2022年泛函分析课程总结.docx

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1、泛函分析课程总结数学与运算科学学院09 数本 5 班符翠艳2022224524序号：26 一学问总结第七章度量空间和赋范线性空间1. 度量空间的定义： 设 X 是一个集合, 如对于 X 中任意两个元素 x, y ,都有唯一确定的实数 d x, y 与之相对应,而且满意第 16 页,共 12 页1、dx, y0, d x, y0的充要条件是x=y;2、d x, yd y, x ;3、dx, yd x, zd z, y , 对任意z都成立；就称 d 为 X 上的一个度量函数,（ 的度量；2. 度量空间的例子X , d）为度量空间,d x, y 为 x, y 两点间离散的度量空间 X, d设 X 是

2、任意的非空集合,对 X 中任意两点 x, yX ,令序列空间 Sd x, y1,当xy0,当xy令 S表 示 实 数 列 （ 或 复 数 列 ） 的 全 体 , 对 S中 任 意 两 点x1,2,.,n,. 及y1, 2 ,.,n ,. ,令有界函数空间 B（ A）dx, y1ii i21i 1ii设 A 是一给定的集合,令 B（A ）表示 A 上有界实值（或复值）函数全体,对 B（ A）中任意两点可测函数空间 mXx, y ,定义dx, ysup xtt Ayt设 mX 为 X 上实值（或复值）的 L 可测函数全体,m 为 L 测度,如 m X,对任意两个可测函数 f t 及gt ,令f t

3、gt df , gdtX 1f tgt C a, b 空间令C a, b 表示闭区间a, b 上实值（或复值）连续函数的全体,对C a,b 中任意两点 x, y,定义dx, ymaxa t bxtytl l 2 空间记l 2xxkxkk 1,设 xxl 2 , yy2 ,定义d x, y注：度量空间中距离的定义是关键；3. 度量空间中的极限,稠密集,可分空间3.1 收敛点列和极限1kk22 ykxk k 1定义： 设 xn是X, d中的点列,假如存在 xX ,使 nlimd xn , x0 ,就称点列xn是X, d 中的收敛点列, x 是点列xn 的极限；注： 1.度量空间 X , d中的收敛

4、点列的极限是唯独的；2. 各个度量空间中各种极限概念不完全一样（依坐标收敛,一样收敛；依测度收敛等）3.2 度量空间中稠密子集和可分度量空间定义：设 X 是度量空间, E 和 M 是 X 中两个自己,令 M 表示 M 的闭包,假如 EM ,那么称 M 在集 E 中稠密,当 E =X 时称 M 是 X 的一个稠密子集；假如 X 由一个可数的稠密子集,就称X 是可分空间；p注： 1.如 A 在 B 中稠密, B 在 C 中稠密,就 A 在 C 中稠密；2. 欧氏空间 Rn、空间 Ca,b、空间3. l不行分；4. 完备度量空间4.1 柯西点列L p a,b, l是可分的；定义：设XX , d 是度

5、量空间,xn是 X 中的点列,假如对任意给定的正数0 ,存在正整数 NN ,使当 n,mN 时,必有d xn, xm就称 xn是 X 中的柯西点列；那么称X , d是完备的度量空间；4.2 完备度量空间的例子 l是完备度量空间 C 是完备度量空间 C a, b是完备度量空间4.3 定理的证明定理：完备度量空间 X 的子空间 M 是完备空间的充要条件为M 是 X 中的闭子空间；证明： 设 M 是 完备 子空间, 对每 个 xM , 存在 M 中 点 列 xn, 使xnx n ,由前述,xn是M 中的柯西点列,所以在 M 中收敛,有极限的唯独性可知 xM ,即 MM ,所以 MM ,因此 M 是

6、X 中的闭子空间；5. 度量空间的完备化5.1 等距同构映射定义：设X ,d,X , d是两个度量空间, 假如存在 X 到X 上的保距映射 T,即d Tx, Tydx, y,就称X, d 和X , d等距同构, T 称为 X 到 X 上的等距同构映射；5.2 度量空间的完备化定理定理：设 X X , d 是度量空间,那么肯定都肯定存在一个完备空间X , d,使 X 与 X 的某个稠密子空间 W 等距同构；并且X 在等距同构的意义下时唯独的,即 X , d 也是一完备度量空间,且X 与X 的某个稠密子空间等距同构,就X , d与 X , d 等距同构；注：任一度量空间X, d 都存在唯独的完备度

7、量空间X , d,使 X 为X 的稠密子空间；6. 压缩映射6.1 压缩映射定义：设 X 是度量空间,T 是 X 到 X 中的映射,假如存在一个数,01 ,使得对全部的 x, yX ,d Tx,Tyd x, y ,就称 T 是压缩映射6.2 压缩映射定理（1）00n定理：设 X 是完备的度量空间, T 是 X 上的压缩映射,那么 T 有且只有一个不动点（就是说,方程 Txx ,有且只有一个解） ；证明：设x0 是 X 中任意一点,令 x1Tx0 ,x2Tx1T 2 x ,., xTxn 1T n x ,. ；我们证明点列 xn是 X 中柯西点列,事实上,d xm1, xmd Txm ,Txm

8、1d xm , xm 1d Txm1,Txm 22d x1, xm 2（2）m.m d x , x 10由三点不等式,当 nm 时,d xm , xn d xm , xm 1d xm1, xm2 .d xn1, xnmm 1.n 1 d x0, x1m .1n md x, x .因 01,所以 1011n m1 ,于是得到d xm , xnmd x0, x11（nm）3所以当 m, n时,d xm , xn0 ,即xn是 X 中柯西点列,由 X 完备,存在 xX ,使 xmx m ,又由三点不等式和条件（ 1）,我们有d x,Txd x, xm d xm, Txd x, xm d xm1, x

9、.上面不等式右端当 m时趋于 0,所以 d x,Tx0, 即Txx下证唯独性；假如又有xX , 使T xx ,就由条件（ 1）,d x, xd Tx, T xd x, x.因1,所以必有d x, x0 ,即x x ；注： 1.X 是完备的度量空间2.T 是压缩映射3. 压缩定理可以推导出隐函数存在定理4. 压缩映射原理可以证明常微分方程解得存在性和唯独性定理7. 赋范线性空间和巴拿赫空间7.1 赋范线性空间定义：设 X 是实（或复）的线性空间,假如对每个向量xX ,有一个确定的实数,记为x 与之对应,并满意1. x0,且 x0等价于x0;2. xx , 其中 为任意实（复）数；3. xyxy

10、, x, yX.就称 x 为向量 x 的范数,称 X 按范数 x 成为赋范线性空间；设 xn是 X 中点列,假如存在 xX ,使 xnx0n ,就称xn依范数收敛于 x ,记为 xnx n或lim xnnx；假如令dx, yxy x,y X 即 xn依范数收敛于 x 等价于xn按距离d x, y 收敛于 x ,称d x,y 为由范数x 导出的距离；注：完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间7.2 几种常见的巴拿赫空间欧式空间 Rn对每一个 x1, 2,.,nRn ,定义范数222.x12n（1）又因 Rn 完备, x 是Rn 中范数；故 Rn 按（ 1）式中范数成为巴拿赫空间；空间 C a, b对每

11、一个 xC a,b,定义xmaxa t bxt （ 2）C a, b 按（ 2）式中的范数成为巴拿赫空间；空间 l对每一个 x1, 2,.,l,定义xsupj j（3）l按（ 3）式中的范数成为巴拿赫空间；空间 Lp a, b p1对于每个fLpa, b ,定义1bppff t padt（4）Lp a, b p1 按（ 4）式中的范数成为巴拿赫空间；空间 l p对每一个 x1, 2,.,l p ,定义1pp1px（ 5）i 1l p 按（ 5）式中的范数成为巴拿赫空间；7.3 两个重要的不等式和两条定理1霍尔德不等式设 p1,111,pqfLpa,b , gLp a, b ,那么f t gt

12、在a, b 上L 可积,并且（ 2）闵可夫斯基不等式bf t g t dtfapg q设 p1,f , gLpa,b ,那么fgLpa,b ,并且成立不等式f tgt pf pg p定理 1：当 p1时, Lpa,b 按（ 4）式中范数fp 成为赋范线性空间；定理 2： Lpa,b p1 是巴拿赫空间7.4 有限维赋范线性空间的性质定理 3：设X 是 n 维赋范线性空间,e1, e2,., en是 X 的一组基,就存在常数M 和 M,使得对一切xk ek,有k 1Mx1n22kMxk 1推论 1：设在有限维线性空间上定义了两个范数x 和x 1 ,那么必存在常数 M 和M ,使得M xx 1M

13、x拓扑同构的定义 ：设R1, x 1和R2, x 2是两个赋范线性空间；假如存在从R1到R2 上的线性映射和正数c1, c2 ,使得对一切xR1 ,有xxcx121c22就称 R1, x 1和R2, x 2是两个赋范线性空间是拓扑同构推论 2：任何有限维赋范空间都和同维数欧式空间拓扑同构,相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构；8. 度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间的区分与联系赋范线性空间肯定是度量空间, 反之不肯定成立； 度量空间根据加法和数乘运算成为线性空间, 而且度量空间中的距离假如是由范数导出的, 那么这个度量空间就是赋范线性空间；赋范线性空间与巴拿赫空间的联系与区分：完备的赋范线性空

14、间是巴拿赫空间；巴拿赫空间肯定是赋范线性空间,反之不肯定成立；巴拿赫空间肯定是度量空间,反之不肯定成立；巴拿赫空间满意度量空间的全部性质； 巴拿赫空间由范数导出距离, 而且满意加法和数乘的封闭性； 满意完备性,就要求每个柯西点列都在空间中收敛；度量空间中距离要满意三个性质：非负线性、对称性、三点不等式,因此距离d x, y 的定义是重点；赋范线性空间中范数要满意：非负性、线性性、三角不等式,距离定义为d x, yxy 且范数的定义是关键；第八章有界线性算子和连续线性泛函1. 线性算子和线性泛函1.1 线性算子和线性泛函定义设 X 和Y 是两个同为实（或复）的线性空间, D 是 X 的线性子空间

15、, T 为D到Y 中的映射,假如对任意的 x, yD 及数 ,有T xyTxTy（1）T xTx（2）就称 T 为 D 到Y 中的线性算子,其中 D 称为 T 的定义域,记为 D T , TD 称为T 的值域,记为性泛函；RT ；当值域RT 取实数（或复数）域时, T 为实（或复）线注： 1.算子：函数映射函数 , 泛函：函数映射数2. 泛函是一种特别的算子3.当（2）中 =0,即Tx0 ,即 0N T ,其中N T 表示算子 T 的零空间；NT1.2 线性算子和线性泛函的例子相像算子x Tx0, xDT设 X 是线性空间,是一给定的数,对任意 xX ,令Txx,明显 T 是 X 到 X 中的

16、线性算子；恒等算子设 X 是线性空间,对任意xX ,令1,就 Txx ；恒等算子记为 I X 或I零算子设 X 是线性空间,对任意xX ,令0 ,就 Tx0 ；零算子记为 O微分算子设 P 0,1为 0,1 区间上多项式全体,对每个xP 0,1,定义Txtd xt dt由求导运算的线性性质,可知 T 是 P0,1 到P0,1中的线性算子注： 假如任取t00,1,对任意的xP 0,1,定义f xx t0积分算子就 f 是 P0,1上的线性泛函对每一个 xC a,b ,定义Tx ttx da由积分运算的线性性质,可知 T 是C a, b 到C a, b 中的线性算子注：如令乘法算子f xbx d,

17、就 f 是C a, b 上的线性泛函；a对每一个 xC a,b ,定义易知 T 是线性算子；Tx ttxt注： 1.线性算子与有限维空间中的方阵相对应；2. 线性泛函与有限维空间中的向量（数组）相对应1.3 有界线性算子定义：设 X 和Y 是两个赋范线性空间, T 是 X 的线性子空间D T 到Y 中的线性算子,假如存在常数 c ,是对全部的 xDT ,有Txc x（3）就称 T 是 DT 到Y 中的有界线性算子；1.4 算子的范数定义： T 为赋范线性空间 X 的子空间D T 到赋范线性空间 Y 中的线性算子,称TxTsupx0xx D T 为算子 T 在DT 上的范数；注： 1. T有界T

18、2. TTxTx3. T有界2.连续映射TxTx定义 2.1设 X=（X ,d）,YY, d 是两个度量空间, T 是 X 到 Y 的一个映射；x0X假如对任何0 ,存在0 当d x, y时,有d Tx,Ty,就称 T 在x0连续；又如 T 在 X 中每一点都有连续, 就称 T 是 X 上的连续映射；如对任何0 ,存在 0 ,只要x1, x2X ,且d x1, x2 ,就有d x1, x2 成立,就称 T 在 X 上一样连续；定理 2.1设 X , d ,Y价；Y, d 是度量空间,T : XY , x0X ,就以下各命题等(1) T 在 x0 连续；（2）对于 X 中的任意点列 x n ,如

19、 xnx0 n ,就TxnTx0 n ；定理 2.2 设 X , d ,YY, d 是度量空间,T : XY ；就 T 是连续映射的充分必要条件是,对 Y 中的任一开集 M ,其原象 T开集；3. 线性算子和线性泛函的定理1M x xX ,T xM 是定理 1：设 T 为赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 中的线性算子,就 T 为有界算子T 是 X 上的连续算子；证明：如 T 有界,由（ 3）式,当 xnxn 时,由于TxnTxc xnx所以 TxnTx0 ,即TxnTxn ,因此 T 连续；反之,如 T 在 X 上连续,但 T 无界,这是在 X 中必有一列向量 x1, x2, x3 ,.,

20、使xn0, 但Txnn xn； 令 ynxnn xn, n=1,2,就ny10 n n ,所以 yn0n ,由 T 的连续性,得到TynT 00 n ,但由于 T 是线性算子,又可以得到对一切正整数 n,有TyT xnxTxn xn xn x1nnnnnnn这与Tyn0 n 冲突；所以 T 是有界算子；定理 2.设 X 是赋范线性空间, f 是 X 上线性泛函,那么 f 是 X 上连续泛函f的零空间N f 是 X 中的闭子空间；证明：设 f 是连续线性泛函, 当 xnN f ,年,2,并且 xnx n 时,由 f 的连续性,由闭集；f xlimnf xn 0 ,因此xN f ,所以N f 是反

21、之,如 N f 是闭集, 而 f 无界,就在 X 中存在一列向量xn , xn0 ,n=1,2,使得对每个 n,有f x n x,令 yxn,就 y1,xnnnn n且 f yn n ,作 znynf yn y1f y1,那么f zn0 ,因此, znN f ,然而由于yf y 1f y 10 n ,所以 zy1,nnnnnf y1 但 f y1f y11,即y1f y1N f ,这与N f 是闭集的条件冲突；因此 f 是线性有界的；注：1.设 T 是D T 上的有界线性算子, 那么 Tsup TxxD T sup Txx D T ；x1x12. 有界算子和有界算子的复合仍是有界的；4. 有界

22、线性算子的范数相像算子的范数恒等算子范数零算子范数5. 无界算子例子：微分算子Txt TI XOd xt ,如视 pdt100,1 为 C0,1的子空间,令xn tt n ,就x1,但 Txmaxnt n 1n ,所以TTxn ,即 T 是无界算子；nn0 t 1n6. 有界算子全体所成空间定理 1.当Y 是巴拿赫空间时, XY 也是巴拿赫空间；注：定义向量的乘积 xyxy , x, yX就称 X 是赋范代数,当 X 完备时, 称 X 为巴拿赫代数；共轭空间定义 1：设 X 是赋范线性空间,令称为 X 的共轭空间；X 表示 X 上连续线性泛函全体所成的空间,注： 1.l 1 的共轭空间为 l,

23、即l 1l；1. 但l个共轭空间不是l1 ；2. lp1p 的共轭空间为l q ,其中 111 ；pq定理 2.任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间；7.赋范线性空间同构定义：设 X 和Y 是两个赋范线性空间, T 是 X 到Y 中的线性算子,并且对全部 xX ,有 Txx ,就称 T 是 X 到Y 中的保距算子； 假如 T 又是映射到 Y上的,就称 T 是同构映射,此时 X 与Y 同构；8. 有界线性算子、连续线性泛函、连续映射的区分与联系有界线性算子 T 是赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 即 T 是 X 上的连续算子；假如赋范线性空间 Y 是实（或复）数域,就即 T 是 X 上的连

24、续泛函；算子是映射的一种, 就连续算子要满意是连续的映射； 泛函是一种特别的算子,即算子的值域为实（或复）数域；所以连续线性泛函也要满意是连续映射；二、学问的应用压缩映射原理的可以：1.证明隐函数存在定理2. 判定微分方程和积分方程解存在性和唯独性3. 求一些数列的极限4. 求方程的近似解5. 验证方程有实根6. 代数方程组由唯独解7. 争论解的连续性巴拿赫空间的应用： 数学分析中关于巴拿赫空间函数的凹凸性、 光滑性、可微性；有界线性算子的应用：微分方程中动力系统理论中对于回复性与极限跟踪性理论；连续线性泛函的应用： 解决实际拓扑空间网络中遇到的个动态节点的最大位移等参考文献： 1.攀枝花学院学报第 29 卷第 1 期压缩映射原理的几个应用2. 安顺学院学报第 14 卷第 1 期压缩映射原理及其应用3. Banach 空间中如干几何性质4. 延边高校学报第 33 卷第 2 期连续线性泛函的存在性及其在实际拓扑空间网络的应用