2022年天津市高考数学试卷.docx

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1、精品学习资源2021 年天津市高考数学试卷理科一、挑选题共 8 小题，每题 5 分1. 5 分i 是虚数单位，复数=A1i B 1+iC+i D+i2. 5 分设变量 x，y 满意约束条件，就目标函数 z=x+2y 的最小值为A2B3C4D53. 5 分阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为A15B105 C245 D9454. 5 分函数 fx=logx2 4的单调递增区间为A0，+ B， 0 C2，+ D， 25. 5 分已知双曲线=1a0，b0的一条渐近线平行于直线l： y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，就双曲线的方程为欢迎下载精品学习资源A=1 B=1C=1D=

2、16. 5 分如图， ABC是圆的内接三角形， BAC的平分线交圆于点 D，交BC于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出以下四 个结论：BD平分 CBF；FB2=FD.FA；AE.CE=BE.D；EAF.BD=AB.BF全部正确结论的序号是ABC D7. 5 分设 a，bR，就“ab”是“a| a| b| b| ”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件8. 5 分已知菱形 ABCD的边长为 2，BAD=120，点 E、F 分别在边 BC、DC上，= ，= ，假设.=1， .= ，就 +=ABCD欢迎下载精品学习资源二、填空题共

3、 6 小题，每题 5 分，共 30 分9. 5 分某高校为明白在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟采纳分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5： 6，就应从一年级本科生中抽取名同学10. 5 分一个几何体的三视图如下图 单位：m ，就该几何体的体积为m 311. 5 分设 an 是首项为 a1，公差为 1 的等差数列， Sn 为其前 n 项和，假设S1， S2，S4 成等比数列，就 a1 的值为12. 5 分在 ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 bc=a，2

4、sinB=3sinC，就 cosA的值为13. 5 分在以 O 为极点的极坐标系中，圆 =4sin 和直线 sin 相=a交于 A 、 B 两点，假设 AOB是等边三角形，就 a 的值为14. 5 分已知函数 fx=| x2+3x| ， xR，假设方程 fx a| x1| =0 恰有4 个互异的实数根，就实数 a 的取值范畴为欢迎下载精品学习资源三、解答题共 6 小题，共 80 分15. 13 分已知函数 fx=cosx.sinx+cos2x+，xR求 fx的最小正周期；求 fx在闭区间 ， 上的最大值和最小值欢迎下载精品学习资源16. 13 分某高校理想者协会有 6 名男同学， 4 名女同学

5、，在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到期望学校进行支教活动每位同学被选到的可能性相同 求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数， 求随机变量 X 的分布列和数学期望欢迎下载精品学习资源17. 13 分如图，在四棱锥 PABCD中， PA底面 ABCD，ADAB， ABDC，AD=DC=AP=，2 AB=1，点 E 为棱 PC的中点证明： BEDC；求直线 BE与平面 PBD所成角的正弦值；假设 F 为棱 PC上一点，满意 BF AC，求

6、二面角 FAB P 的余弦值欢迎下载精品学习资源18. 13 分设椭圆+=1a b0的左、右焦点分别为 F1、F2，右顶点为 A，上顶点为 B，已知 | AB| =| F1F2| 求椭圆的离心率；设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点 F1，经过原点 O 的直线 l 与该圆相切，求直线 l 的斜率欢迎下载精品学习资源19. 14 分已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合 M= 0，1，2， q1 ，集合 A= x| x=x1+x2q+xnqn 1， xiM，i=1，2，n 当 q=2，n=3 时，用列举法表示集合 A；设 s，t A，s=a1+a2q+an

7、qn 1，t=b1+b2q+bnqn1，其中 ai，biM，i=1， 2，n证明：假设 anbn，就 s t欢迎下载精品学习资源20. 14 分设 fx=xaexaR，x R，已知函数 y=fx有两个零点x1， x2，且 x1 x2求 a 的取值范畴；证明：随着 a 的减小而增大；证明 x1+x2 随着 a 的减小而增大欢迎下载精品学习资源2021 年天津市高考数学试卷理科参考答案与试题解析一、挑选题共 8 小题，每题 5 分1. 5 分2021.天津i 是虚数单位，复数=A1i B 1+iC+i D+i【分析】 将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数34i，即求出值【解答】 解：复数=，

8、应选 A2. 5 分2021.天津设变量 x，y 满意约束条件，就目标函数 z=x+2y的最小值为A2B3C4D5【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的学问，通过平移即可求z的最大值【解答】 解：作出不等式对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y=，平移直线 y=，由图象可知当直线 y=经过点 B1，1时，直线y=的截距最小，此时 z 最小此时 z 的最小值为 z=1+21=3，应选： B欢迎下载精品学习资源3. 5 分2021.天津阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为A15B105 C245 D945【分析】 算法的功能是求 S=1 3 5 2i+1的值，依据条件确

9、定跳出循环的 i 值，运算输出 S的值【解答】 解：由程序框图知：算法的功能是求S=1352i+1的值，跳出循环的 i 值为 4，输出 S=1 3 5 7=105应选： B4. 5 分2021.天津函数 fx=logx2 4的单调递增区间为欢迎下载精品学习资源A0，+ B， 0 C2，+ D， 2【分析】令 t=x2 40，求得函数 fx的定义域为， 22，+， 且函数 fx=gt=logt依据复合函数的单调性，此题即求函数t 在，22，+ 上的减区间 再利用二次函数的性质可得， 函数 t 在， 2 2，+ 上的减区间【解答】 解：令 t=x240，可得 x2，或 x 2， 故函数 fx的定义

10、域为， 2 2，+，当 x， 2时， t 随 x 的增大而减小， y=logt 随 t 的减小而增大，所以 y=logx2 4随 x 的增大而增大，即 fx在， 2上单调递增应选： D5. 5 分2021.天津已知双曲线=1a 0， b 0的一条渐近线平行于直线 l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，就双曲线的方程为 A=1 B=1C=1D=1【分析】 先求出焦点坐标，利用双曲线=1a0，b0的一条渐近线平行于直线 l： y=2x+10，可得 =2，结合 c2=a2+b2，求出 a，b，即可求出双曲线的方程【解答】 解：双曲线的一个焦点在直线 l 上，令 y=0，可得 x= 5，

11、即焦点坐标为 5，0， c=5，双曲线=1a0，b0的一条渐近线平行于直线 l：y=2x+10，欢迎下载精品学习资源 =2， c2=a2+b2， a2=5，b2=20，双曲线的方程为=1 应选： A6. 5 分2021.天津如图， ABC是圆的内接三角形， BAC的平分线交圆于点 D，交 BC于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下， 给出以下四个结论：BD平分 CBF；FB2=FD.FA；AE.CE=BE.D；EAF.BD=AB.BF全部正确结论的序号是ABC D【分析】此题利用角与弧的关系， 得到角相等， 再利用角相等推导出三角形相像， 得到边成比例，即可选出

12、此题的选项【解答】 解：圆周角 DBC对应劣弧 CD，圆周角 DAC对应劣弧 CD， DBC=DAC弦切角 FBD对应劣弧 BD，圆周角 BAD对应劣弧 BD， FBD=BAF欢迎下载精品学习资源AD 是BAC的平分线， BAF=DAC DBC=FBD即 BD平分 CBF即结论正确 又由 FBD=FAB， BFD=AFB，得 FBD FAB 由，FB2=FD.FA即结论成立由，得 AF.BD=AB.BF 即结论成立正确结论有 故答案为 D7. 5 分2021.天津设 a，bR，就“ab”是“a| a| b| b| ”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】依

13、据不等式的性质， 结合充分条件和必要条件的定义进行判定即可得到结论【解答】 解：假设 ab， a b 0，不等式 a| a| b| b| 等价为 a.a b.b，此时成立 0 ab，不等式 a| a| b| b| 等价为 a.a b.b，即 a2b2，此时成立 a 0b，不等式 a| a| b| b| 等价为 a.a b.b，即 a2 b2，此时成立，即充分性成立假设 a| a| b| b| ，当 a0，b0 时， a| a| b| b| 去掉肯定值得，aba+b 0，由于 a+b 0，所以 ab0，即 ab当 a0，b0 时， a b当 a0，b0 时， a| a| b| b| 去掉肯定值得

14、，aba+b 0，由于 a+b 0，所以 ab0，即 ab即必要性成立， 综上“ab”是“|aa| b| b| ”的充要条件，应选： C8. 5 分2021.天津已知菱形 ABCD的边长为 2， BAD=120，点 E、F 分别欢迎下载精品学习资源在边 BC、DC上， = ， = ，假设.=1， .= ，就 +=ABCD【分析】利用两个向量的加减法的法就， 以及其几何意义， 两个向量的数量积的定义由.=1，求得 4+42 =3；再由.=，求得 +=结合求得 +的值【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 得 假 设.= + . +=+=22cos120 + .+ . =2+4+4+22cos12

15、0 =4+4 22=1， 4+42 =3.=.=1 .1=1 .1=11 22cos120 =1+ 2= ，即 += 由求得 +=，故答案为： 二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分9. 5 分2021.天津某高校为明白在校本科生对参与某项社会实践活动的意 向，拟采纳分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比欢迎下载精品学习资源为 4：5：5：6，就应从一年级本科生中抽取60名同学【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求【解答】 解：依据分层抽样的定

16、义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名同学数为300 =60， 故答案为： 6010. 5 分2021.天津一个几何体的三视图如下图单位：m，就该几何体的体积为m3【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体， 判定圆柱与圆锥的高及底面半径， 代入圆锥与圆柱的体积公式运算【解答】 解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为 4，底面直径为 2，圆锥的高为 2，底面直径为 4，几何体的体积 V=12 4+22 2=4+= 故答案为：11. 5 分2021.天津设 an 是首项为 a1，公差为 1 的等差数列， Sn 为其前欢迎下载精品学习资源n 项和，假设 S

17、1， S2，S4 成等比数列，就 a1 的值为 【分析】 由条件求得， Sn=，再依据 S1，S2， S4 成等比数列，可得=S1.S4，由此求得 a1 的值【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 得 ， an=a1+ n 1 1 =a1+1 n ，Sn=，再依据假设 S1，S2，S4 成等比数列，可得=S1.S4，即=a1.4a1 6，解得 a1=， 故答案为：12. 5 分2021.天津在 ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知 bc=a，2sinB=3sinC，就 cosA的值为【 分析 】 由 条 件利 用 正 弦定 理 求 得 a=2c， b=， 再由 余弦 定理

18、 求得cosA=的值【解答】 解：在 ABC中， b c=a ， 2sinB=3sinC， 2b=3c ，由可得 a=2c，b=再由余弦定理可得 cosA=， 故答案为：13. 5 分2021.天津在以 O 为极点的极坐标系中， 圆 =4sin 和直线 sin =a欢迎下载精品学习资源相交于 A、B 两点，假设 AOB是等边三角形，就 a 的值为3【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B 的坐标的值，代入 x2+y22=4，可得 a 的值【解答】 解：直线 sin =即a y=a，a0，曲线 =4sin，即 2=4sin，即 x2+y22=4，表示以 C0，2为圆心，以 2 为半径的圆，

19、AOB是等边三角形， Ba，a，代入 x2+y22=4，可得a2+a22=4， a 0， a=3 故答案为： 314. 5 分2021.天津已知函数 fx=| x2+3x| ，x R，假设方程 fxa| x 1| =0 恰有 4 个互异的实数根， 就实数 a 的取值范畴为 0，19，+ 【分析】 由 y=fx a| x 1| =0 得 fx=a| x 1| ，作出函数 y=fx， y=a| x 1| 的图象利用数形结合即可得到结论【解答】 解：由 y=fx a| x1| =0 得 fx=a| x1| ， 作出函数 y=fx，y=gx=a| x1| 的图象，当 a0，两个函数的图象不行能有 4

20、个交点，不满意条件， 就 a0，此时 gx=a| x1| =，当 3x 0 时， fx=x23x， gx= ax1， 当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时 x2 3x= ax 1， 即 x2+3ax+a=0，欢迎下载精品学习资源就由 =3a2 4a=0，即 a210a+9=0，解得 a=1 或 a=9，当 a=9 时， gx= 9x1，g0=9，此时不成立，此时 a=1， 要使两个函数有四个零点，就此时0a1，假设 a1，此时 gx=ax 1与 fx，有两个交点， 此时只需要当 x1 时， fx=gx有两个不同的零点即可， 即 x2+3x=ax1，整理得 x2+3ax+a=0，就由 =3a2

21、 4a0，即 a210a+90，解得 a1舍去或 a9，综上 a 的取值范畴是 0，1 9，+，方法 2：由 fx a| x1| =0 得 fx=a| x1| ， 假设 x=1，就 4=0 不成立，故 x1，就方程等价为 a=| =| x1+5| ， 设 gx=x1+5，当 x 1 时，g x=x 1+5，当且仅当 x 1=，即 x=3 时取等号，当 x1 时， gx=x 1+5=54=1，当且仅当x 1=，即 x=1 时取等号， 就| gx| 的图象如图：假设方程 fx a| x1| =0 恰有 4 个互异的实数根， 就满意 a 9 或 0a1，欢迎下载精品学习资源故答案为：0，19，+三、

22、解答题共 6 小题，共 80 分15. 13 分2021.天津已知函数 fx=cosx.sinx+cos2x+，x R求 fx的最小正周期；欢迎下载精品学习资源当=时，即= 1 时，函数fx取到最小值是：，当=时，即=时， fx取到最大值是：，求 fx在闭区间 ， 上的最大值和最小值【分析】 依据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；由 化简的函数解析式和条件中x 的范畴，求出的范畴，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值【解答】 解：由题意得， fx=cosx.sinxcosx=所以， fx的最小正周期=由 得 fx=，

23、由 x ， 得， 2x ， ，就， ，所以，所求的最大值为，最小值为16. 13 分2021.天津某高校理想者协会有 6 名男同学， 4 名女同学，在这10 名同学中， 3 名同学来自数学学院， 其余 7 名同学来自物理、 化学等其他互不相同的七个学院，现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到期望学校进行支教活动每位同学被选到的可能性相同 求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数， 求随机变量 X 的分布列和数学期望【分析】 利用排列组合求出全部基本大事个数及选出的3 名同学是来自互欢迎下载精品学习资源不相同学院的基本大事个数，代入古典概型

24、概率公式求出值；随机变量 X 的全部可能值为 0，1，2，3，k=0，1，2，3列出随机变量 X 的分布列求出期望值【解答】 解：设 “选出的 3 名同学是来自互不相同学院 ”为大事 A， 就，所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为解：随机变量 X 的全部可能值为 0，1，2，3，k=0，1，2，3所以随机变量 X 的分布列是X0123P随机变量 X 的数学期望17. 13 分2021.天津如图，在四棱锥 PABCD中， PA底面 ABCD，AD欢迎下载精品学习资源AB，ABDC， AD=DC=AP=，2证明： BEDC；AB=1，点 E为棱 PC的中点欢迎下载精品学习资源求直线 B

25、E与平面 PBD所成角的正弦值；假设 F 为棱 PC上一点，满意 BF AC，求二面角 FAB P 的余弦值【分析】I以 A 为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，依据.=0，可得 BEDC；欢迎下载精品学习资源II求出平面 PBD的一个法向量， 代入向量夹角公式， 可得直线 BE与平面 PBD所成角的正弦值；依据 BF AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面 ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角FABP 的余弦值【解答】 证明：I PA底面 ABCD，ADAB，以 A 为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，AD=DC=AP=，2 AB=1，点 E

26、 为棱 PC的中点 B1， 0， 0，C2，2，0，D0，2，0，P0，0，2，E1，1，1=0，1，1，=2，0，0.=0，BEDC；= 1，2，0，=1，0， 2， 设平面 PBD的法向量 =x，y，z，由，得，令 y=1，就 =2，1，1，就直线 BE与平面 PBD所成角 满意：sin =，故直线 BE与平面 PBD所成角的正弦值为=1，2，0，= 2， 2， 2，=2， 2， 0，欢迎下载精品学习资源由 F 点在棱 PC上，设= = 2， 2， 201，故=+=12，22，20 1，由 BF AC，得.=212+222=0，解得 =，即= ， ，设平面 FBA的法向量为=a，b，c，

27、由，得令 c=1，就 =0， 3，1，取平面 ABP的法向量 =0，1，0， 就二面角 F AB P 的平面角 满意：cos=， 故二面角 F AB P 的余弦值为：18. 13 分2021.天津设椭圆+=1ab0的左、右焦点分别为 F1、F2，右顶点为 A，上顶点为 B，已知| AB| =| F1F2| 求椭圆的离心率；设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点 F1，经过原点 O 的直线 l 与该圆相切，求直线 l 的斜率【 分析 】 设 椭圆的 右焦 点为 F2 c， 0 ， 由| AB| =| F1F2| 可得，再利用 b2=a2c2， e=即可得出由 可得 b2=c

28、2可设椭圆方程为，设 Px0，y0，由 F1欢迎下载精品学习资源 c，0， B0，c，可得，利用圆的性质可得，于是=0，得到 x0+y0+c=0，由于点 P 在椭圆上，可得联立可得=0，解得 P设圆心为 Tx1 ，y1，利用中点坐标公式可得 T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r设直线 l 的方程为：y=kx利用直线与圆相切的性质即可得出【解答】 解：设椭圆的右焦点为 F2c，0，由| AB| =| F1F2| ，可得，化为 a2+b2=3c2 又 b2=a2c2， a2=2c2 e=由 可得 b2=c2因此椭圆方程为设 Px0，y0，由 F1 c，0，B0，c，可得=x0+c，y0，=c，c

29、，=cx0+c+cy0=0， x0+y0+c=0，点 P 在椭圆上，联立，化为=0， x00，代入 x0+y0+c=0，可得P设圆心为 Tx1，y1，就=，=欢迎下载精品学习资源T，圆的半径 r=设直线 l 的斜率为 k，就直线 l 的方程为： y=kx直线 l 与圆相切，整理得 k28k+1=0，解得直线 l 的斜率为19. 14 分2021.天津已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合 M= 0，1，2，q1 ，集合 A= x| x=x1+x2q+xnqn 1， xi M，i=1，2，n 当 q=2，n=3 时，用列举法表示集合 A；设 s，t A，s=a1+a2q+anqn

30、 1，t=b1+b2q+bnqn1，其中 ai，biM，i=1， 2，n证明：假设 anbn，就 s t【分析】 当 q=2， n=3 时， M= 0，1 ， A= x|， xiM，i=1，2，3 即可得到集合 A由于 ai，biM，i=1，2，nanbn，可得 an bn 1由题意可得 st=a1b1+a2 b2q+ 1+q+qn 2+qn1 ，再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】 解：当 q=2，n=3 时，M= 0， 1 ，A= x|，xiM， i=1， 2， 3 欢迎下载精品学习资源可得 A= 0，1，2，3，4，5，6，7 证明：由设 s，t A， s=a1+a2q+an

31、qn1，t=b1+b2q+bnqn 1，其中 ai，biM，i=1，2，nanbn，an bn 1可得 st=a1b1+a2 b2q+ 1+q+qn 2+qn1= 0 st 20. 14 分2021.天津设 fx=x aexa R，xR，已知函数 y=fx 有两个零点 x1， x2，且 x1 x2求 a 的取值范畴；证明：随着 a 的减小而增大；证明 x1+x2 随着 a 的减小而增大【分析】对 fx求导，争论 f x的正负以及对应 fx的单调性，得出函数 y=fx有两个零点的等价条件，从而求出a 的取值范畴；由 fx=0，得 a=，设 gx=，判定 gx的单调性即得证；由于 x1=a，x2=

32、a，就 x2x1=lnx2lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令 hx=，x1，+，得到 hx在 1，+上是增函数，故得到x1+x2 随着 t 的减小而增大再由 知， t 随着 a 的减小而增大，即得证【解答】 解： fx=xaex， f x=1 aex；下面分两种情形争论： a 0 时， f x 0 在 R上恒成立， fx在 R上是增函数，不合题意； a 0 时，由 f x=0，得 x=lna，当 x 变化时， f x、fx的变化情形如下表：欢迎下载精品学习资源x， lnalna lna， +f x+0fx递增极大值 lna1递减fx的单调增区间是， lna，减区间是 lna，+；

33、函数 y=fx有两个零点等价于如下条件同时成立：f lna 0；存在 s1， lna，满意 fs1 0；存在 s2 lna， +，满意 fs2 0；由 f lna 0，即 lna 1 0，解得 0 a e 1； 取 s1=0，满意 s1， lna，且 fs1=a0，取 s2=+ln，满意 s2 lna，+，且 fs2=+ln0；a 的取值范畴是 0， e 1证明：由 fx=xaex=0，得 a=，设 gx=，由 gx=，得 gx在， 1上单调递增，在 1，+上单调递减，并且当 x， 0时， gx 0，当 x0，+时， gx 0，x1、x2 满意 a=gx1，a=gx2，a0，e 1及 gx的单

34、调性，可得 x10， 1，x21， +；对于任意的 a1、a20，e1，设 a1a2，gX1=gX2=a1，其中 0 X11 X2；gY1=gY2=a2，其中 0 Y11Y2； gx在0，1上是增函数，由 a1 a2，得 gXi gYi ，可得 X1Y1； 类似可得 X2Y2；又由 X、Y0，得；随着 a 的减小而增大；欢迎下载精品学习资源证明： x1=a，x2=a， lnx1=lna+x1， lnx2=lna+x2； x2x1=lnx2 lnx1=ln，设=t，就 t 1，解得 x1=，x2=， x1+x2=；令 hx=，x1， +，就 hx=；令 ux= 2lnx+x，得 ux=，当 x1，+时， ux 0， ux在 1，+上是增函数，对任意的 x1，+，ux u1=0， hx 0，hx在 1，+上是增函数；由得 x1+x2 随着 t 的增大而增大 由知， t 随着 a 的减小而增大， x1+x2 随着 a 的减小而增大欢迎下载