利用导数求曲线的切线和公切线.doc

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1、. .利用导数求曲线的切线和公切线一.求切线方程【例1】.曲线f(x)=x3-2x2+1.(1)求在点P1,0处的切线l1的方程；(2)求过点Q2,1与曲线f(x)相切的直线l2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【例2】2021函数fx=2x33x求fx在区间2，1上的最大值；假设过点P1，t存在3条直线与曲线y=fx相切，求t的取值X围；问过点A1，2，B2，10，C0，2分别存在几条直线与曲线y=fx相切？只需写出结论【解答】解：由fx=2x33x得fx=6x23，令fx=0得，x=或x=，f2=10，f=，f=，f1=1，fx在区间2，1上的最大值为设过点P

2、1，t的直线与曲线y=fx相切于点x0，y0，那么y0=23x0，且切线斜率为k=63，切线方程为yy0=63xx0，ty0=631x0，即46+t+3=0，设gx=4x36x2+t+3，那么“过点P1，t存在3条直线与曲线y=fx相切，等价于“gx有3个不同的零点gx=12x212x=12xx1，g0=t+3是gx的极大值，g1=t+1是gx的极小值g00且g10，即3t1，当过点过点P1，t存在3条直线与曲线y=fx相切时，t的取值X围是3，1过点A1，2存在3条直线与曲线y=fx相切；过点B2，10存在2条直线与曲线y=fx相切；过点C0，2存在1条直线与曲线y=fx相切【例3】函数fx

3、=lnaxa0，aR，当a=3时，解关于x的不等式：1+efx+gx0；假设fxgxx1恒成立，XX数a的取值X围；当a=1时，记hx=fxgx，过点1，1是否存在函数y=hx图象的切线？假设存在，有多少条？假设不存在，说明理由【解答】解：I当a=3时，原不等式可化为：1+eln3x+0；等价于，解得x，故解集为对x1恒成立，所以，令，可得hx在区间1，+上单调递减，故hx在x=1处取到最大值，故lnah1=0，可得a=1，故a的取值X围为：1，+假设存在这样的切线，设切点Tx0，切线方程：y+1=，将点T坐标代入得：即，设gx=，那么x0，gx在区间0，1，2，+上是增函数，在区间1，2上是

4、减函数，故gx极大=g1=10，故gx极，小=g2=ln2+0，又g=+1261=ln430，由gx在其定义域上的单调性知：gx=0仅在，1内有且仅有一根，方程有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条【作业1】2021XX一模函数fx=2x33x+1，gx=kx+1lnx1设函数，当k0时，讨论hx零点的个数；2假设过点Pa，4恰有三条直线与曲线y=fx相切，求a的取值X围三. 切线与切线之间的关系【例4】2021XX模拟a，b，cR，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数fx=ax+bcosx+csinx的图象都相切，那么a+c的取值X围是.，b2+c2=1，故a+c，【例

5、5】.函数fx=lnxax1，gx=ex，其中e为自然对数的底数设，求函数tx在m，m+1m0上的最小值；过原点分别作曲线y=fx与y=gx的切线l1，l2，两切线的斜率互为倒数，求证：a=0或【解答】解：，令tx0得x1，令tx0得x1，所以，函数tx在0，1上是减函数，在1，+上是增函数，当m1时，tx在m，m+1m0上是增函数，当0m1时，函数tx在m，1上是减函数，在1，m+1上是增函数，txmin=t1=e设l2的方程为y=k2x，切点为x2，y2，那么，x2=1，y2=ek2=e由题意知，切线l1的斜率，切线l1的方程为，设l1与曲线y=fx的切点为x1，y1，又y1=lnx1ax

6、11，消去y1，a后整理得，令，那么，mx在0，1上单调递减，在1，+上单调递增，假设x10，1，而，在单调递减，假设x11，+，mx在1，+上单调递增，且me=0，x1=e，综上，a=0或【作业2】2021XX二模函数fx=ax2+x1ex+f01讨论函数fx的单调性；2假设gx=exfx+lnx，hx=ex，过O0，0分别作曲线y=gx与y=hx的切线l1，l2，且l1与l2关于x轴对称，求证：a四求公切线的方程【例6】2021XX一模函数，gx=3elnx，其中e为自然对数的底数讨论函数fx的单调性试判断曲线y=fx与y=gx是否存在公共点并且在公共点处有公切线假设存在，求出公切线l的方

7、程；假设不存在，请说明理由【解答】解：由，得，令fx=0，得当且x0时，fx0；当时，fx0fx在，0上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；假设曲线y=fx与y=gx存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x00，那么，即，其中2式即记hx=4x33e2xe3，x0，+，那么hx=32x+e2xe，得hx在上单调递减，在上单调递增，又h0=e3，he=0，故方程hx0=0在0，+上有唯一实数根x0=e，经历证也满足1式于是，fx0=gx0=3e，fx0=gx0=3，曲线y=gx与y=gx的公切线l的方程为y3e=3xe，即y=3x【作业3】函数f x=lnx，gx=2x01试判断当fx

8、与gx的大小关系；2试判断曲线 y=fx和 y=gx是否存在公切线，假设存在，求出公切线方程，假设不存在，说明理由；3试比拟 1+121+231+20212021与 e4021的大小，并写出判断过程五.与公切线有关的参数取值X围问题【例7】函数fx=blnx，gx=ax2xaR假设曲线fx与gx在公共点A1，0处有一样的切线，XX数a、b的值；当b=1时，假设曲线fx与gx在公共点P处有一样的切线，求证：点P唯一；假设a0，b=1，且曲线fx与gx总存在公切线，求正实数a的最小值【解答】解：fx=，gx=2ax1曲线fx与gx在公共点A1，0处有一样的切线，解得a=b=1 设Px0，y0，那么

9、由题设有lnx0=ax02x0，又在点P有共同的切线，fx0=gx0，a=，代入得lnx0=x0，设hx=lnx+x，那么hx=+x0，那么hx0，hx在0，+上单调递增，所以 hx=0最多只有1个实根，从而，结合1可知，满足题设的点P只能是P1，0当a0，b=1时，fx=lnx，fx=，fx在点t，lnt处的切线方程为ylnt=xt，即y=x+lnx1与y=ax2x，联立得ax21+xlnt+1=0曲线fx与gx总存在公切线，关于tt0的方程=+4alnt1=0，即=4a1lnt*总有解 假设te，那么1lnt0，而0，显然*不成立，所以 0te，从而，方程*可化为4a=令Ht=0te，那么

10、Ht=当0t1时，ht0；当1te时，ht0，即 ht在0，1上单调递减，在1，e上单调递增ht在0，e上的最小值为h1=4，要使方程*有解，只须4a4，即a1 正实数a的最小值为1【例8】2021XX模拟.函数fx=aexa0，gx=x2假设曲线c1：y=fx与曲线c2：y=gx存在公切线，求a最大值当a=1时，Fx=fxbgxcx1，且F2=0，假设Fx在0，2内有零点，XX数b的取值X围【解答】解：设公切线l与c1切于点x1，a与c2切于点x2，fx=aex，gx=2x，由知x20，代入：=2x2，即x2=2x12，由知a=，设gx=，gx=，令gx=0，得x=2；当x2时gx0，gx递

11、增当x2时，gx0，gx递减x=2时，gxmax=g2=，amax=Fx=fxbgxcx1=exbx2cx1，F2=0=F0，又Fx在0，2内有零点，Fx在0，2至少有两个极值点，即Fx=ex2bxc在0，2内至少有两个零点Fx=ex2b，F2=e24b2c1=0，c=，当b时，在0，2上，exe0=12b，Fx0，Fx在0，2上单调增，Fx没有两个零点当b时，在0，2上，exe22b，Fx0，Fx在0，2上单调减，Fx没有两个零点；当b时，令Fx=0，得x=ln2b，因当xln2b时，Fx0，xln2b时，Fx0，Fx在0，ln2b递减，ln2b，2递增，所以x=ln2b时，Fx最小=Fln

12、2b=4b2bln2b+，设Gb=Fln2b=4b2bln2b+，令Gb=22ln2b=0，得2b=e，即b=，当b时Gb0；当b时，Gb0，当b=时，Gb最大=G=e+0，Gb=fln2b0恒成立，因Fx=ex2bxc在0，2内有两个零点，解得：b，综上所述，b的取值X围，【作业4】函数fx=axblnxa，bR，gx=x21假设a=1，曲线y=fx在点1，f1处的切线与y轴垂直，求b的值；2假设b=2，试探究函数fx与gx在其公共点处是否有公切线，假设存在，研究a的个数；假设不存在，请说明理由六公切线的条数问题【例9】函数fx=lnx，gx=ex1确定方程fx=实数根的个数；2我们把与两条

13、曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线，试确定曲线y=fx，y=gx公切线的条数，并证明你的结论【解答】解：1由题意得lnx=1+，即lnx1=分别作出y=lnx1和y=的函数图象，由图象可知：y=lnx1和y=的函数图象有两个交点，方程fx=有两个实根；2解：曲线y=fx，y=gx公切线的条数是2，证明如下：设公切线与fx=lnx，gx=ex的切点分别为m，lnm，n，en，mn，fx=，gx=ex，化简得m1lnm=m+1，当m=1时，m1lnm=m+1不成立；当m1时，m1lnm=m+1化为lnm=，由1可知，方程lnm=有两个实根，曲线y=fx，y=gx公切线的条数是2条【作业5】函数

14、fx=x2+21ax4a，gx=a+12，那么fx和gx图象的公切线条数的可能值是【作业1解答】解：1fx=2x+1x12=0，x=或1，x=是hx的零点；gx=k，k0，gx0，gx在1，+上单调递减，gx的最大值为g1=k+1k1，g10，gx在1，+上无零点；k=1，g1=0，gx在1，+上有1个零点；1k0，g10，ge1k=ke1k+k0，gx在1，+上有1个零点；综上所述，k1时，hx有1个零点；1k0时，hx有两个零点；2设切点t，ft，fx=6x26x，切线斜率ft=6t26t，切线方程为yft=6t26txt，切线过Pa，4，4ft=6t26tat，4t33t26t2a+6t

15、a5=0由题意，方程有3个不同的解令Ht=4t33t26t2a+6ta5，那么Ht=12t26t12at+6a=0t=或aa=时，Ht0，Ht在定义域内单调递增，Ht不可能有两个零点，方程不可能有两个解，不满足题意；a时，在，a，+上，Ht0，函数单调递增，在，a上，Ht0，函数单调递减，Ht的极大值为H，极小值为Ha；a时，在，a，+上，Ht0，函数单调递增，在a，上，Ht0，函数单调递减，Ht的极大值为Ha，极小值为H；要使方程有三个不同解，那么HHa0，即2a7a+12a25a+50，a或a1【作业2解答】解：由得fx=ax2+2a+1xex，f0=0，所以fx=ax2+x1ex1fx=

16、ax2+2a+1xex=xax+2a+1ex假设a0，当或x0时，fx0；当时，fx0，所以fx的单调递增区间为；单调递减区间为假设a=0，fx=x1ex，fx=xex，当x0时，fx0；当x0时，fx0，所以fx的单调递增区间为0，+；单调递减区间为，0假设，当或x0时，fx0；当时，fx0，所以fx的单调递增区间为；单调递减区间为假设，故fx的单调递减区间为，+假设，当或x0时，fx0；当时，fx0，所以fx的单调递增区间为；单调递减区间为当a0时，fx的单调递增区间为；单调递减区间为当a=0时，fx的单调递增区间为0，+；单调递减区间为，0，当时，fx的单调递增区间为；单调递减区间为当时

17、，fx的单调递减区间为，+；当时，fx单调递增区间为；单调递减区间为，0，+；2证明：gx=exfx+lnx=exax2+x1ex+lnx=ax2+x1+lnx，设l2的方程为y=k2x，切点为x2，y2，那么，所以x2=1，y2=e，k2=e由题意知k1=k2=e，所以l1的方程为y=ex，设l1与y=gx的切点为x1，y1，那么又，即，令，在定义域上，ux0，所以0，+上，ux是单调递增函数，又，所以，即，令，那么，所以，故【作业3解答】解：1证明：设Fx=fxgx，那么Fx=，由Fx=0，得x=3，当0x3时，Fx0，当x3时Fx0，可得Fx在区间0，3单调递减，在区间3，+单调递增，所

18、以Fx取得最小值为F3=ln310，Fx0，即fxgx；2假设曲线fx与gx有公切线，切点分别为Px0，lnx0和Qx1，2因为fx=，gx=，所以分别以Px0，lnx0和Qx1，2为切线的切线方程为y=+lnx01，y=+2令 ，即2lnx1+3+ln3=0令hx=2lnx1+3+ln3所以由hx=0，得x1=3显然，当0x13时，hx0，当x13时，hx0，所以hxmin=ln310，所以方程2lnx1+3+ln3=0无解，故二者没有公切线所以曲线y=fx和y=gx不存在公切线；31+121+231+20212021e4021理由：由1可得lnx2x0，可令x=1+nn+1，可得ln1+n

19、n+122=23，那么ln1+12+ln1+23+ln1+202120212202131+=40243+4021即有1+121+231+20212021e4021【作业4解答】解：fx=xblnx，fx=1+，由于曲线y=fx在点1，f1处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f1=0，即1+1b=0，b=2；2假设fx，gx的图象在其公共点x0，y0处存在公切线，由fx=ax2lnx，得fx=，gx=2x，由fx0=gx0，得=2x0，即2x03ax02+2x0a=0，即x02+12x0a=0，那么x0=，又函数的定义域为0，+，当a0时，x0=0，那么fx，gx的图象在其公共点x0，y0处

20、不存在公切线；当a0时，令f=g，2ln2=，即=ln，令hx=lnx0，hx=x=，那么hx在0，2递减，2，+递增且h2=0，且当x0时，hx+；当x+时，hx+，hx在0，+有两个零点，方程=ln在0，+解的个数为2综上：当a0时，函数fx与gx的图象在其公共点处不存在公切线；当a0时，函数fx与gx的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2个在导数的练习中，常见这一类题型：含有的一个不等式，以及的一些其他性质，让解不等式或者比拟大小。这类题型的常用思路是emph构造函数，下面举例说明。1.是定义在上的奇函数，当时，且，那么不等式的解集是( )分析：观察条件给的不等式，它的左边是的导函数。

21、故构造，并把题中的其他性质转化成的性质，把要求解的不等式也转化成关于的不等式。解答：令，当时，。由是奇函数得也是奇函数，由得。可得的“草图如下：而不等式等价于。由“草图易知解集为，选。拓展：怎样构造出适宜的函数呢？一般考虑一下三个模型：(1)。特别地，当时，有； 当时，有。(2)特别地，当时，有； 当时，有。(3)我们可以比照这三个模型求导后的形式与题中给出不等式的形式，确定或者。下面再举几个例子：2. 函数的定义域为%R%，对任意，那么不等式的解集是( )分析：观察条件中给出的不等式，以及要求解的不等式，易知可以构造。再把的其他性质也都转化成的性质。解答：构造。那么，在上递增。由知，而不等式

22、即为，解集为，选。3. 为定义在上的可导函数，且对于恒成立，且为自然对数的底，那么 ，分析：比照可知，不等式是模型(2)当时的特例。解答：构造函数，在上递增。，即，正确。4. 设定义在上的函数满足，其导函数满足，那么以下结论中一定错误的选项是 分析：由，尝试构造。解答：令，在上递增。由知，；由知，且。，选项无法判断正误。又，即，选。5.定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，那么在上的零点个数为 或。分析：比照题中给出的不等式可知，只需在模型(3)中令，。解答：令，那么当时，在上递增,当时，无零点。由可知的零点与的零点一样，在时无零点。而是奇函数，在时也没有零点。是唯一的零点。选。注意：此题无法从是奇函数得到是奇函数或者偶函数。. .word.