2022年二轮复习专题三第2讲三角变换与解三角形.pdf

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1、第 2 讲三角变换与解三角形考情解读1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合 .2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( )sin cos cos sin . (2)cos( )cos cos ?sin sin . (3)tan( )tan tan 1?tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 2sin cos . (2)cos 2 cos2 sin2 2cos2 112sin2 . (3)tan 2 2tan 1tan2

2、. 3三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简(2)等式的两边同时变形为同一个式子(3)将式子变形后再证明4正弦定理asin Absin Bcsin C2R(2R 为ABC 外接圆的直径 )变形： a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C. sin Aa2R，sin Bb2R，sin Cc2R. abcsin Asin Bsin C. 5余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C. 推论： cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab. 变形： b2c2a

3、22bccos A，a2c2b22accos B，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - a2b2c22abcos C. 6面积公式SABC12bcsin A12acsin B12absin C. 7解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解热点一三角变换例 1(1)已知 sin( 3)s

4、in 4 35，2 0，则 cos( 23)等于 () A45B35C.45D.35(2)(2014课标全国 )设 (0，2)， (0，2)，且 tan 1sin cos ，则 () A3 2B2 2C3 2D2 2思维启迪(1)利用和角公式化简已知式子，和cos( 23)进行比较(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系答案(1)C(2)B 解析(1)sin( 3) sin 4 35，2 0，32sin 32cos 435，32sin 12cos 45，cos( 23) cos cos23sin sin23精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

5、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 12cos 32sin 45. (2)由 tan 1sin cos 得sin cos 1sin cos ，即 sin cos cos cos sin ，sin( )cos sin(2 ) (0，2)， (0，2)， (2，2)，2 (0，2)，由 sin( )sin(2 )，得 2 ，2 2. 思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒

6、等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解设函数 f(x)cos(2x3)sin2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值；(2)若 是第二象限角，且f(2)0，求cos 21cos 2 sin 2的值解(1)f(x)cos(2x3) sin2xcos 2xcos3sin 2xsin31cos 2x21232sin 2x. 所以 f(x)的最小正周期为T22 ，最大值为132. (2)因为 f(2)0，所以1232sin 0，即 sin 33，

7、又 是第二象限角，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 所以 cos 1sin2 63. 所以cos 21cos 2 sin 2cos2 sin22cos2 2sin cos cos sin cos sin 2cos cos sin cos sin 2cos 63332 636326224. 热点二解三角形例 2在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足 a2sin A，cos Bcos C2acbc0. (1)求

8、边 c 的大小；(2)求 ABC 面积的最大值思维启迪(1)将cos Bcos C2acbc0 中的边化成角，然后利用和差公式求cos C，进而求c.(2)只需求 ab 的最大值，可利用cos Ca2b2c22ab和基本不等式求解解(1)cos Bcos C2acbc0，ccos B2acos Cbcos C0，sin Ccos Bsin Bcos C2sin Acos C0，sin A2sin Acos C0，sin A0，cos C12，C(0， ) C23，casin A sin C3. (2)cos C12a2b232ab，a2b2ab3，3ab3，即 ab1. SABC12absin

9、 C34. ABC 的面积最大值为34. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 思维升华三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从 “边 ”进行转化突破，实现“边” 或“角”的统一，问题便可突破几种常见变形：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，其中 R 为 ABC 外接圆的半径；(3)sin(AB)sin C，cos(AB) cos C. (1)ABC 的三个内

10、角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2A2a，则ba等于 () A.2 B22 C.3 D23 (2)(2014江西 )在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c.若 c2(ab)26，C3，则ABC 的面积是 () A3 B.932C.3 32D33 答案(1)A(2)C 解析(1)因为 asin Asin Bbcos2A2a，由正弦定理得sin2Asin Bsin Bcos2A2sin A，即sin B2sin A，即sin Bsin A2，basin Bsin A2. (2)c2(ab)26，c2a2b22ab6.C3，c2a2b22ab

11、cos 3a2b2ab.由 得 ab6. SABC12absin C12632332. 热点三正、余弦定理的实际应用例 3(2013 江苏 )如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径一种是从A 沿直线步行到C，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B，然后从 B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 50 m/min. 在甲出发 2 min 后，乙从A乘

12、缆车到 B，在 B 处停留 1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量cos A1213，cos C35. (1)求索道 AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？思维启迪(1)直接求 sin B，利用正弦定理求AB.(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t 的函数解(1)在ABC 中，因为 cos A1213，cos C35，所以 sin A513，sin C45. 从而 sin

13、 Bsin (AC)sin(AC) sin Acos Ccos Asin C513351213456365.由正弦定理ABsin CACsin B，得ABACsin Bsin C1 2606365451 040(m)所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A 处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)1213200(37t270t50)，由于 0t1 040130，即 0t 8，故当 t3537min 时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理BCsin

14、 AACsin B，得 BCACsin B sin A1 2606365513500(m)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 乙从 B 出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m 才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得 3500v710503，解得1 25043v62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min， 乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位： m/min

15、) 范围内思维升华求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东 60 方向的 B 地， 有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民此时，C 地位于中国海监船的南偏东45 方向的 10 海里处， 中国海监船以每小时

16、30海里的速度赶往C地救援我国渔民， 能不能及时赶到？(21.41，31.73，62.45) 解过点 A 作 ADBC，交 BC 的延长线于点D. 因为 CAD 45 ，AC10 海里，所以 ACD 是等腰直角三角形所以 ADCD22AC221052(海里 )在 RtABD 中，因为 DAB60 ，所以 BDADtan 605235 6(海里 )所以 BCBDCD(5 652)(海里 )因为中国海监船以每小时30 海里的速度航行，某国军舰正以每小时13 海里的速度航行，所以中国海监船到达C 点所用的时间t1AC30103013(小时 )，某国军舰到达C 点所用的时间t2BC13562135 2

17、.451.41130.4(小时 )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 因为130.4，所以中国海监船能及时赶到1求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”(3)再次观察代数式的结构特点2解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，

18、注意定理的灵活变形，如a2Rsin A，sin Aa2R(其中 2R 为三角形外接圆的直径)， a2b2c22abcos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于 ”和诱导公式可得到sin(AB)sin C，sin AB2cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等3利用正弦定理、 余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型真题感悟1(2013 浙江 )已知 R，sin 2cos 102，则 tan 2等于 () A.43B.34C34D43答案C 解析 sin

19、2cos 102，sin2 4sin cos 4cos2 52. 用降幂公式化简得：4sin 2 3cos 2 ，tan 2 sin 2cos 234.故选 C. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 2(2014 江苏)若 ABC 的内角满足sin A2sin B 2sin C，则 cos C 的最小值是 _答案624解析由 sin A2sin B2sin C，结合正弦定理得a2b 2c. 由余弦定理得cos Ca2b2c22aba

20、2b2a2b242ab34a212b22ab22ab234a212b22ab22ab624，故624cos C1，且 3a22b2时取“”故 cos C 的最小值为624. 押题精练1在 ABC 中，已知 tan AB2sin C，给出以下四个结论：tan Atan B1； 1sin Asin B2； sin2Acos2B1； cos2Acos2Bsin2C. 其中一定正确的是() ABCD答案D 解析依题意， tan AB2sin AB2cos AB22sin AB2cos A B22cos2A B2sin AB1cos ABsin C1cos AB sin C. sin C0， 1cos(

21、AB)1，cos(AB)0. 0AB ，AB2，即 ABC 是以角 C 为直角的直角三角形对于 ，由tan Atan B1，得 tan Atan B，即 AB，不一定成立，故不正确；对于 ， AB2，sin Asin Bsin Acos A2sin(A4)，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 1sin Asin B2，故 正确；对于 ， A B2，sin2Acos2Bsin2Asin2A2sin2A，其值不确定，故不正确；对于 ，

22、A B2，cos2Acos2Bcos2Asin2A1sin2C，故 正确2 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，q (2a,1)，p(2b c，cos C)，且 qp. (1)求 sin A 的值；(2)求三角函数式2cos 2C1tan C1 的取值范围解(1)q(2a,1)，p(2bc，cos C)且 qp， 2bc2acos C，由正弦定理得2sin Acos C2sin Bsin C，又 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，12sin Ccos Asin C. sin C0， cos A12，又0A ，A3，sin A32. (2)原

23、式2cos 2C1tan C112 cos2Csin2C1sin Ccos C12cos2C2sin Ccos Csin 2Ccos 2C 2sin(2C4)，0C23 ，42C41312 ，22sin(2C4)1，12sin(2C4)2，即三角函数式2cos 2C1tan C1 的取值范围为 (1，2(推荐时间： 60 分钟 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 一、选择题1 (2014 浙江 )为了得到函数ysin 3xco

24、s 3x 的图象，可以将函数y2cos 3x 的图象 () A向右平移4个单位B向左平移4个单位C向右平移12个单位D向左平移12个单位答案C 解析因为 ysin 3xcos 3x2sin(3x4) 2sin3(x12)，又 y2cos 3x2sin(3x2) 2sin3(x6)，所以应由y2cos 3x的图象向右平移12个单位得到2已知 (2，)，sin( 4)35，则 cos 等于 () A210B.7210C210或7 210D7210答案A 解析 (2， ) 4(34 ，54) sin( 4)35，cos( 4)45，cos cos( 4)cos4sin( 4)sin(4)452235

25、22210. 3在 ABC 中，若sin Csin A3，b2a252ac，则 cos B 的值为 () A.13B.12C.15D.14答案D 解析由正弦定理：casin Csin A3，由余弦定理： cos Ba2c2b22acc252ac2ac12ca54325414. 4(2013 陕西)设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b， c，若 bcos Cccos B精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - asin A

26、，则 ABC 的形状为 () A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定答案B 解析由 bcos Cccos Basin A，得 sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即 sin(BC)sin2A，所以 sin A1，由 0A ，得 A2，所以 ABC 为直角三角形5已知 tan 43，sin( )513，其中 ， (0， )，则 sin 的值为 () A.6365B.3365C.1365D.6365或3365答案A 解析依题意得sin 45，cos 35.注意到 sin( )5132(否则，若 2，则有 0 2，0sin sin( )，这与 “sin( )sin ”矛盾 )，

27、则 cos( )1213，sin sin( ) sin( )cos cos( )sin 6365. 6已知 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是a、b、c，且 tan B23a2 b2c2，BC BA12，则 tan B 等于 () A.32B.31 C2 D23 答案D 解析由题意得， BC BA|BC| |BA|cos Baccos B12，即 cos B12ac，由余弦定理，得 cos Ba2c2b22ac12ac? a2c2b21，所以 tan B23a2b2c223，故选 D. 二、填空题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

28、纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 7已知 tan 412，且2 0，则2sin2 sin 2cos 4 _. 答案2 55解析由 tan 4tan 11tan 12，得 tan 13. 又2 0，可得 sin 1010. 故2sin2 sin 2cos 42sin sin cos 22sin cos 22sin 2 55. 8在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知 a2c22b，且 sin Acos C3cos Asin C，则 b_. 答案4 解析由 sin Acos C3cos Asin

29、C 得：a2Ra2b2c22ab3b2c2a22bcc2R，a2b2c23(b2c2a2)，a2c2b22，解方程组：a2c22ba2c2b22，b4. 9已知 0 2 ，cos( 4)13，sin( )45，则 cos( 4)_. 答案82315解析因为 0 2 ，所以4 434，2 0，cos( )0. 因为 cos( 4)13，sin( )45，所以 sin( 4)223，cos( )35. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - -

30、- 所以 cos( 4)cos( ) ( 4) cos( )cos( 4) sin( )sin( 4) 3513452 2382315. 10 如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC， 现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B 处看索道 AC，发现张角 ABC120 ；从 B 处攀登 400 米到达 D 处，回头看索道AC，发现张角 ADC150 ；从 D 处再攀登800米方到达 C 处，则索道AC 的长为 _米答案40013 解析如题图，在 ABD 中，BD400 米，ABD120 .因为 ADC150 ，所以 ADB30 .所以 DAB 180 120 30 30 . 由正弦定理，可得BDsi

31、nDABADsin ABD. 所以400sin 30ADsin 120，得 AD400 3(米)在ADC 中， DC800 米，ADC 150 ，由余弦定理，可得AC2AD2CD22ADCDcosADC(4003)280022400 3800cos 150400213，解得 AC400 13(米)故索道 AC 的长为 40013米三、解答题11(2014 安徽 )设 ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是a，b，c，且 b3，c1，A2B. (1)求 a 的值；(2)求 sin A4的值解(1)因为 A2B，所以 sin A sin 2B2sin Bcos B. 由正、余弦定理得a2ba

32、2c2b22ac. 因为 b3，c1，所以 a212，a23. (2)由余弦定理得cos Ab2c2a22bc9112613. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 由于 0A0)的最小正周期是.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)求 f(x)在8，38上的最大值和最小值解(1)f(x)4cos x sin(x 6)1 23sin xcos x2cos2x1 3sin 2 xcos 2 x2sin(2 x6)最小正周期是22 ，

33、所以， 1，从而 f(x)2sin(2x6)令22k 2x622k ，kZ. 解得6k x3k ，kZ. 所以函数 f(x)的单调递增区间为6k ，3k ( kZ)(2)当 x8，38时，2x612，712，f(x)2sin(2x6)622，2，所以 f(x)在8，38上的最大值和最小值分别为2，622. 13已知角 A、B、C 是ABC 的三个内角，若向量m(1cos(AB)，cosAB2)，n(58，cosAB2)，且 m n98. (1)求 tan Atan B 的值；(2)求absin Ca2b2c2的最大值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢

34、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 解(1)m n5858cos(AB)cos2AB29818cos Acos B98sin Asin B98，cos Acos B9sin Asin B 得 tan Atan B19. (2)tan(AB)tan Atan B1tan Atan B98(tan Atan B)98 2tan Atan B34. ( tan Atan B190，A，B 均是锐角，即其正切值均为正) absin Ca2b2c2sin C2cos C12tan C12tan(AB)38，所求最大值为38. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -