2022年浅谈数形结合思想在中学数学解题中的应用.docx

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1、精品学习资源业论文的应用王爱峰副教授 /博士毕学生陈碧玉学号161001049学院数学科学学院专业数学与应用数学题目浅谈数形结合思想在中学数学解题中欢迎下载精品学习资源指 导 教 师姓名专业技术职称 /学位2021年 05月欢迎下载精品学习资源摘 要:数形结合是中学数学中一种非常常见且重要的数学思想之一.利用数形之间的相互转化，可以化繁为简、化难为易、化抽象为详细，从而到达简洁明白的解题成效.本文主要探讨了数形结合思想在集合、函数、方程、几何、三角函数、线性规划、复数问题中的应用 .关键词 :数形结合 , 线性规划，复数，应用欢迎下载精品学习资源Abstract:The combination

2、 of number and shape is one of a very common and importantmathematical thought in middle school mathematics. Using mutual conversion between numberand form, we can make hard problems simple and easy and turn the abstract to the concrete. In this paper, we mainly discuss the combination of number and

3、 shape in collectio、n functions、equations、geometry、trigonometric functions、linear programming and complex number.Keywords:the combination of number and shape, linear programming,complex number,application欢迎下载精品学习资源目录1前言42数形结合思想在中学数学中的应用52.1数形结合思想在集合中的应用 52.2数形结合思想在函数中的应用 62.3数形结合思想在方程与不等式中的应用 112.4数

4、形结合思想在三角函数中的应用132.5数形结合思想在中学几何中的应用142.6数形结合思想在线性规划中的应用152.7数形结合思想在复数中的应用 16结 论 18参考文献 19致 谢20欢迎下载精品学习资源1 前言数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动产生的结果，它是对数学事实和数学理论经过概括后产生的本质熟悉.基本数学思想就是应当表达于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想.中学阶段的基本数学思想包括：分类整合思想、归纳推理思想、数形结合思想、函数思想、方程思想、整体思想、分类争论思想、转化思想、类比思想、抽样统计思想等.在中学阶段的数学教学中时时

5、刻刻都渗透着这些基本数学思想，假如老师能够将这些基本的思想真正落实到课堂学习中，那么它就能够进展同学学习数学的才能.本文主要探讨了这些基本数学思想中的数形结合思想，它是一种非常重要且常见的思想方法之一，贯穿于整个中学数学的教学过程 .我国闻名数学家华罗庚曾经说过：数与形，本是相依倚，焉能分作两边飞；数无形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，欢迎下载精品学习资源永久联系切莫别离1 .这就说明数与形是紧密联系、 不行分割的 . 而数形结合主要是指数学欢迎下载精品学习资源语言与几何图形之间一一对应的关系 .数形结合思想的实质就是通过数学语言与几何图形之间

6、的相互转化，把抽象的数量通 过抽象化的方法，转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发觉数量之间存在的内在 联系，解决数量关系的数学问题; 或者是把关于几何图形的问题，用数量或方程等来表示，欢迎下载精品学习资源从它们的结构争论几何图形的性质和特点2 .数形结合思想可以使某些抽象的不易于理欢迎下载精品学习资源解的数学问题生动直观，能够变抽象问题为形象问题，便于同学把握数学问题的本质.此外，借助数形结合的方法使得许多抽象的问题迎刃而解.这种思想的应用非但可以培育同学的自己观看摸索、综合运用各种学问的才能，而且仍培育了同学的自主创新的才能，增强了同学发散性思维的才能 .数形结合思想作为一种基本的数学

7、思想，其应用一般可以分为以下两种情形：第一种 情形就是“以数解形”，而其次种情形就是“以形助数”.“以数解形”就是将“形”的问题转化为用数量关系去解决，运用代数，函数学问进行争论，它是将技巧性极强的的推 理论证转化为可操作的代数运算，起到了化难为易的作用.“以形助数”顾名思义就是将“数”的问题转化为图形的问题来解决，直观生动，便于懂得和解题.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要留意三点：第一是明白概念和运算的几何意义，对于题目中的的条件和结论既分析其代数意义又要分析其几何意义；其次是恰当设欢迎下载精品学习资源立参数、合理运用参数，建立正确关系，做好数与形的相互转化；第三是正确确定参数的取值范

8、畴 .下面我将详细从这几个方面来探讨数形结合思想在中学数学解题中的应用 . 1 在集合问题中的应用 . 2 在函数问题中的应用 . 3 在方程、不等式问题中的应用 .4 在三角函数问题中的应用 . 5 在几何问题中的应用 . 6 在线性规划问题中的应用 . 7 在复数问题中的应用 . 通过对这些例题的分析讲解充分呈现数形结合思想在中学数学解题中的特点，从而将数形结合思想运用到实际教学中 .2 数形结合思想的应用数形结合思想在集合中的应用在集合运算问题中，当所给问题的数量比较复杂，不好找线索时，我们经常要借助数轴、韦恩图来处理集合中的交、并、补等运算，利用直观的图形，从而使问题更加简化， 运算更

9、加快捷 .欢迎下载精品学习资源例 1已知集合 A x | x23x40 , Bx 10 x，就 AB 等于多少 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解 如图 1. 集合 A 的解集为 A x |4x0, 集合 B 的解集为 B x x0 ，所以欢迎下载精品学习资源AB x | 0x1 .432101欢迎下载精品学习资源例 2 3 图 1某班有 48 个同学，每人至少参与一个活动小组，参与数、理、化的人数分别欢迎下载精品学习资源为 28,25,15，同时参与数、理小组有 8 人，同时参与理、化的有 6 人，同时参与数、化的有 7人，问同时参与数、理、化的有多少人 .分析此题中， 我们可以用

10、 A、B、C 三个圆分别表示参与数、 理、化的人如图 2，就三个圆的公共部分就是表示同时参与数、理、化三个活动小组的人数.假设用 n 来表示欢迎下载精品学习资源集合中的元素，就有n An BnCn ABn ACn BC n ABC 48 ，即282515867n ABC48 ，所以n ABC1 ，因而同时参与数、理、化活动小组的有1人.数理化图 2数形结合思想在函数中的应用利用函数图像来争论函数的性质是一般常见的数学方法之一. 函数图像的几何特点和数量特点紧密结合，表达了数形结合的特点和方法.利用函数图像的直观性来争论函数的最值问题，求解变量的取值范畴，运用数形结合思想考察转化才能，规律思维才

11、能，是函数教学中的重要内容之一 .欢迎下载精品学习资源例 3假设函数 fx 是定义在 R 上的偶函数，在 ,0 上是减函数，且f 20 ，求欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f x0 的x 的取值范畴 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解 由于 fx 是定义在 R上的偶函数，所以 yf x 关于 y 轴对称，又由于 yf x 在欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源,0 上为减函数，且f 2f 20 ，因此可以作出图 3, 所以由图像性质可知欢迎下载精品学习资源f x0 ，欢迎下载精品学习资源所以x2,2 .y202x欢迎下载精品学习资源例 4求函数 yx 21图 3x 24x

12、8 的最小值 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分析观看 yx 21x24x8 的特点，直接从代数方面求解，同学很难解答.欢迎下载精品学习资源此题中，我们需要借助数形结合的思想，以此思想为转化手段，让同学奇妙地使用两点间的距离公式 .欢迎下载精品学习资源解x 21x 24x8 x0 2012x2 202 2 .欢迎下载精品学习资源令 A0,1 ， B 2,2 ， P x,0 ，就问题转化为在 x 轴上求一点 P ，使 PAPB 有最小值 .yBA0PxC图 4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源CB如图 4 所示，由于 AB 在 x 轴同侧，故 取 A 关于 x 轴的对称点C 0,

13、1 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因此PAPBmin20 221 213 .欢迎下载精品学习资源例 5函数 fxx2ax3，当 x2,2 时，f xa 恒成立，求 a 的取值范畴 .欢迎下载精品学习资源分析此题是二次函数问题中典型的“轴变区间定”问题. 依据函数解析式画出函数图像，分情形争论，思路清晰，不易出错.解 由解析式知，函数的对称轴为 xa .2欢迎下载精品学习资源1 当 a2 ，即 a24 时 图 5 ， fx 在2,2 上单调递增，所以 当x2 时，有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f x minf 22a7 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源依题意得即

14、2a7a ，欢迎下载精品学习资源a7 ，3所以a 不存在.y欢迎下载精品学习资源f xx2ax3欢迎下载精品学习资源202xax2欢迎下载精品学习资源2 当2a 22 ，即 4a图 64 时图 6， fx 在2,a上单调递减， 在2a ,2当2欢迎下载精品学习资源xa 时，有2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f xminfa23a 24.依题意得3a 24a ,即6a2 ,所以4a2 .yf xx2ax3202xxa2图 63a当2 ，即 a4 时图 7， fx 在2,2 上单调递增 , 所以 当 x2 时，有2依题意得f x minf 22a7 .欢迎下载精品学习资源2a7a ,即a

15、7 ,所以7a4 .欢迎下载精品学习资源yfxx 2ax3202xxa2图 7综上所述a7,2 .欢迎下载精品学习资源例 6在平面直角坐标系 xOy 中，假设曲线 y公共点, 求实数 k 的取值范畴 .11xx与直线 y xxkx1 有四个欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解 由题意得， yx1xx1 是偶函数，且x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 ,x2x,y2x,x1,1x0,0x1,欢迎下载精品学习资源作出曲线的图像如图82 ,x1,x欢迎下载精品学习资源y2ykx10x2欢迎下载精品学习资源当k0 时，直线 y图 8kx1 与曲线 yx1xx1 有四个公共点；当 kx0

16、 时，要使它们欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源有四个公共点，就需 ykx1 与 y2xxkx11 有一个公共点，此时2 ，x欢迎下载精品学习资源即方程kx 2x20 有两个相等的实数解，从而欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故当k0 时，依据对称性可得18k0 ，1k；8欢迎下载精品学习资源从而满意条件的 k 的取值范畴是k1 ；811,0,.88欢迎下载精品学习资源数形结合思想在方程与不等式中的应用许多情形下，我们在处理一些不能使用常规方法来解答的复杂方程时，通常把方程根 的问题看作两个函数的交点问题，通过作图就可以很好地解答出来.处理不等式的问题时，依据题目的条件和结论，画出

17、图形，将图形和联系题目中的相关函数相互结合，重点分析其几何意义，揭示图形所包蕴的数量关系，借助图形探求其解题思路.欢迎下载精品学习资源例 7 4 设方程 x21k ，试争论 k 取不同范畴的值时其不同解的个数的情形.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2解 可以将题设问题转化为确定两个函数yx 21 与 y2k 图像交点个数的情形的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12问题图 9.由于函数 y2k 始终表示全部平行于 x 轴的直线， 而分段函数y1x1 可欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源以先表示为函数 y1x21 ，再画出 yx1 的图像，进一步画出函数 y1x21 的图像，

18、欢迎下载精品学习资源1从而由图像可以直接看出y11O1x1图 9欢迎下载精品学习资源(1) 当 k(2) 当 k0 时，0 时，y1 , y2 没有交点，这时原方程无解；y1 , y2 有两个交点，原方程有两个不同的解，分别是x1 与x1；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(3) 当 0k1 时，y1 , y2 有四个不同的交点，原方程有四个不同解；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(4) 当 k(5) 当 k1 时，1 时，y1 , y2 有三个交点，原方程有三个不同解；y1 , y2 有两个交点，原方程有两个不同解 .欢迎下载精品学习资源通过图像我们可以清晰地看出 k 在不同范

19、畴内两个函数交点的个数，化繁为简，提高解题的效率 .欢迎下载精品学习资源例 8设 x0, y0, z0 ，求证： x 2xyy 2y 2yzz 2z2zxy 2 .欢迎下载精品学习资源证明这是一个代数不等式的证明问题，已知条件简洁，难以下手.但是由问题中的欢迎下载精品学习资源代数式的结构自然地联想到三角形余弦定理，所以x 2xyy 2x2y 22xycos60.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又由于 x0 ， y0 ，所以 x 2y 22xy cos60可以表示是以x, y 为边，60 为其夹角欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源的三角形的第三边 .同理y2yzz2 ， z2xzx

20、 2也有类似的几何意义 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源于是构造出如图 10 的四周体 VABC ，使V欢迎下载精品学习资源AVB且VABVCx,VBCVAy,VC60 ，xzz ,欢迎下载精品学习资源由余弦定理得y欢迎下载精品学习资源ABx2同理y 22xycos60x 2xyy 2 .AC欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源BCCAz 2y2yzz2 , zxx 2 .B图 10欢迎下载精品学习资源在 ABC 中 ABBCCA ，所以原不等式成立 .欢迎下载精品学习资源例 9解关于 x 的不等式log a x1log a x1 0a1.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源

21、解 设 f x令log a x1 ， g xlog a x1 ，欢迎下载精品学习资源f xg x ，x2 .欢迎下载精品学习资源在同始终角坐标系中分别作出函数f x 和函数g x在 0a1时的图像，如图 11 所示欢迎下载精品学习资源y211O12x图 11欢迎下载精品学习资源当 x2 时，f x 和g x的函数值相等；当x2 时，f xg x ；当 x2 时，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f xg x . 从而可知原不等式的解是x2 .欢迎下载精品学习资源数形结合思想在三角函数中的应用欢迎下载精品学习资源数形结合思想是处理三角函数有关问题的重要思想方法, 通常有两个形式：一是利用单

22、位圆解决角的范畴或三角不等式问题；二是利用三角函数图像求方程解的个数问题，或已知方程解的个数，求方程中的字母参数的范畴问题 5 .例 10设 x,42. 求证 csc xcot x21 .证明BC AB由题设条件可以构造一个等腰直角三角形ABC ，如图 12，设CDBx ，ABDC1 , 就 AC2 . 因 为 cscxDC ， cot x2 ，因此 csc xDB ， 又 DCADAC , 所 以DBAC ，故 csc x1cot xcot x21.CxADB图 12数形结合思想在几何中的应用几何的特点是代数与几何相结合，处理几何问题的一般方法就是利用数形结合的思想，观看直线， 圆和圆锥曲线

23、在直角坐标系中图像的特点， 从图形中获得解答问题的思路 .例 11如图 13，双曲线x2y 21 的左右焦点分别是 F1 , F2 ， P 是双曲线上任意的一4915点， Q 是 PF2 的中点，且到 O 点距离为 4 ，求点 P 到此双曲线左准线的距离 .欢迎下载精品学习资源y欢迎下载精品学习资源F1OPQF 2x欢迎下载精品学习资源图 13欢迎下载精品学习资源解 由题意知，双曲线的离心率 e8，连接 P ， F1 两点和 O ， Q 两点，可知线段 OQ7欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源是 F1F2 P 的中位线，由于 OQ4 ，所以F1 P8 ，因而点 P 到双曲线左准线的距离就

24、是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源8e88764 .7欢迎下载精品学习资源数形结合思想在线性规划中的应用敏捷运用数形结合的思想是解决线性规划问题的关键，利用数形结合思想奇妙地将代数问题转化为几何问题，借助所画的图像直观生动地来阐明数量的关系.x y0,2 xy2,例 12假设不等式组所表示的平面区域是一个四边形， 求实数 a 的取值范欢迎下载精品学习资源y 0,xya围.x y0,2 xy2,欢迎下载精品学习资源解如图 14, 可以作出上述不等式组y0,xya中的前三个不等式所表示的平面区欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源域，其中O0,0 ，A1,0 ，B2 , 2分别为此平面区

25、域的三个顶点， 只有在直线 2 xy 2 和欢迎下载精品学习资源33欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源最终一个不等式 xya 的交点处于A, B 两点之间时，x y2 xy0,2,所表示的平面区域才是欢迎下载精品学习资源一个四边形，而此时 1a4 .3y 0,xya欢迎下载精品学习资源y欢迎下载精品学习资源2 xy22xy0欢迎下载精品学习资源BxyaOAx图 14数形结合思想在复数中的应用将复数在平面上表现出来，复数就有了几何意义，与点对应，与向量对应，从而建立了复平面；一般解决复数问题，总是由复数联想到三角，几何等学问，将它们联系起来， 不仅可便于懂得、把握复数方面的问题，而且仍能够

26、提高分析问题、解决问题的才能.欢迎下载精品学习资源例 13设arg z2， arg z235，求复数 z .6欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解 依据复数的几何意义， 可作出如图 15 所示的图形， OA为 zz 2 .2 ，OC 为z ，OB 为欢迎下载精品学习资源由于 AOB56，且点 C 是 AB 的中点，所以32欢迎下载精品学习资源OC12即ABBC2 ，z2 ，欢迎下载精品学习资源所以 COBB 由于 BC 平行于 x 轴，所以COBB5，66欢迎下载精品学习资源所以arg z5662，3所以z2 cos120i sin 12013i .yBCAOx图 15欢迎下载精品学习资

27、源结 论由上述的例子可知，数形结合是中学数学解题中重要的思想方法之一，并且有着广泛的应用 . 在学习过程中，培育同学的这种思想意识，稳固此方法的应用，不仅能优化解题思路，仍能使同学的创新意识得到培育，加强同学综合运用的才能；在平常的学习和争论中我们要不断培育同学的这种思维意识，将图形与代数有机的结合起来，也要留意培育同学数形结合思想方法的思维意识，老师要深层次地挖掘教材内容，将数形结合思想详细地渗透到实际问题中来， 在寻求解决问题的方法中， 让同学正确懂得数与形紧密相连的关系，使之有机地结合起来 . 让同学真正做到心中有图，图中有数，利用数形结合思想简明答题， 做到学以致用 .欢迎下载精品学习资源参考文献1M.陕西: 陕西师范高校出版社 . J.训练争论， 2007,12:129.3J.理科考试争论高中版,2021, 209:22.4 廖冬梅 .数形结合思想在高中数学中的应用J.读写算训练教学争论 , 2021,71:69-70.5 孙志杰 .浅谈数形结合思想在三角函数中的运用J.才智， 2021,30:151-152.欢迎下载