2022年二轮复习专题八第3讲分类讨论思想.pdf

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1、第 3 讲分类讨论思想1 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割 )成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题 (或基础性问题 )，优化解题思路，降低问题难度2分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等(3)

2、由数学运算要求引起的分类讨论如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用3分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免或

3、尽量推迟，决不无原则地讨论4解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论(2)对所讨论的对象进行合理的分类(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决(4)归纳总结，将各类情况总结归纳. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 热点一由数学概念、性质、运算引起的分类讨论例 1(1)(2014 浙江 )设函数f(x)x2x，x3，2x31， x3满足 f(a)3，则 f(a5)的值为 () Alog23 B.

4、1716C.32D1 (2)已知数列 an 的前 n 项和 Snpn1(p 是常数 )，则数列 an 是() A等差数列B等比数列C等差数列或等比数列D以上都不对答案(1)C(2)D 解析(1)分两种情况分析，a32a313或者a3log2a1 3，无解，由 得， a7，所以 f(a5)223132，故选 C. (2)Snpn1，a1p1，anSnSn1(p1)pn1(n2)，当 p1 且 p0 时， an是等比数列；当 p1 时， an是等差数列；当 p0 时， a1 1，an0(n2)，此时 an既不是等差数列也不是等比数列热点二由图形位置或形状引起的讨论例 2(1)不等式组xy30，xy

5、0，x2表示的平面区域内有_个整点 (把横、纵坐标都是整数的点称为整点)(2)设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T 上存在点P 满足 |PF1|F1F2| |PF2|432，则曲线 T 的离心率为 _精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 答案(1)20(2)12或32解析(1)画出不等式组表示的平面区域(如图 )结合图中的可行域可知x32，2，y2,5由图形及不等式组，知xyx3，32x2，且xZ.当 x1 时， 1y2

6、，有 2 个整点；当 x0 时， 0y3，有 4 个整点；当 x1 时， 1y4，有 6 个整点；当 x2 时， 2y5，有 8 个整点；所以平面区域内的整点共有246820(个)(2)不妨设 |PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF1| |PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，eca2c2a3t6t12；若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，eca2c2a3t2t32. 所以圆锥曲线T 的离心率为12或32. 思维升华求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论一

7、般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化(1)已知变量 x， y 满足的不等式组x0，y2x，kxy10表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于 () 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - A12B.12C0 D12或 0 (2)设 F1，F2为椭圆x29y241 的两个焦点，

8、P 为椭圆上一点已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|的值为 _答案(1)D(2)2 或72解析(1)不等式组x0，y2x，kx y10表示的可行域如图(阴影部分 )所示， 由图可知若不等式组x0，y2x，kxy10表示的平面区域是直角三角形，只有直线ykx1 与直线 x0 垂直 (如图)或直线 ykx1 与直线 y2x 垂直 (如图 )时，平面区域才是直角三角形由图形可知斜率k 的值为 0 或12. (2)若 PF2F190 ，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，|PF1|PF2|6，|F1F2|25，解得 |PF1|143，|PF2|

9、43，|PF1|PF2|72. 若F2PF190 ，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2|PF1|2(6|PF1|)2，解得 |PF1|4，|PF2|2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - |PF1|PF2|2.综上所述，|PF1|PF2|2 或72. 热点三由参数引起的分类讨论例 3(2014 四川改编 )已知函数f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设 g(x)是函数 f(x)的导函数，

10、求函数g(x)在区间 0,1 上的最小值解由 f(x) exax2bx1，有 g(x)f(x)ex2axb. 所以 g(x)ex2a. 因此，当 x0,1时，g(x)12a，e2a当 a12时， g(x)0，所以 g(x)在0,1上单调递增，因此 g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当 ae2时， g(x)0，所以 g(x)在 0,1上单调递减，因此 g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；当12ae2时，令 g(x)0 得 xln(2a)(0,1)，所以函数 g(x)在区间 0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2 a)，1上单调递增于是， g(x)在0,1 上的最小值是g(

11、ln(2a)2a2aln(2a)b. 综上所述，当a12时， g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当12a 1)，所以 f(x)1x1a x1 axx12x1ax12. 当 a0 时，因为 x1，所以 f(x)0，故 f(x)在(1， )上单调递增当 a0 时，由f x 1，得 1x0，x1，得 x1a，故 f(x)在(1a，)上单调递增综上，当 a0时，函数f(x)在( 1，)上单调递增；当 a1 和 0a1 的讨论；等比数列中分公比q1 和 q1 的讨论(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论(6)立体几何：点线

12、面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b 0 和 b 0 的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论(8)排列、组合、概率中的分类计数问题(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等真题感悟1(2014 课标全国 )钝角三角形ABC 的面积是12，AB1，BC2，则 AC 等于 () A5 B. 5 C2 D 1 答案B 解析 SABC12AB BC sin B1212sin B12，sin B22，B4或34. 当 B34时，根据余弦定理有AC2AB2BC22AB BC cos B1 225，所以 AC5，此时 ABC 为钝角

13、三角形，符合题意；当 B4时，根据余弦定理有AC2AB2BC22AB BC cos B12 21，所以 AC1，此时 AB2AC2BC2， ABC 为直角三角形，不符合题意故AC5. 2(2013 安徽)“ a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间 (0， )内单调递增”的() A充分不必要条件B必要不充分条件精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案C 解析当 a0时， f(x)|(ax1)x

14、|x|在区间 (0， )上单调递增；当 a0 时，结合函数f(x) |(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0， )上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示所以，要使函数f(x)|(ax1)x|在(0， )上单调递增只需a0. 即“a0”是“函数 f(x)|(ax1)x|在区间 (0， )内单调递增 ”的充要条件3(2014 广东)设集合A( x1，x2，x3，x4，x5)|xi 1,0,1 ，i1,2,3,4,5，那么集合A 中满足条件“ 1 |x1|x2|x3|x4| |x5|3”的元素个数为() A60 B90 C120 D 130 答案D 解析在 x1，x2， x3，x4， x5这

15、五个数中， 因为 xi 1,0,1 ，i1,2,3,4,5，所以满足条件1 |x1|x2|x3|x4|x5|3 的可能情况有 “ 一个 1(或 1)，四个 0，有 C152 种；两个 1(或1)，三个 0，有 C252 种； 一个 1，一个 1，三个 0，有 A25种； 两个 1(或 1)，一个1(或 1)，两个 0，有 C25C132 种；三个 1(或 1)，两个 0，有 C352 种故共有C152C252A25C25C132C352130(种)，故选 D. 押题精练1 已知函数f(x)ax21，x0，a2 eaxx0，函数 f(x)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

16、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 在两段上都是单调递增的，要使函数在R 上单调递增，只要(a2)e01，即 a1，与 a0矛盾，此时无解若2a0，则函数在定义域的两段上都是单调递减的要使函数在R 上单调递减，只要a21 即 a1，即 1a0)的焦点为F，P 为其上的一点， O 为坐标原点，若OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为 () A2 B3 C4 D6 答案C 解析当 |PO|PF|时，点 P 在线段 OF 的中垂线上， 此时，点 P 的位置有两个； 当|OP|OF|时，点

17、P 的位置也有两个；对|FO|FP|的情形，点P 不存在事实上，F(p,0)，若设 P(x，y)，则|FO|p，|FP|xp2y2，若xp2y2p， 则有 x22pxy20，又 y24px，x22px0，解得 x0 或 x 2p，当 x0 时，不构成三角形当x 2p(p0)时，与点P 在抛物线上矛盾所以符合要求的点P 一共有 4 个46 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品已知 6 位同学之间共进行了13 次交换， 则收到 4 份纪念品的同学人数为 () A1 或 3 B1 或 4 C2 或 3 D 2 或 4 答案D 解析设

18、6 位同学分别用a，b，c，d，e，f 表示若任意两位同学之间都进行交换共进行15 次交换，现共进行了13 次交换，说明有两次交换精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 没有发生，此时可能有两种情况：(1)由 3 人构成的 2 次交换， 如 ab 和 ac 之间的交换没有发生，则收到 4 份纪念品的有b，c 两人(2)由 4 人构成的 2 次交换， 如 ab 和 ce 之间的交换没有发生，则收到 4 份纪念品的有a，b，c，e 四人故

19、选D. 5已知等差数列an的前 3 项和为 6，前 8 项和为 4. (1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bn(4an)qn1 (q0，nN*)，求数列 bn的前 n 项和 Sn. 解(1)设数列 an的公差为 d，由已知，得3a13d6，8a128d 4，解得a13，d 1.故 an 3(n1)4n. (2)由(1)可得 bnn qn1，于是 Sn1 q02 q13 q2n qn1. 若 q1，将上式两边同乘q，得qSn1 q12 q2(n1) qn1n qn. 两式相减，得 (q1)Snnqn1q1q2qn1nqnqn1q1nqn1 n1 qn1q1. 于是， Snnqn1 n1 q

20、n1q12. 若 q1，则 Sn123nn n12. 综上， Snn n12q1 ，nqn1 n1 qn1q12q1 .6已知函数f(x)(a1)ln xax21，试讨论函数f(x)的单调性精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 解由题意知 f(x)的定义域为 (0， )，f(x)a1x2ax2ax2a1x. 当 a0 时， f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增当 a1 时， f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减当 1a0；当 xa12a， 时， f(x)0. 故 f(x)在0，a12a上单调递增，在a12a，上单调递减综上，当 a0时， f(x)在(0，)上单调递增；当 a1 时， f(x)在(0， )上单调递减；当 1a0 时，f(x)在0，a12a上单调递增，在a12a， 上单调递减精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -