2022年天津市高考数学试卷答案与解析.docx

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1、精品学习资源2021 年天津市高考数学试卷理科参考答案与试题解析一、挑选题共 8 小题，每题 5 分1. 5 分2021 .天津 i 是虚数单位，复数=A 1 iB 1+iC+iD +i考复数代数形式的乘除运算 点：专数系的扩充和复数 题：分将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3 4i，即求出值析：解解：复数=， 答：应选 A 点此题考查了复数的运算法就和共轭复数的意义，属于基础题 评：2. 5 分2021 .天津设变量x， y 满意约束条件，就目标函数 z=x+2y 的最小值为A 2B 3C 4D 5考简洁线性规划 点：专不等式的解法及应用 题：分作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的

2、学问，通过平移即可求z 的最大值 析：解解：作出不等式对应的平面区域， 答： 由 z=x+2y ，得 y=，平移直线 y= ，由图象可知当直线y= 经过点 B 1， 1时，直线 y=的截距最小，此时z 最小此时 z 的最小值为 z=1+2 1=3，应选： B 欢迎下载精品学习资源点此题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法 评：3. 5 分2021 .天津阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A 15B 105C 245D 945考程序框图 点：专算法和程序框图 题：分算法的功能是求 S=1352i+1 的值，依据条件确定跳出循环的i 值，运算输出析： S

3、 的值解解：由程序框图知：算法的功能是求S=1352i+1 的值，答： 跳出循环的 i 值为 4， 输出 S=1357=105 应选： B 点此题考查了直到型循环结构的程序框图，依据框图的流程判定算法的功能是解答此评： 题的关键欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源24. 5 分2021 .天津函数 fx=logx 4的单调递增区间为欢迎下载精品学习资源A 0，+B ， 0C 2， +D ， 2考复合函数的单调性 点：专函数的性质及应用 题：分令 t=x 2 40，求得函数 fx的定义域为 ， 22， +，且函数 f x析： =gt=logt依据复合函数的单调性，此题即求函数t 在 ， 22

4、， +上的减区间再利用二次函数的性质可得，函数t 在 ， 2 2，+ 上的减区间解解：令 t=x 24 0，可得 x 2，或 x 2，答： 故函数 f x的定义域为， 2 2， +，当 x ， 2时， t 随 x 的增大而减小， y=logt 随 t 的减小而增大，所以 y=logx2 4随 x 的增大而增大，即fx在 ， 2上单调递增应选： D 点此题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，表达了转化的数学思想，属于评： 中档题5. 5 分2021 .天津已知双曲线=1a 0，b 0的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10 ，双曲线的一个焦点在直线l 上，就双曲线的方程为欢迎下载精品学习资

5、源A =1B =1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C=1D =1欢迎下载精品学习资源考双曲线的标准方程 点：专圆锥曲线的定义、性质与方程 题：分析： 先求出焦点坐标，利用双曲线=1a0， b 0的一条渐近线平行于直线l：欢迎下载精品学习资源c=ay=2x+10 ，可得 =2，结合 222，求出 a， b，即可求出双曲线的方程欢迎下载精品学习资源+b解解： 双曲线的一个焦点在直线l 上，答： 令 y=0 ，可得 x= 5，即焦点坐标为 5， 0， c=5 ， 双曲线=1 a 0， b0的一条渐近线平行于直线l： y=2x+10 ， =2 ， c2=a2+b2，欢迎下载精品学习资源22 a

6、 =5，b=20 ，欢迎下载精品学习资源 双曲线的方程为=1应选： A 点此题考查双曲线的方程与性质，考查同学的运算才能，属于中档题 评：6. 5 分2021 .天津如图， ABC 是圆的内接三角形， BAC 的平分线交圆于点D ， 交 BC 于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出以下四个结论： BD 平分 CBF；2 FB =FD .FA； AE .CE=BE .DE ； AF.BD=AB .BF全部正确结论的序号是A B C D 考与圆有关的比例线段；命题的真假判定与应用 点：专直线与圆 题：分此题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形

7、相像，得到边成析： 比例，即可选出此题的选项欢迎下载精品学习资源解解： 圆周角 DBC 对应劣弧 CD ，圆周角 DAC 对应劣弧 CD ， 答： DBC= DAC 弦切角 FBD 对应劣弧 BD ，圆周角 BAD 对应劣弧 BD ， FBD= BAF AD 是 BAC 的平分线， BAF= DAC DBC= FBD 即 BD 平分 CBF即结论 正确 又由 FBD= FAB， BFD= AFB ，得 FBD FAB由， FB2=FD .FA即结论 成立由，得 AF.BD=AB .BF即结论 成立 正确结论有 故答案为 D点此题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，仍考查了三角形相像的学问，此题总体

8、难评： 度不大，属于基础题7. 5 分2021 .天津设 a，bR，就 “a b”是“a|a| b|b|”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件考必要条件、充分条件与充要条件的判定 点：专简易规律 题：分依据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判定即可得到结论 析：解解：假设 a b，答： a b0，不等式 a|a| b|b|等价为 a.a b.b，此时成立 0 a b，不等式 a|a| b|b|等价为 a.a b.b，即 a2 b2，此时成立22欢迎下载精品学习资源 a0 b，不等式 a|a| b|b|等价为 a.a b.b，即 a成立假设 a|

9、a| b|b|， b，此时成立，即充分性欢迎下载精品学习资源 当 a 0， b 0 时， a|a| b|b|去掉肯定值得， a ba+b 0，由于 a+b0，所以 a b 0，即 ab 当 a 0， b 0 时， a b 当 a 0， b 0 时， a|a| b|b|去掉肯定值得， a ba+b 0，由于 a+b0，所以 a b 0，即 ab即必要性成立，综上 “a b”是“a|a| b|b|”的充要条件，应选： C点此题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用不等式的性质结合分类争论是解决评： 此题的关键欢迎下载精品学习资源8. 5 分2021.天津已知菱形 ABCD 的边长为 2， BAD=

10、120 ，点 E、F 分别在边 BC、 DC 上，=，= ，假设.=1，.= ，就 +=A BCD考平面对量数量积的运算 点：专平面对量及应用 题：分利用两个向量的加减法的法就，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由析：.=1，求得 4+4 2=3 ；再由.= ，求得 += 结合 求得 +的值解答： 解：由题意可得假设.=+.+=+=2 2cos120+.+ . = 2+4+4+22cos120=4 +42 2=1 ， 4+4 2=3 .=.= 1 .1 = 1 .1 =1 1 22cos120=1 + 2= ，即 += 由求得 +=，故答案为：点此题主要考查两个向量的加减法的法就，以及其几

11、何意义，两个向量的数量积的定评： 义，属于中档题二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分9. 5 分2021.天津某高校为明白在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟采纳分层抽样的方向， 从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查， 已知该欢迎下载精品学习资源考点： 专 题： 分 析： 解答：分层抽样方法概率与统计先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求解：依据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名同学数为300 =60，故答案为： 60点此题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中

12、各层的个体数之比等于样本中评： 对应各层的样本数之比，属于基础题105 分2021.天津一个几何体的三视图如下图单位：m，就该几何体的体积为m3校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5： 5： 6，就应从一年级本科生中抽取60名同学考由三视图求面积、体积 点：专立体几何 题：分几何体是圆锥与圆柱的组合体，判定圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱析： 的体积公式运算解解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，欢迎下载精品学习资源答： 其中圆柱的高为 4，底面直径为 2，圆锥的高为2，底面直径为4，22 几何体的体积V= 1 4+22=4 +=故答案为：点此题考查了由三视图求

13、几何体的体积，依据三视图判定几何体的外形及数据所对应评： 的几何量是解题的关键11. 5 分2021.天津设 a n 是首项为 a1，公差为 1 的等差数列， Sn 为其前 n 项和， 假设 S1， S2，S4 成等比数列，就a1 的值为考等比数列的性质 点：专等差数列与等比数列题： 分析： 由条件求得， Sn=，再依据 S1， S2， S4 成等比数列，可得=S1.S4，由此求得 a1 的值解解：由题意可得， an=a1+n1 1=a1+1 n， 答：Sn=，再依据假设S1， S2， S4 成等比数列，可得=S1.S4，即=a1.4a1 6，解得 a1= ，故答案为：点此题主要考查等差数列的

14、前n 项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题 评：12. 5 分2021.天津在 ABC 中，内角 A ， B， C 所对的边分别是 a，b， c，已知b c=a， 2sinB=3sinC ，就 cosA 的值为考余弦定理；正弦定理 点：专解三角形题：欢迎下载精品学习资源分析： 由条件利用正弦定理求得a=2c， b=，再由余弦定理求得cosA=的值解解：在 ABC 中，答： b c=a ，2sinB=3sinC ， 2b=3c ， 由可得 a=2c，b=再由余弦定理可得cosA= ， 故答案为：点此题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题 评：13. 5 分2021 .天津在以 O

15、为极点的极坐标系中，圆 =4sin 和直线 sin=a 相交于 A 、 B 两点，假设 AOB 是等边三角形，就a 的值为3欢迎下载精品学习资源考简洁曲线的极坐标方程 点：专坐标系和参数方程 题：分把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B 的坐标的值，代入x2+y 22，可得 a欢迎下载精品学习资源析： 的值解解：直线 sin=a 即 y=a， a 0，曲线 =4sin ， =4欢迎下载精品学习资源答： 即 2=4sin，即22x+=4y 2，表示以 C0，2为圆心，以 2 为半径的圆，欢迎下载精品学习资源 AOB 是等边三角形， Ba，a，代入 x2+y 22=4，可得a2+a 22 =4， a

16、 0， a=3 故答案为： 3欢迎下载精品学习资源点此题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B 的评： 坐标是解题的关键，属于基础题欢迎下载精品学习资源14. 5 分2021.天津已知函数 fx=|x2+3x|，x R，假设方程 fx a|x1|=0 恰有欢迎下载精品学习资源4 个互异的实数根，就实数a 的取值范畴为0， 1 9， +考根的存在性及根的个数判定 点：专函数的性质及应用 题：分由 y=f x a|x1|=0 得 fx=a|x 1|，作出函数y=f x， y=a|x 1|的图象利用析： 数形结合即可得到结论解解：由 y=f x a|x 1|=0 得 f

17、x=a|x 1|， 答： 作出函数 y=f x， y=g x=a|x 1|的图象，当 a0，不满意条件，就 a 0，此时 gx=a|x 1|=，当 3x 0 时， f x =x 2 3x， g x= ax 1， 当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时 x2 3x= ax 1， 即 x2+3 ax+a=0，就由 =3 a2 4a=0，即 a2 10a+9=0，解得 a=1 或 a=9，当 a=9 时， gx= 9x 1， g0=9，此时不成立， 此时 a=1， 要使两个函数有四个零点，就此时0 a 1，假设 a1，此时 gx= ax 1与 fx，有两个交点，此时只需要当 x1 时， fx=gx有

18、两个不同的零点即可，即 x2+3x=ax 1，整理得 x 2 3 ax+a=0 ，+就由 =3 a24a 0，即 a2 10a+90，解得 a 1舍去或 a 9， 综上 a 的取值范畴是 0， 1 9， +，方法 2：由 fx a|x 1|=0 得 fx=a|x 1|， 假设 x=1 ，就 4=0 不成立，故 x1，就方程等价为 a=|=|x1+5|，设 gx=x 1+5，当 x 1 时， gx=x 1+5，当且仅当 x 1=，即 x=3 时取等号，欢迎下载精品学习资源当 x 1 时， gx =x 1+5=5 4=1 ，当且仅当 x 1=，即 x= 1 时取等号， 就|g x|的图象如图：假设

19、方程 fx a|x 1|=0 恰有 4 个互异的实数根， 就满意 a 9 或 0a 1，故答案为： 0， 1 9， +点此题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决此题的关键，综合性较评： 强，难度较大欢迎下载精品学习资源三、解答题共 6 小题，共 80 分15. 13 分2021 .天津已知函数fx=cosx.sinx+2， x R欢迎下载精品学习资源cosx+ 求 fx的最小正周期； 求 fx在闭区间 ，上的最大值和最小值欢迎下载精品学习资源考三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 点：专三角函数的图像与性质 题：分 依据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由

20、复合三角函数的析： 周期公式求出此函数的最小正周期； 由 化简的函数解析式和条件中x 的范畴，求出的范畴，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值解解： 由题意得， fx=cosx. sinxcosx答：=所以， fx的最小正周期= 由 得 fx=，由 x ， 得， 2x ，就， ， 当=时，即= 1 时，函数 fx取到最小值是：，当=时，即=时， fx取到最大值是：， 所以，所求的最大值为，最小值为点此题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数评： 的周期公式应用，考查了整体思想和化简运算才能，属于中档题16. 13 分2021.天津 某高校理想者协会

21、有6 名男同学， 4 名女同学， 在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10 名同学中随机选取3 名同学， 到期望学校进行支教活动 每位同学被选到的可能性相同 求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率； 设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望欢迎下载精品学习资源考古典概型及其概率运算公式；离散型随机变量及其分布列 点：专概率与统计 题：分 利用排列组合求出全部基本大事个数及选出的3 名同学是来自互不相同学院的析： 基本大事个数，代入古典概型概率公式求出值； 随机变量 X 的全部可能值为

22、 0，1， 2， 3，k=0 ， 1，2， 3列出随机变量 X 的分布列求出期望值解 解：设 “选出的 3 名同学是来自互不相同学院”为大事 A ，答：就，所以选出的3 名同学是来自互不相同学院的概率为 解：随机变量 X 的全部可能值为 0， 1， 2， 3，k=0 ， 1， 2， 3所以随机变量 X 的分布列是X0123P随机变量 X 的数学期望点此题考查古典概型及其概率公式，互斥大事，离散型随机变量的分布列与数学期评： 望，考查应用概率解决实际问题的才能17. 13 分2021 .天津如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA底面 ABCD ，AD AB ，AB DC ， AD=DC=AP=2

23、 ， AB=1 ，点 E 为棱 PC 的中点 证明： BE DC ； 求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； 假设 F 为棱 PC 上一点，满意BF AC ，求二面角 F AB P 的余弦值考与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角欢迎下载精品学习资源点：专空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何 题：分 I以 A 为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，析：依据.=0 ，可得 BE DC ； II求出平面 PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面 PBD所成角的正弦值； 依据 BF AC ，求出向量的坐标，进而求出

24、平面FAB 和平面 ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F AB P 的余弦值解证明： I PA底面 ABCD ，AD AB ， 答： 以 A 为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系， AD=DC=AP=2 ， AB=1 ，点 E 为棱 PC 的中点 B 1， 0， 0， C2， 2，0， D0， 2， 0， P0， 0， 2， E1， 1，1=0， 1， 1，= 2， 0， 0.=0， BE DC ； = 1， 2， 0，=1， 0， 2， 设平面 PBD 的法向量=x， y， z，由，得，令 y=1 ，就 = 2， 1，1，就直线 BE 与平面 PBD 所成角 满意：sin=，故

25、直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为欢迎下载精品学习资源 =1， 2，0，= 2， 2， 2，=2， 2，0， 由 F 点在棱 PC 上，设= = 2， 2， 201，故=+=1 2， 2 2， 201，由 BF AC ，得.=21 2+22 2 =0，解得 =，即= ， ， ，设平面 FBA 的法向量为=a， b， c，由，得令 c=1 ，就= 0， 3， 1，取平面 ABP 的法向量=0， 1， 0， 就二面角 F AB P 的平面角 满意：cos=，故二面角 F AB P 的余弦值为：点此题考查的学问点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为评： 向量夹角问题，是

26、解答的关键18. 13 分2021.天津设椭圆+=1a b 0的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为 A ，上顶点为 B ，已知 |AB|=|F1F2| 求椭圆的离心率； 设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1，经过原点 O 的直线 l 与该圆相切，求直线l 的斜率考直线与圆锥曲线的综合问题 点：专圆锥曲线的定义、性质与方程题：欢迎下载精品学习资源分 设椭圆的右焦点为F2 c， 0，由 |AB|=|F1 F2|可得， 析：再利用 b22 c2， e=即可得出=a 由 可得 b2=c2可设椭圆方程为，设 Px0， y0，由 F1c， 0， B 0， c，可得，利用圆的

27、性质可得，于是=0，得到 x 0+y 0+c=0 ，由于点 P 在椭圆上，可得联立可得=0 ，解得 P设圆心为 Tx1， y 1，利用中点坐标公式可得 T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r 设直线 l 的方程欢迎下载精品学习资源为： y=kx 利用直线与圆相切的性质即可得出 解解： 设椭圆的右焦点为F2c， 0，答： 由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b22=3c欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源=a又 b22c2， a22=2c 欢迎下载精品学习资源 e= 由 可得 b2=c2因此椭圆方程为设 P x0， y0，由 F1 c， 0，B0，c，可得=x 0+c， y0 ，=c，

28、 c，=cx 0+c+cy0=0， x0+y0+c=0 ， 点 P 在椭圆上， 联立，化为=0， x00， ，代入 x0+y 0+c=0 ，可得欢迎下载精品学习资源 P设圆心为 Tx1， y 1，就=，= T， 圆的半径 r=设直线 l 的斜率为 k，就直线 l 的方程为： y=kx 直线 l 与圆相切，整理得 k 2 8k+1=0 ，解得 直线 l 的斜率为点此题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切评： 问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础学问与基本技能方法，考查了推理才能和运算才能，属于难题19. 14 分2021.天津已知 q 和 n 均为给定的大

29、于 1 的自然数， 设集合 M=0 ，1，2，q 1 ，集合 A=x|x=x 1+x 2q+x nqn1， xiM ， i=1 ， 2， n 当 q=2， n=3 时，用列举法表示集合A ；欢迎下载精品学习资源 设 s，tA ，s=a1+a2q+ann 1，t=b 1+b 2q+bnn1，其中 ai ，bi M ，i=1 ，2，n证欢迎下载精品学习资源qq明：假设 anbn，就 s t考数列与不等式的综合；数列的求和 点：专等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法 题：分 当 q=2 ， n=3 时， M=0 ， 1 ， A=x|， xiM ， i=1 ， 2，析：3 即可得到集合 A

30、由于 ai， biM ， i=1 ， 2， n anbn，可得 an bn 1由题意可得s t=a1 b1+a2 b2欢迎下载精品学习资源+qq+ + 1+q+ +q n 2n1，欢迎下载精品学习资源再利用等比数列的前n 项和公式即可得出 解 解：当 q=2， n=3 时，答： M=0 ， 1 ，A=x|， xi M， i=1 ， 2， 3 欢迎下载精品学习资源可得 A=0 ， 1， 2，3， 4， 5， 6， 7 +a 证明：由设s， tA ， s=a1+a2q+n n1， t=b 1+b2 q+bnqn 1ai，欢迎下载精品学习资源q，其中biM ， i=1 ， 2， ， n an bn，

31、 an bn 1可得 s t=a1 b1+a2 b2q+ 1+q+ +qn 2+qn 1= 0 s t点此题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n 项和公式、不等式的基本性评： 质等基础学问与基本技能方法，考查了推理才能和运算才能，属于难题20. 14 分2021 .天津设 fx=x aexaR， x R，已知函数 y=f x有两个零点 x1，x 2，且 x1 x 2 求 a 的取值范畴； 证明：随着 a 的减小而增大； 证明 x 1+x 2 随着 a 的减小而增大考利用导数争论函数的单调性；函数零点的判定定理 点：专导数的综合应用 题：分 对 fx求导，争论 fx 的正负以及对应fx

32、的单调性，得出函数y=f析： x有两个零点的等价条件，从而求出a 的取值范畴； 由 fx =0，得 a=，设 gx=，判定 gx的单调性即得证； 由于 x1=a， x 2=a，就 x2 x 1=lnx 2 lnx 1=ln，令=t，整理得到x 1+x 2=，令 hx=， x 1， +，得到 hx在 1，+上是增函数，故得到x1+x 2 随着 t 的减小而增大再由 知， t 随着 a 的减小而增大，即得证解解： fx=x aex， f x=1 aex； 答： 下面分两种情形争论：欢迎下载精品学习资源 a0 时， f x 0 在 R 上恒成立， f x在 R 上是增函数，不合题意； a 0 时，由

33、 f x =0，得 x= lna，当 x 变化时， f x 、 f x的变化情形如下表：x ， lna lna lna， + f x+0fx 递增极大值 lna 1递减 fx的单调增区间是 ， lna ，减区间是lna， +； 函数 y=f x有两个零点等价于如下条件同时成立： f lna 0； 存在 s1 ， lna，满意 fs1 0；1 存在 s2 lna， +，满意 f s2 0；由 f lna 0，即 lna 1 0，解得 0 a e；取 s1=0，满意 s1 ， lna，且 f s1 =a 0，取 s2=+ln，满意 s2 lna ，+，且 fs2= +ln 0；欢迎下载精品学习资源

34、e a 的取值范畴是 0，1欢迎下载精品学习资源 证明：由 fx=xaex=0，得 a=，设 g x=，由 gx=，得 gx在 ，1上单调递增，在 1， +上单调递减，并且当 x ， 0时， gx0，当 x 0， +时， gx0，欢迎下载精品学习资源e10，ex 1、 x2 满意 a=gx1， a=gx 2， a0， 1， x21， +；1及 gx 的单调性，可得 x欢迎下载精品学习资源对于任意的a1、 a20， X 2；1，设 a1 a2， gX 1=gX 2=a1，其中 0 X1 1欢迎下载精品学习资源gY 1 =gY 2=a2，其中 0Y 11 Y2； gx 在 0，1上是增函数， 由

35、a1 a2，得 gX i gY i，可得 X 1 Y 1； 类似可得 X 2 Y 2；又由 X 、Y 0，得； 随着 a 的减小而增大； 证明： x 1=a，x 2=a， lnx 1=lna+x 1， lnx 2=lna+x 2； x2 x1=lnx 2 lnx 1=ln，设=t，就 t 1，解得 x1=，x 2=，欢迎下载精品学习资源 x1+x 2= ；令 hx=， x1， +，就 hx =；令 ux = 2lnx+x ，得 ux =，当 x1， +时， ux 0， ux 在 1， +上是增函数， 对任意的 x1， +， ux u1=0 ， h x 0， hx在 1， +上是增函数； 由 得 x1+x 2 随着 t 的增大而增大 由 知， t 随着 a的减小而增大， x1+x 2 随着 a