t1， 恒成立欢迎下载精品学习资源2213 1tt11 1 ，当且仅当 t2 时等号成立欢迎下载精品学习资源tt m1t131 t11t1t11欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3）f xexe x ，当 x1 时 f

18、x0 ，f x在 1， 上单调增欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源令 hxax 33 x， h x3ax x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 a0 ，x1，h x0 ，即h x 在 x1， 上单调减欢迎下载精品学习资源存在 x1， ，使得f x ax 33x ，f 1e12a ，即 a1 e1欢迎下载精品学习资源0000e2e欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 lnae-1 ea 1ln ae 1ln ea 1e1ln aa1欢迎下载精品学习资源设 m ae1ln aa1 ，就mae11e1a ，a1 e1欢迎下载精品学习资源当 1e1ae1时，ma0 ，aa2ema 单

19、调增；欢迎下载精品学习资源2e当 ae1时， m a 0 ， ma 单调减欢迎下载精品学习资源a 1因此 ma 至多有两个零点，而m1me0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 ae 时，ma0 ， ae 1e；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 1e1ae 时，ma0 ， ae；欢迎下载精品学习资源e 1a 12e欢迎下载精品学习资源当 ae 时，m a0 ， ae 1ea 1 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源20本小题满分 16 分设数列 an 的前 n 项和为Sn 如对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得 Snam ，欢迎下载精品学习资源就称 an 是“ H 数

20、列”欢迎下载精品学习资源（1） 如数列 an 的前 n 项和 Sn2n nN ，证明： an 是“ H 数列”；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（2） 设 an 是等差数列，其首项a11 ，公差 d0 如 an 是“ H 数列”，求 d 的值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（3） 证明：对任意的等差数列 an ，总存在两个“ H 数列” bn和 cn，使得 anbncn nN 成欢迎下载精品学习资源立【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础学问，考查探究才能及推理论证才能, 满分 16分.欢迎下载精品学习资源（ 1）当n 2 时，anSnSn 12n2 n 12n 1

21、欢迎下载精品学习资源当 n1时， a1S1 2欢迎下载精品学习资源 n1时， S1a1 ，当n 2 时， Snan 1欢迎下载精品学习资源 an 是“ H 数列”欢迎下载精品学习资源（ 2） Snann1 dnnn1 d欢迎下载精品学习资源n122欢迎下载精品学习资源对 nN ， mN 使 Snam ，即 nnn21) d1 m1d欢迎下载精品学习资源取 n2 得 1dm1d ， m21d欢迎下载精品学习资源 d0 ， m2 ，又 mN ， m1， d1欢迎下载精品学习资源（ 3）设 an 的公差为 d欢迎下载精品学习资源令 bna1n1a12n a1 ，对 nN ， bn 1bna1欢迎下载

22、精品学习资源欢迎下载精品学习资源cnn1a1d ，对nN ， cn 1cna1d欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 bncna1n1dan ，且 bn ， cn 为等差数列欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 b 的前 n 项和Tnan n1 a ，令 T2ma ，就 mnn32欢迎下载精品学习资源nn121n12当 n1时 m1； 当 n2 时 m1；欢迎下载精品学习资源当 n 3 时，由于 n 与 n3 奇偶性不同，即nn3 非负偶数， mN欢迎下载精品学习资源因此对n ，都可找到 mN ，使 Tnbm 成立，即 bn 为“ H 数列”欢迎下载精品学习资源 cn 的前项和 Rn

23、n n21) ad ，令 cm1a1d Rm ，就 mnn211欢迎下载精品学习资源1n对nN ， nn1) 是非负偶数， mN欢迎下载精品学习资源即对nN ，都可找到 mN ，使得 Rncm 成立，即 cn 为“ H 数列”因此命题得证 .数学 附加题 欢迎下载精品学习资源21. 【选做题】此题包括A,B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.如多做， 就按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 【选修 4-1:几何证明选讲】 本小题满分 10 分如图， AB 是圆 O 的直径， C、 D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点证明 : OCB=

24、 D.本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证才能.满分 10 分.证明：由于 B, C 是圆 O 上的两点，所以 OB=OC.故 OCB= B.又由于 C, D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点， 故 B， D 为同弧所对的两个圆周角，所以 B= D.因此 OCB= D.B. 【选修 4-2:矩阵与变换】 本小题满分 10 分欢迎下载精品学习资源已知矩阵 A121 x， B1122 1 ，向量y， x，y 为实数，如 A= B，求 x，y 的值欢迎下载精品学习资源【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础学问，考查运算求解才能.满分 10 分.欢迎下载精品学习资源2 y22y2 y22y ，1

25、欢迎下载精品学习资源A， B，由 A= B得解得 x，y4欢迎下载精品学习资源2xy4y2xy4y ，2欢迎下载精品学习资源C. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 本小题满分 10 分x12 t ，欢迎下载精品学习资源在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为2y22 tt 为参数 ，直线 l 与抛物线y 24x欢迎下载精品学习资源2交于 A，B 两点，求线段AB 的长【答案】 本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础学问，考查运算求解才能.满分 102分.欢迎下载精品学习资源直线 l： xy3 代入抛物线方程y24 x 并整理得x10x90欢迎下载精品学习资源欢迎下

26、载精品学习资源交点A1，2 ，B9 ，6 ，故 | AB |82欢迎下载精品学习资源D. 【选修 4-5:不等式选讲】 本小题满分 10 分已知 x0, y0, 证明： 1+ x+y2 1+ x2+y 9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证才能.满分 10 分.欢迎下载精品学习资源证明：由于 x0, y0, 所以 1+ x+y2 33xy20 ，1+x2+y 33x2 y0 ，欢迎下载精品学习资源所以 1+ x+y2 1+ x2+y 33xy233 x2 y =9xy.欢迎下载精品学习资源【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域内

27、作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. 本小题满分 10 分盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同（ 1）从盒中一次随机取出2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率P；欢迎下载精品学习资源（ 2）从盒中一次随机取出4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1 ，x2 ，x3 ，随机变量X 表欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源示 x1 ，x2 ，x3 中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望E X 欢迎下载精品学习资源22. 【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础学问，考查运算求解才能.满分

28、10 分.欢迎下载精品学习资源（ 1）一次取 2 个球共有 C236 种可能情形， 2 个球颜色相同共有C2C2C210 种可能情形欢迎下载精品学习资源9取出的 2 个球颜色相同的概率105P3618432欢迎下载精品学习资源（ 2）X 的全部可能取值为 4 ，3，2 ，就欢迎下载精品学习资源P X4C4 144C9 126欢迎下载精品学习资源3131欢迎下载精品学习资源P X3C4 C53C9C3 C6 1363欢迎下载精品学习资源P X21P X3P X41114欢迎下载精品学习资源 X 的概率分布列为欢迎下载精品学习资源故 X 的数学期望XPE X 2112341113114631263

29、134120欢迎下载精品学习资源1463126923. 本小题满分 10 分欢迎下载精品学习资源已知函数f 0 xsin x x x0 ，设fn x 为fn 1 x的导数， nN 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1）求2 f122 f22的值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）证明：对任意的 nN ，等式nf n 1f n2 成立欢迎下载精品学习资源444223.【必做题】 此题主要考查简洁的复合函数的导数，考查探究才能及运用数学归纳法的推理论证才能.欢迎下载精品学习资源满分 10 分.欢迎下载精品学习资源(1) 解：由已知，得f1xf0 xsin xcos xsin

30、 x2,欢迎下载精品学习资源xxx欢迎下载精品学习资源于是 fxf xcos xsin xsin x2cos x2sin x ,欢迎下载精品学习资源21xx2xx2x3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 f1 242 , f222163 ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故 2 f12f2 1.22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(2) 证明：由已知，得xf0 xsin x, 等式两边分别对 x 求导，得f 0 xxf0 xcosx ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即 f0 xxf1 xcos xsin x2 ，类似可得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资

31、源2 f1 xxf2 xsin xsin x ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3 f xxf xcosxsin x3 ，欢迎下载精品学习资源232欢迎下载精品学习资源*4 f 3 xxf4 xsin xsin x2 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源下面用数学归纳法证明等式nf n 1 xxfnxsin xn 对全部的 n 2N 都成立 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(i) 当 n=1 时，由上可知等式成立 .(ii) 假设当 n=k 时等式成立 , 即 kfk 1 xxfkxsin xk . 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 kfk 1 xxfk

32、xkf k 1 xf k xxfk x k1 f k xf k 1 x,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源sin xkcos xk xksin xk1，欢迎下载精品学习资源2222欢迎下载精品学习资源所以 k1 fxf xsin xk1 .欢迎下载精品学习资源kk 12*所以当 n=k +1 时,等式也成立 .欢迎下载精品学习资源综合 i,ii 可知等式nf n 1xxfnxsin xn 对全部的 n 2N 都成立 .欢迎下载精品学习资源n令 x，可得 nf n 1 f n sin nN * .欢迎下载精品学习资源444442欢迎下载精品学习资源2*所以 nf n 1 f n nN .欢迎下载精品学习资源4442欢迎下载