2022年完整word版,概率论与数理统计复习资料要点总结,推荐文档.docx

《2022年完整word版,概率论与数理统计复习资料要点总结,推荐文档.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年完整word版,概率论与数理统计复习资料要点总结,推荐文档.docx（73页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第一章随机大事与概率概率论与数理统计复习提要731. 大事的关系A BAB ABABAAB2. 运算规章 （ 1） A（ 2） ABBAABBABCA BC AB CA BC （ 3） ABC AC BC ABC AC BC（ 4） ABABABAB3. 概率 P A 满意的三条公理及性质：（ 1） 0P A1（ 2） P1（ 3）对互不相容的大事A1 , A2 , An ,有nPAk k 1nP Ak k 1（ n 可以取）（ 4） P 0（5） P A1P A（ 6）P ABP AP AB ,如 AB ,就PBAPBP A ,P APB（ 7） P ABP APBP AB （ 8） P A

2、BCP AP BPCP ABP AC PBC P ABC4. 古典概型：基本领件有限且等可能5. 几何概率6. 条件概率（ 1） 定义：如PB0 ,就P A | BP ABP B（ 2） 乘法公式：P ABPB P A | B如 B1 , B2 ,Bn 为完备大事组,PBi 0 ,就有（ 3） 全概率公式：P AnP Bi P A | Bi i 1（ 4） Bayes 公式：P Bk| AP Bk P A | Bk nP Bi P A | Bi i 17. 大事的独立性：A, B 独立PAB PA P B（留意独立性的应用）其次章随机变量与概率分布1. 离散随机变量：取有限或可列个值,P Xx

3、i pi 满意（ 1） pi0 ,（ 2）ipi =1（ 3）对任意 DR, P XDpii: xi D2. 连续随机变量：具有概率密度函数f x ,满意（ 1）f x0,f- x dx1 ；（ 2）PaXbbaf xdx ；（ 3）对任意aR, P Xa) 03. 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布B 1, pPX1p , P X0q1pppq二项式分布Bn, pP Xk C k p k qnk , k0,1,2,n ,npnpqnPoisson 分布 PP Xkke, k k.0,1,2,几何分布G pP Xkq k1 p, k1,2,1qpp 2匀称分布U a,b

4、f x1, a baxb ,abb2a) 212指数分布 Ef xex , x011正态分布 N ,2 f x x 221e2 2224. 分布函数F xP Xx ,具有以下性质（ 1） F 0,F 1；（ 2）单调非降； （ 3）右连续；（ 4） PaXb) F bF a ,特殊P Xa1F a ；（ 5）对离散随机变量,F xi: xipi ；x（ 6）对连续随机变量,F xxf t dt 为连续函数, 且在f x连续点上,F xf x5. 正态分布的概率运算以 x 记标准正态分布N 0,1的分布函数,就有（ 1）00.5 ；（ 2）x1 x ；（ 3）如 X N ,2 ,就 F x x

5、；（ 4）以 u记标准正态分布N 0,1 的上侧分位数,就P Xu 1u6. 随机变量的函数Yg X （ 1）离散时,求 Y 的值,将相同的概率相加；（ 2 ） X 连 续 ,g x在 X 的 取 值 范 围 内 严 格 单 调 , 且 有 一 阶 连 续 导 数 , 就fY yf X g1 y | g1 y |,如不单调,先求分布函数,再求导；第四章随机变量的数字特点1. 期望(1) 离散时E X xi pii, E g X g xi pi；i(2) 连续时E X xf xdx ,E g X g xf xdx ；(3) 二维时Eg X,Yi , jg xi , y j pij, E g X

6、, Y g x,y f x, ydxdy(4) 4ECC ；（5）ECX CE X ；（ 6） E XYE X EY ；（ 7）X ,Y独立时,E XY E X EY2. 方差（ 1）方差D X E XE X 2E X 2 EX 2 ,标准差 X D X ；（ 2） D C 0, D XCD X ；（ 3） D CX C 2 D X ；（ 4）X ,Y独立时,D XY D X DY3. 协方差（ 1） Cov X ,Y E XE X YEY E XY E X EY ；（ 2） Cov X ,YCov Y, X ,Cov aX ,bY abCov X ,Y ；（ 3） Cov X 1X 2 ,Y

7、 Cov X 1,YCov X 2 ,Y ；（ 4） Cov X ,Y0 时,称X ,Y不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价；（ 5） D XY D X DY2Cov X ,Y4. 相关系数Cov X ,YXY；有|XY |1 ,|XY |1a, b,PYaXb1 X Y5. k阶原点矩kE X k , k阶中心矩E XE X kk第五章大数定律与中心极限定理1. Chebyshev 不等式P| XE X |D X 2或 P| XE X |1D X 22. 大数定律3. 中心极限定理（ 1 ） 设 随 机 变 量X 1 , X 2 , X n独 立 同 分 布E X i 2, D X

8、i , 就niX N n , n近似i 12 , 或 1Xnn i 12i N ,近似nnX ini 1或n N 0,1 ,近似（ 2 ） 设 m 是 n 次 独 立 重 复 试 验 中 A 发 生 的 次 数 ,P Ap , 就 对 任 意 x , 有limnP mnpx npq(x) 或懂得为如X Bn, p ,就X Nnp, npq近似第六章样本及抽样分布1. 总体、样本（ 1） 简洁随机样本：即独立同分布于总体的分布（留意样本分布的求法）；（ 2） 样本数字特点：样本均值1nXX in i 1（ E X 2, D X ）；2n2样 本 方 差S1n2n1 i 1 X iX （ES 2

9、2） 样 本标 准 差nS1n1 i1 XiX 1nk1nk样本 k 阶原点矩kX i,样本 k 阶中心矩k X iX n i 1n i 12. 统计量：样本的函数且不包含任何未知数Xn3. 三个常用分布（留意它们的密度函数外形及分位点定义）2112（ 1）分布222XX122 2 n ,其中X 1 , X 2 , X n独立同分布于标准正态分布N 0,1 ,如 X 2 n, Y 2 n 且独立,就 XY 2 nn 2 ；（ 2） t 分布 tXY / n t n ,其中X N 0,1, Y n 且独立；（ 3） F 分布 FX / n1 F n1 ,n 2 ,其中 X 22n1, Y 2 n

10、2 且独立,有下面的性质1 F nY / n 2, n ,F1 n , n 21112FF n2 , n14. 正态总体的抽样分布21n22（ 1） X N ,/ n ；（ 2）2 X i i 1n ；（ 3） n1 S 222 n1 且与 X 独立；（4） tXS /n t n1 ；12（ 5） t XY 12 n1n2 t n1n22 , S2n11S2n21 S2Sn1n2n1n22（ 6） FS1 /22S2 /212F n121, n21第七章参数估量1矩估量：（ 1）依据参数个数求总体的矩； （ 2）令总体的矩等于样本的矩； （ 3）解方程求出矩估量2极大似然估量：（ 1）写出极大

11、似然函数； （ 2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数； （ 4）令导数或偏导数为 0,解出极大似然估量 （如无解回到 （ 1）直接求最大值, 一般为 min xi 或 max xi ）3. 估量量的评比原就1 无偏性：如E .,就为无偏；2 有效性：两个无偏估量中方差小的有效；4. 参数的区间估量（正态）参数条件估量函数置信区间x2 已知u/n xu2n2tx xtns1未知s /n2n2未知2 n1s2 n1s2n2,21) s22n12 n112复习资料一、填空题（ 15 分） 题型一：概率分布的考察【相关公式】 （ P379）分布参数分布律或概率密度数学期望（ E）方差（ D）（

12、0 1）分布0p1P Xkpk 1p1k , k0,1pp1p二项分布n10p1P Xknpk 1 kpn k ,npnp1pk0,1, n负二项分布r10p1P Xkk1pr 1r1pk rrpr 1p p2kr , r1,P Xk1pk 1 p11p几何分布0p1k1,2,pp2MNMN, M ,aP Xkknk NnMnM1MNn超几何分布MNnNkk为整数, max0, nNM kNmin n, M NNN1泊松分布0k eP Xkk .匀称分布abk0,1, 2,1, axb baf xab2ba 2120, 其他【相关例题】11、设 X :U a,b , E X 2 ,DZ ,就求

13、 a, b 的值；3解：Q X :U a, b, E X 2, D X 1 , 依据性质：3abba212, ab2123解得： a1,b3.2、已知X : bn, p , E X 0.5, D X 0.45 ,就求 n, p 的值；解：由题意得： np0.5, np1p0.45解得： p0.1.题型二：正态总体均值与方差的区间估量【相关公式】 （ P163）2为已知,由枢轴量X/,得到 的一个置信水平为n1-的置信区间：Xz /2n【相关例题】1、（样本容量已知）已知总体 X N,0.81, X1, X 2, X 25为样本, 且X5,就 的置信度 0.99的置信区间为：解：代入公式得：Xz

14、50.9 z50.18 1.964.6472,5.3528/20.025n52、（样本容量未知）已知X :N,1, X1, X2 , X3 , Xn为样本容量,如关于 的置信度 0.95的置信区间10.88,18.92 ,求样本容量 .解：由题意知：样本长度为7.84,就有：XzX n2z7.84n2z3.92n2代入数据,得：n2n4.题型三：方差的性质【相关公式】 （ P103）21 DC0,C为常数；2 DCX C D X , D XCD X ,C为常数；3 X, Y相互独立 , D XYDX DY【相关例题】1、已知 X1, X 2两变量,且X 1 :U 2, 4, X 2 :N 0,

15、9,X 1, X 2相互独立,求D X 12 X 2 .解：Q X 1U 2, 4, X 2 :0,9ba21D X 12 X 2 D X 14D X 2 4936123题型四：t分布、2分布的定义【相关公式】 （ P140、P138 ）1 设X :tX0,1,Y :2 n, 且X, Y相互独立,就称随机变量Y / n听从自由度为n的t分布,记为t : t n .2 设X1, X 2,X3 , , X n是来自总体N 0,1的样本,就称统计量2X 2X 2X 212听从自由度为 n的【相关例题】n2分布 ,记为 2 :22 n .X1、 如X :0,1, Y :4, 且X ,Y相互独立 ,:

16、？Y / nX答：:t 4Y / n302、 如变量 X , X , X , , X听从N0,1 ,就X 2 : .12330ii 130i答：X 2 :230.i 1题型五：互不相容问题【相关公式】 （ P4）如AB, 就称大事A与大事B是互不相容的；【相关例题】1、 如P A0.6, A, B互不相容解：,求P AB .Q A, B互不相容ABP ABP ASBP AABP A0.6二、挑选题（ 15 分） 题型一：方差的性质【相关公式】 （见上,略）【相关例题】 （见上,略）题型二：考察统计量定义（不能含有未知量） 题型三：考察概率密度函数的性质（见下,略）题型四：和、乘、除以及条件概率

17、密度（见下,略）题型五：对区间估量的懂得（P161） 题型六：正态分布和的分布【相关公式】 （ P105）【相关例题】如X N 0,2, Y N 3,9, 就 XY .答： N 03, 29N 3,11.题型七：概率密度函数的应用【相关例题】2 x,0x1设 Xf x0, 其他已知 P XaP Xa, 就求 a；解：由题意,得：1P XaP XaP Xa1 20即有： a2xdxx2 |a102又Q a0a22三、解答题（ 70 分）题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用；【相关公式】.全概率公式：设试验 E的样本空间为 S,A为E的大事, B1, B2, ,Bn为S的划分,且 PBi

18、 0, 就有：P A =P A| B1PB1P A | B2P B2. P A | BnPBn其中有： PB | AP AB；P A特殊地：当 n=2时,有：P AP A| B PBP A| B P B .贝叶斯公式：设试验 E的样本空间为 S；A为E的大事 ,B1,B2, , Bn为S的一个划分,且 P AP Bi0i1,2, n,就有：P B | AiP Bi APAP A| Bi PBi nj1P A| Bi PBi 特殊地：当n=2时,有：P B | AP ABP AP A | B P BP A| B P BP A | B P B【相关例题】 1、P19 例 5某电子设备制造厂设用的元

19、件是有三家元件制造厂供应的,依据以往的记录有以下的数据：0,元件制造厂次品率供应原件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是匀称混合的,且无区分标志；问：（ 1）在仓库中随机取一只元件,求它的次品率；（ 2）在仓库中随机抽取一只元件,为分析此次品出自何厂,需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少,试求这些概率；（见下）解：1设A=取到一只次品 , B=在i厂取到产品i1,2,3.且B1、B2、B3是S的一个划分；就由全概率公式有：P AP A|B1 P B1PA | B2 P B2PA | B3P B30.020.150.010.800.030

20、.050.01252由贝叶斯公式有：P B1P B2 P B3| A0.24P A | B1PB1P A0.020.150.0125P A | B2 P B2P A0.010.010.8025P A | B3 P B3 P A0.030.050.0125| A0.64| A0.12答：综上可得,次品出自二厂的可能性较大；2、袋中装有 m 枚正品硬币, n 枚次品硬币（次品硬币两面均有国徽）,在袋中任意取一枚, 将他掷 r 次,已知每次都得到国徽,问这枚硬币是正品的概率是多少？解：设A=所抛掷的硬币是正品 , B=抛掷r次都得到国徽 ,此题即求 PA | B,得：P A =m, P An, PB

21、 | A1 , P B | A1.rmnmn21mP ABP B | A P A2 rmn即有：PA | BP BP B | A P AP B | A P A1mn. 2rmnmn3、设依据以往记录的数据分析,某船只运输的某种物品损坏的情形共有三种：损坏 2%（这一大事记为 A 1）,损坏 10%（这一大事记为A 2）,损坏 90%（这一大事记为 A 3）,且知 P（A 1）=0.8 ,P（ A 2）=0.15 ,P（ A 3）=0.05. 现在从已经运输的物品中随机取3 件,发觉这三件都是好的（这一大事记为B ）,试求P A1 | B, P A2| B, P A3| B这里物品件数许多,取出

22、一件后不影响取后一件是否为好品的概率 ；（见下）解：由题意可知：P B | A 0.983, P B | A 0.93 , P B | A 0.13123P A10.8,P A2 0.15,PA3 0.05P BP B |A1 P A1 P B | A2 P A2 P B | A3 P A30.9830.86240.80.930.150.130.05P A1| BP B | A1PA10.983 0.8 PB0.86240.8731P A2 | B0.1268 P A3 | B0.00014、将 A 、B 、C 三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为,而输出其他字母的概率都是（1-）/2.

23、今将字母串 AAAA 、BBBB 、CCCC 之一输入信道, 输入 AAAA 、BBBB 、CCCC的概率分别为 p1、p2、p3（ p1+p2+p3=1 ）,已知输出为 ABCA ；问输入 AAAA的概率是多少？（设信道传输各字母的工作是相互独立的；）解：设A= 输入为AAAA,B= 输入为BBBB,C= 输入为 CCCC ,D= 输出为ABCA ,依题意求 P A| D .P DP D |AP APD | BP BP D |C PC2 12p313p313p1232222 12pP ADP D | A P A21P A | D1112PDPD2 2p3p3p12322p1p1p1p1p1

24、pp13a1p111222311p12题型二： 1、求概率密度、分布函数；2、正态分布1、求概率密度【相关公式】 已知分布函数求概率密度在连续点求导；已知概率密度fx 求分布函数抓住公x2式：f xdx1,且对于任意实数, 有：P x1Xx2F x2F x1f xdx ；x1【相关例题】（ 1）设随机变量X 的分布函数为：0, x1FX（ X ） =ln x,1xe1, xe求P X2) 、P05X3、P2X 2求概率密度f x x.（见下）解：1P X2PX2ln 2P0X3FX 3FX 0101P2X555FX FX 2ln224FX2 d X 1dxx1 ,1xe xfx x（ 2）f

25、x0, 其他Ax ,是确定常数 A ；1x2+解：由相关性质得：Adx1解得：Aarctanx 0-1+x2arctanx011A（ 3）x ,0x36设随机变量 X 具有概率密度 fx=2x ,32x4 ,求 X 的分布函数；解：Fx0,x0x xdx,00 60,其他x2x3,0x3123 6x22,3x4x232 x,3x40 x3x41, x42、正态分布 高斯分布 【相关公式】x2（ 1）公式f x1e2 22x 其中：,为常数,就称 X听从参数为,的正态分布；（ 2）如X N, 2 ,就Z = x N 0,1.（ 3）相关概率运算公式：P XxP Xx x;P x1Xx2 x1【相

26、关例题】P x1Xx.x2 x2 x1;1、（ P58 27）某地区 18 岁女青年的血压（收缩压：以mmHg 计）听从 N （ 110,122 ）,在该地任选一名 18 岁女青年,测量她的血压X ,求：（ 1） P X105,P100X120;（ 2）确定最小的x,使P Xx0.05解：(1) Q X N 110,122P X105P X1101051105121212B 10.4210.66280.3372;P100X120P 100110X110120110101010210.5934121212121212(2) P Xx1P Xx1P X110x1101x1100.05即有：x110

27、0.95 B1.6512121212x1101.6512x129.8xmin129.82、由某机器生产的螺栓的长度（cm）听从参数10.05,0.06 的正态分布,规定长度在范畴 10.050.12 内为合格品,求一螺栓为不合格的概率；（见下）解：设A 一螺栓合格,此题求 P A .P AP 9.93 10.05X10.0510.1710.05P 2X10.0522210.9544P A10.060.060.060.06P A10.95440.0456题型三：二维随机变量的题型【相关公式】1、二维随机变量的求法：-+f x, ydxdy=f x, ydx dy12、联合概率密度求法 : f x

28、, y3、随机变量的函数分布：f X xf Y y(1) ZXY : f xf yf X zyfY y dyf X x fY zxdx(2) ZXY :f XYz1fX xzfY dxxx(3) ZY : fzx f x f xzdxXYXYX【留意点】争论 x,y 取值范畴；【相关例题】1、（ P843）设随机变量（ X,Y ）的概率密度为：k6xy,0x2,2y41确定常数 k.f x, y0, 其他yy=4-x42求PX1,Y3.23求PX1.5.4求P XY（见下）4.04x解：424x24|01k6xydx dyk6xxy2 dyk102 y dy120222解得:k= 1813132 由题意即求：6820xy dx dy81(3) 由题意即求：41.5206xy dx dy27832：(4) 由题意即求 如图 144820y26xy dx dy32、（ P8618）设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,X 在区间（ 0,1）上听从匀称分布, Y 的概率密度为：y1 e 2 , y02fY y0, 其他1 求X 和Y的联合概率密度.2 求PXY.解：由题意的：X的概率密度如下：fXX1,0x1f x, y1 e 2 ,0y2x1