2022年江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳.docx

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1、江苏省高考数学复习学问点按难度与题型归纳（数学应试笔记）第 I 卷160 分部分一、填空题答卷提示：重视填空题的解法与得分,尽可能削减失误,这是取得好成果的基石.A 、1 4 题, 基础送分题,做到不失一题！A1. 集合性质与运算1、性质：任何一个集合是它本身的子集,记为AA ；空集是任何集合的子集,记为A ；空集是任何非空集合的真子集；ACB假如 AB ,同时 BA ,那么 A = B 假如 A【留意】：B, BC,那么 AC U Z= 整数 （ ）Z = 全体整数 （ ）已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集,就集合A 也是有限集 （ ） 空集的补集是全集如集合 A=集合 B,就 CBA

2、=, CAB =CS（ CAB）=D（ 注 ：CAB =）2、如 =a , a , aa ,就的子集有 2n 个,真子集有 2n1 个,非空真子集有 2n2 个.123n3、 A（ BC） （ AB）（ AC） , A（ BC）（ AB）（ AC）；（ AB）CA （ BC） , （ AB）CA （ BC）4、 De Morgan 公式 : CU ABCU ACU B ； CU ABCU ACU B .【提示】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.在详细运算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情形,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题；A2. 命题的否定与否命题*1. 命题

3、pq 的否定与它的否命题的区分：命题 pq 的否定是 pq ,否命题是pq .命题 “p 或 q ”的否定是 “ p 且 q ”, “p 且 q ”的否定是 “ p 或 q ”.*2. 常考模式：全称命题 p：xM , p x ；全称命题 p 的否定p：xM ,p x .特称命题 p：A3. 复数运算xM ,p x ；特称命题 p 的否定p：xM ,p x .*1. 运算律：zmznzm n ； zm nzmn ； zz mz mzm m,nN .1212【提示】留意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范畴.*2. 模的性质：yyx3z1| z1 |nn | z1z2| | z1 | z2 |

4、 ； |z2；| z2 |zz .2yx11yx 2*3. 重要结论：yx12222 | z1z2 | z1z2 |2| z1 | z2 | ；O1x2 z1 z2z22z ； 1i2i ； 11ii , 1i1ii ；i i 性质： T=4 ； i 4n 1i, i 4 n 21, i 4 n 3i , i 4n1 .【拓展】：133211101 或i .22A4. 幂函数的的性质及图像变化规律：(1) 全部的幂函数在 0, 都有定义,并且图像都过点1,1 ；(2) a0 时,幂函数的图像通过原点,并且在区间0, 上是增函数特殊地,当a1 时,幂函数的图像下凸；当 0a1 时,幂函数的图像上

5、凸；(3) a0 时, 幂函数的图像在区间0, 上是减函数 在第一象限内, 当 x 从右边趋向原点时, 图像在 y轴右方无限地靠近y 轴正半轴,当x 趋于时,图像在 x 轴上方无限地靠近x 轴正半轴【说明】：对于幂函数我们只要求把握1 1 的这 5 类,它们的图像都经过一个定点0,0 和0,1,并a1,2,3,23且 x1 时图像都经过 1,1 ,把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.A5. 统计1. 抽样方法：(1) 简洁随机抽样 抽签法、随机样数表法常常用于总体个数较少时,它的主要特点是从总体中逐个抽取. 2分层抽样, 主要特点分层按比例抽样,主要使用于总体中有明显差异.共同点： 每个个

6、体被抽到的概率都相等（n ） .N2. 总体分布的估量就是用总体中样本的频率作为总体的概率.总体估量把握：一“表”频率分布表 ；两 “图”频率分布直方图和茎叶图.频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图；频率分布直方图就是 以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.频率 =频数.样本容量小长方形面积 =频率组距 =频率.组距全部小长方形面积的和=各组频率和 =1.【提示】：直方图的纵轴 小矩形的高 一般是频率除以组距的商而不是频率 ,横轴一般是数据的大小, 小矩形的面积表示频率.茎叶图当数据是两位有效数字时, 用中间的数字表示十位数, 即第一个有效数字,

7、 两边的数字表示个位数, 即其次个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边像植物茎上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图；3. 用样本的算术平均数作为对总体期望值的估量；11n样本平均数：x x1x2xn xinn i 14. 用样本方差的大小估量总体数据波动性的好差方差大波动差 .(1) 一组数据x1, x2 , x3 , xn样本方差212221 n21n2x 1nx 2nni 1ni 1ini 1iS x1x x2x xnx xix；212221 n xx xxxx =1n2nni1样本标准差S xx2i(2) 两组数据x1, x2 , x3 , xn 与y1,y2, y3 , yn

8、,其中yaxib , i1,2,3, n .就 yaxb ,它们的yx方差为 S 2a2S 2 ,标准差为| a |yx如 x , x , x 的平均数为 x ,方差为s2 ,就 axb, axb, axb 的平均数为 axb ,方差为 a2s2 .12n12n样本数据做如此变换：xaxb ,就 xaxb , S 2a 2 S2 .iiB、 5 9,中档题, 易丢分,防漏 /多解 B1. 线性规划1、二元一次不等式表示的平面区域：（ 1）当A0 时,如AxByC0 表示直线l的右边,如AxByC0 就表示直线l的左边 .（ 2）当B0 时,如AxByC0 表示直线l的上方,如AxByC0 就表

9、示直线l的下方 .2、设曲线C : A1xB1yC1 A2 xB2 yC2 0 （A1A2B1B20 ）,就 A1xB1 yC1 A2xB2 yC2 0 或0 所表示的平面区域：两直线A1xB1yC10 和A2xB2 yC20 所成的对顶角区域（上下或左右两部分）.3、点P0 x0, y0 与曲线f x, y 的位置关系：如曲线曲线外部；f x, y 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线|xa |yb |m等）,就f x0 , y0 0 ,称点在如 f x, y 为开放曲线（抛物线、双曲线等）,就f x0 , y0 0 ,称点亦在曲线 “外部 ”.4、已知直线l : AxByC0 ,目标函数 zAxBy

10、 .0 时,将直线l向上平移,就z 的值越来越大；直线l向下平移,就z 的值越来越小；0 时,将直线l向上平移,就z 的值越来越小；直线l向下平移,就z 的值越来越大；当 B当 B5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：（ 1） zaxby ,如 b z 越小 .ym0 ,直线在 y 轴上的截距越大, z 越大,如 b0 ,直线在 y 轴上的截距越大,y（ 2）表示过两点xnx, y , n, m 的直线的斜率,特殊表示过原点和xn, m 的直线的斜率 .2（ 3） txm2yn表示圆心固定,半径变化的动圆,也可以认为是二元方程的掩盖问题.（ 4）2yxm2yn表示x, y到点 0

11、,0 的距离 .（ 5） F cos,sin ；（ 6） dAx0By0C；A2B2（ 7） a 2abb 2 ；【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2+y 2=1 上的点定理进行转化达到解题目的；B 2. 三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换cos, sin 及余弦三角恒等变形是以同角三角公式,诱导公式,和、差、倍、半角公式,和差化积和积化和差公式,万能公式为基础三角代换是以三角函数的值域为依据,进行恰如其分的代换, 使代数式转化为三角式, 然后再使用上述诸公式进行恒等变形,使问题得以解决三角变换是指角 “配”与“凑”、函数名 切割化弦 、次

12、数 降与升 、系数 常值 “1”和 积的变换,其核心是“角的变换 ”.运算结构 和与角的变换主要有： 已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换 .变换化简技巧：角的拆变,公式变用,切割化弦,倍角降次,“1”的变幻,设元转化,引入辅角,平方消元等 .详细地：（ 1）角的 “配”与 “凑”：把握角的 “和”、“差”、“倍”和“半”公式后,仍应留意一些配凑变形技巧,如下： 2,22 ；22,222；2222222 ；2154530,75424, 2；4530 ；等.（ 2） “降幂 ”与“升幂 ”（次的变化）利用二倍角公式cos2cos2sin 22cos

13、 2112sin 2和二倍角公式的等价变形2sin1cos222, cos1sin 22,可以进行 “升”与“降”的变换,即 “二次 ”与“一次 ”的互化 .（ 3）切割化弦（名的变化）利用同角三角函数的基本关系,将不同名的三角函数化成同名的三角函数,以便于解题.常常用的手段是 “切化弦 ”和 “弦化切 ”.（4）常值变换常值 1 ,2 ,3 ,3 ,1,3 可作特殊角的三角函数值来代换.此外,对常值“1”可作如下代换：223222221sin xcos xsec xtan xtan xcot x2sin 30tan 4sin 2cos0等.（ 5）引入帮助角22ab一般的,a sinb co

14、sab sincossin,期中a 2b2abbcos,sin, tan.a 2b2a 2b 2a 2b2a特殊的, sin Acos A2 sinA ;4sin x3 sin x（ 6）特殊结构的构造3 cosx cosx2sin x 2sin x ,3 等.6构造对偶式,可以回避复杂三角代换,化繁为简.举例： Asin 2 20cos2 50sin 20 cos50, B1cos220sin 2 50cos 20 sin50可以通过 AB（7）整体代换2sin 70 , ABsin 702两式和,作进一步化简 .举例： sin xcosxm2sinxcos xm21sinm , sinn

15、,可求出 sincos,cossin整体值,作为代换之用 .B 3.三角形中的三角变换三角形中的三角变换,除了应用公式和变换方法外,仍要留意三角形自身的特点(1) 角的变换由于在ABC 中, ABC（三内角和定理） ,所以任意两角和： 与第三个角总互补, 任意两半角和 与第三个角的半角总互余.锐角三角形： 三内角都是锐角；三内角的余弦值为正值；任两角和都是钝角；任意两边的平方和大于第三边的平方.即, sin AsinBC ； cos AcosBC ； tan Atan BC ABCsincos22ABC； cossin22ABC； tancot.22(2) 三角形边、角关系定理及面积公式,正弦

16、定理,余弦定理面积公式： S1sha1absin Crpp pa pa pa .22其中 r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半 tan A tan Btan B tan Ctan Ctan A1(3) 对任意 ABC ,；在非直角ABC 中, tan A(4) 在ABC 中,熟记并会证明：tan BtanCtan Atan B tanC 222222*1.A,B,C 成等差数列的充分必要条件是B60 *2.ABC 是正三角形的充分必要条件是A,B,C 成等差数列且a, b,c, 成等比数列*3.三边a, b, c 成等差数列2bac2sin Asin Bsin CACtantan1 ； B

17、.*4. 三边a, b, c, 成等比数列b2acsin 2 Asin B sin C , B .22232233(5) 锐角 ABC 中, ABsin A2cosB,sin BcosC,sin Ccos A, abc ；sin Asin Bsin Ccos AcosBcosC .【摸索】：钝角ABC 中的类比结论(6) 两内角与其正弦值：在 ABC 中,abABsin Asin Bcos2Bcos2 A ,(7) 如 ABC,就 x 2y 2z 2 2 yzcosA2xzcosB2 xycosC .B 4. 三角恒等与不等式组一sin 33sin4sin 3,cos34cos 33cos22

18、22sinsinsinsincoscos33tantantan 3tantan tan13 tan233组二tan A sin Acos Atan B sin Bcos BtanC sin CcosCtan A tan B tan CABC4coscoscos222ABC1 4sinsinsin222222sinAsinBsinC2 2cosA cos B cosC 组三 常见三角不等式(1) 如 x0, ,就 sin xx2tan x ；(2) 如 x(3) | sin0, ,就 1sin x2x | cos x | 1 ；cos x 2 ；(4) 4f xsin x在 0,x 上是减函数；

19、B5.概率的运算公式：古典概型：P AA包含的基本领件的个数；基本领件的总数等可能大事的概率运算公式：p Am card A ；n card I 互斥大事的概率运算公式：PA+B PA+PB ；对立大事的概率运算公式是：P A =1 P A ；独立大事同时发生的概率运算公式是：PA.B PA.PB；独立大事重复试验的概率运算公式是：P k C k Pk 1P n k 是二项绽开式 1 P+Pn 的第 k+1项 .nn几何概型：如记大事A= 任取一个样本点,它落在区域g ,就 A 的概率定义为P Ag的测度构成大事 A的区域长度（面积或体积等）的测度试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）留

20、意： 探求一个大事发生的概率,常应用等价转化思想和分解分类或分步 转化思想处理：把所求的大事转化为等可能大事的概率常常采纳排列组合的学问；转化为如干个互斥大事中有一个发生的概率；利用对立大事的概率, 转化为相互独立大事同时发生的概率；看作某一大事在 n 次试验中恰有k 次发生的概率, 但要留意公式的使用条件. 大事互斥是大事独立的必要非充分条件,反之,大事对立是大事互斥的充分非必要条件.【说明】：条件概率 ：称PB| AP AB P A为在大事 A 发生的条件下,大事B 发生的概率；留意： 0B6. 排列、组合P B | A1； PB C|A=PB|A+PC|A；（ 1）解决有限制条件的 有序

21、排列,无序组合 问题方法是：位置分析法直接法：用加法原理（分类） 用乘法原理（分步）元素分析法插入法（不相邻问题） 捆绑法（相邻问题）间接法：即排除不符合要求的情形一般先从特殊元素和特殊位置入手.（ 2）解排列组合问题的方法有：特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置）；间接法（对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的全部情形去掉）；相邻问题捆绑法（把相邻的如干个特殊元素“捆绑 ”为一个大元素,然后再与其余“一般元素 ”全排列,最终再 “松绑 ”,将特殊元素在这些位置上全排列）；不相邻

22、相间 问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采纳插空法,即先支配好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）；多排问题单排法；多元问题分类法；有序问题组合法；选取问题先选后排法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采纳隔板法；. 涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.（ 3）分组问题：要留意区分是平均分组仍是非平均分组,平均分成n 组问题别忘除以B7.最值定理n . . x, y0,由xy 2xy ,如积xyP定值 ,就当 xy 时和 xy 有最小值 2p ； x, y0,由xy 2xy ,如和xyS定值 ,就当 xy 是积 xy有最大值1 s2.4

23、【推广】： 已知x, yR ,就有 xy 2 xy 22xy .（ 1）如积 xy 是定值,就当 | xy | 最大时, | xy |最大；当 | xy | 最小时, | xy | 最小 .（ 2）如和 | xy |是定值,就当 | xy |最大时,| xy |最小；当 | xy |最小时,| xy |最大 .已知a, x, b, yR ,如axby1,就有：1111 axby byaxab ab2ab2ab xyxyxyabaybx2 a, x, b, yR ,如1就有： xyxyxy xyab2abab B8.求函数值域的常用方法：配方法：转化为二次函数问题,利用二次函数的特点来求解；【点

24、拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间m, n上的最值；二是求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题；求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,留意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系 .逆求法：通过反解,用y 来表示 x ,再由 x 的取值范畴,通过解不等式,得出y 的取值范畴,型如axby, xcxdm, n 的函数值域；换元法： 化繁为间, 构造中间函数, 把一个较复杂的函数变为简洁易求值域的函数,其函数特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,通过代换构造简洁求值域的简洁函数,再求其值域；三角有界法： 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,如转化为只含正弦、

25、 余弦的函数,再运用其有界性来求值域；不等式法： 利用基本不等式 abk2ab a , bR 求函数的最值, 其题型特点解析式是和式时要求积为定值, 型如 y巧；xkx0) ,解析式是积时要求和为定值,不过有时必要用到拆项、添项和两边平方等技单调性法：依据函数的单调性求值域,常结合导数法综合求解；数形结合法： 函数解析式具有明显的某种几何意义,可依据函数的几何意义, 如斜率、 距离、肯定值等, 利用数与形相互协作的方法来求值域；分别常数法： 对于分子、 分母同次的分式形式的函数求值域问题,把函数分别成一个常数和一个分式和的形式,进而可利用函数单调性确定其值域a x2b xc判别式法：对于形如y

26、111 （ a1, a 不同时为 0 ）的函数常采纳此法2a x2b xc222【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利用均值不等式：1. yb型,可直接用不等式性质；2kx2. y3. ybxx2mxnx2m xn2型,先化简,再用均值不等式；型,通常用判别式法；xmxn4. yx2m xnmxn型,可用判别式法或均值不等式法；. 导数法：一般适用于高次多项式函数求值域. B9. 函数值域的题型一 常规函数求值域：画图像,定区间,截段.常规函数有：一次函数,二次函数,反比例函数,指数对数

27、函数,三角函数,对号函数. 二 特别规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.解题步骤： 1换元变形；2求变形完的常规函数的自变量取值范畴； 3画图像,定区间,截段；三 分式函数求值域：四种题型(1) ycxdaaxb0 ：就 yca 且 yR .(2) ycxd xaxb2 ：利用反表示法求值域；先反表示,再利用x 的范畴解不等式求y 的范畴 .(3) y2 x23x22：6 xx1y 2x1 x2 x21y1 且y1 且 yR.2 x13x13 x x,就123(4) 求 y2x1x2x的值域,当 xR时,用判别式法求值域；1y2x1x2x1yx2 y2 xy10 , y2 24 y y

28、10值域.四 不行变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像,定区间,截段.判定单调性的方法：挑选填空题首选复合函数法,其次求导数；大题首选求导数,其次用定义；详情见单调性部分学问讲解.五 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域,原函数值域等于反函数定义域.六 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程,将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对比求字母取值或范畴.B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧 ”：凑系数（乘、除变量系数）.例 1.当 0x4 时,求函的数yx82x 最大值 .凑项（加、减常数项） ：例 2.已知 x5,求函数4f x4x214x

29、5的最大值 .x27 x10调整分子：例 3.求函数f x x1 的值域；x 变 用 公 式 ： 基 本 不 等 式 ab21ab 有 几 个 常 用 变 形 ：a2b2 2ab ,ab22ab ,a2b2aba 2b 2, ab 2 .前两个变形很直接,后两个变形就不易想到,应重视；例4.求函数2222y2x152x 1x5 的最大值；22连用公式：例 5.已知 ab0 ,求ya 216b ab的最小值；对数变换：例 6.已知 x1 , y21 ,且 xye ,求 t2 xln y 的最大值；三角变换：例 7.已知0y x,且 tan x23tany ,求 txy 的最大值；常数代换（逆用条

30、件） ：例 8.已知 aB11. “单调性 ”补了 “基本不等式 ”的漏洞：平方和为定值0, b0 ,且 a2b1 ,求 t11的最小值 .ab如 x2y2a （ a 为定值, a0 ）,可设xa cos, ya sin, ,其中 0 2. f x, yxya sina cos2a sin在 0, 1, 5, 2 上 是 增 函 数 , 在 1, 5 上是减函数；44444113571357 g x, yxyasin 2在 0,2 上是增函数, 在, 上是减函数；244444444m x, y11xysincos.令 tsincos2a sin, 其 中xyxya sincos4t2,11,.

31、 1 由t 21,2sin2cos,得2sintc2os, 从而 1mx, y2tat 212at1 在2,11,11,2 上是减函数 .t和为定值如 xyb （ b 为定值, b0 ）,就ybx. g x, yxyx2bx 在 bb, 上是增函数,在, 22 上是减函数； m x, y11xyb2.当 b0 时,在 b,0,0, 上是减函数, 在b,b, b, 上是xyxyxbx22bb增函数；当 b0 时,在 , b, b, 上是减函数,在 ,0,0, 上是增函数 .22 n x, yx2积为定值y22 x22bxb 2 在 bb, 上是减函数,在 , 22 上是增函数；如 xyc （ c

32、 为定值, c0 ）,就 yc.x f x, yxyxc .当 c x0 时,在 c ,0,0,c 上是减函数,在 ,c ,c, 上是增函数；当 c0 时,在 ,0,0, 上是增函数； m x, y11xy1 xc. 当 c0 时 , 在 c ,0,0,c 上 是 减 函 数 , 在xyxycx,c ,c , 上是增函数；当 c2c2c0 时,在 ,0,0, 上是减函数； nx, y增函数 .x2y 2xx2 x 2x2c 在 ,c ,0,c 上是减函数,在 c , 0,c , 上是倒数和为定值如112（ dxyd为定值,1 , 1 , 1xdy）,就 yc. 成等差数列且均不为零, 可设公差

33、为xz ,其中 z1 ,d1111就z,z, 得 xd, yd.xdyd1dz1dz f xxy2d.当 d0 时,在 ,1 ,111,0 上是减函数,在 0,上是增函221d zdddd数；当 d0 时,在11,0 上是增函数,在0,1 ,1 , 上减函数； g x, yddd 2xy22 . .当 d1d z0 时,在dd,1 ,1 ,0 上是减函数,在dd110, 上是增函dd数；当 d0 时,在11,0 上是减函数,在0,1 ,1 , 上是增函数；nx, ydd222x2y22 d d z1 .令ddtd 2 z21, 其 中t 1且 t2,从 而2 d 2t2d 2d 2 z212n

34、x, yt2 2t44 t在1,2 上是增函数,在2, 上是减函数 .B12.懂得几组概念*1.广义判别式设 f x是关于实数 x 的一个解析式,a, b, c 都是与 x 有关或无关的实数且a0 ,就b 24ac 0 是2方程 af xbf xc0 有实根的 必要条件 ,称“ ”为广义判别式 .*2.解决数学问题的两类方法：一是从详细条件入手 ,运用有关性质 ,数据,进行运算推导 ,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构 ,找出某些本质属性 ,进行恰当的核算 ,从而使问题简洁解决 ,这一方法称为定性核算法.*3.二元函数设有两个独立的变量x 与 y 在其给定的变域中D 中,任取一组数值时, 第三个变量 Z 就以某一确定的法就有唯独确定的值与其对应,那末变量Z 称为变量 x 与 y 的二元函数 .记作： 为自变量,函数 Z 也叫做因变量,自变量x 与 y 的变域 D 称为函数的定义域 .把自变量 x 、y 及因变量 Z 当作空间点的