2022年洛伦兹变换详细推导.docx

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1、精品学习资源教案内容：第三节洛伦兹变换式欢迎下载精品学习资源1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论；基本要求：1. 明白洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 明白狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 懂得牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异；三、洛伦兹坐标变换的推导欢迎下载精品学习资源xxvtxxvt欢迎下载精品学习资源221v cy yz z22ttvx c1v cyyzz22ttvx c欢迎下载精品学习资源1v c或1v c欢迎下载精品学习资源据狭义相对论的两

2、个基本假设来推导洛仑兹变换式；1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设， 我们认为时间和空间都是 匀称的， 因此时空坐标间的变 换必需是线性的；对于任意大事 P 在 S 系和S 系中 的时 空坐 标x， y ， z， t、x， y， z， t ， 因 S 相对于 S 以平行于 x 轴的速度 v 作匀速运动，明显有 y= y, z= z；在 S 系 中观看 S 系的 原点 ， x=0 ； 在 S 系 中 观 察 该点， x= -vt， 即 x+ vt= 0；因此 x= x + vt；在任意的一个空间点上，可以设： x= k（ x + vt ）， k 是 比例常数；同样地可得到： x= k（ x-v

3、t） = k（ x+ -vt）依据相对性原理， 惯性系 S 系和 S系 等价， 上面两个等式的形式就应当相同（ 除正、负号） ， 所以 k= k；欢迎下载精品学习资源2. 由光速不变原理可求出常数 k设光信号在 S 系和 S系 的原点重合的瞬时从重合点沿 x 轴前进， 那么在任一瞬时 t（ 或t）， 光信号到达点在 S 系和 S系中的坐标分别是： x= ct, x= ct，就：欢迎下载精品学习资源xxc2ttk 2 xvtxvtk 2 ctvtctvt欢迎下载精品学习资源由此得到k 2tt c2kcc2xv212；v21v cxvtxxvt，22欢迎下载精品学习资源这样， 就得到1v c1v

4、c；由上面二式，消去 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1v22cttvx c得到t； 如消去 x 得到t vx c221v c， 综合以上结果，欢迎下载精品学习资源就得到洛仑兹变换，或洛仑兹反变换欢迎下载精品学习资源xxvtx2xvt2欢迎下载精品学习资源1v cy yz z2ttvx c21v cy yz z2ttvxc2欢迎下载精品学习资源1v c1v c可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果；3. 争论（ 1） 可以证明， 在洛仑兹变换下， 麦克斯韦方程组是不变的， 而牛顿力学定律就要转变； 故麦克斯韦方 程组能够用来描述高速运动的电磁现象， 而牛顿力学不适用描述高速现象， 故

5、它有肯定的适用范畴；（ 2） 当|v/c| 1 时， 洛仑兹变换就成为伽利略变换， 亦即后者是前者在低速下的极限情形；故牛顿力学仅是相对论力学的特别情形 低速极限；欢迎下载精品学习资源四、相对论速度变换公式，洛仑兹变换是大事的时空坐标在不同惯性系之间的关系， 依据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式；欢迎下载精品学习资源设物体在 S、 S系中的的速度 分别为变换式可得：ux ,uy , uzux , uy ,uz， 依据洛仑兹欢迎下载精品学习资源dxdxvdt2dx dtv dt2uxv dt2欢迎下载精品学习资源1v c1v c1v c欢迎下载精品学习资源22dtdtvdx cdt 1

6、vux c21v c 21v c 2欢迎下载精品学习资源dxuxv dtdt 1vux c欢迎下载精品学习资源dt因此：1v c 21v c 2，即：欢迎下载精品学习资源x2u uxv1vux cdydy dtdt 11vux c v c 2欢迎下载精品学习资源2因 y= y,z =z ， 有 dy= dy,dz =dz就， 即欢迎下载精品学习资源2u y1v cuy21vuxcuz；同理：2uz1v c21vuxc欢迎下载精品学习资源因此得相对论的速度变换公式：欢迎下载精品学习资源xuuxv2uy1v c2y2zu uuz1v c 2欢迎下载精品学习资源c1vux、1vux c、1vux c

7、欢迎下载精品学习资源2其逆变换为：uxuxvu2y1vux c、uy1v c221vux c、2欢迎下载精品学习资源zuuz1争论1v c2vux c；欢迎下载精品学习资源（ 1）当速度 u、v 远小于光速 c 时， 即在非相对论极限下， 相对论的速度变换公式即欢迎下载精品学习资源v转化为伽利略速度变换式 uxux；（ 2）利用速度变换公式， 可证明光速在任何惯性系中都是 c ；证明：设 S系 中观看者测得沿 x 方向传播的一光信号的光速为 c， 在 S 系中的观看者欢迎下载精品学习资源ux测得 该光信号 的速度为： 同；cv1vc c2c， 即 光信号在 S 系和 S系中都相欢迎下载精品学习

8、资源第四节狭义相对论的时空观一、一、同时的相对性1. 概念狭义相对论的时空观认为：同时是相对的；即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个大事，在另一个惯性系中不肯定是同时的；例如：在地球上不同地方同时诞生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不肯定是同时诞生的；如图设 S 系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P ；当灯发出闪光时：S 系的观看者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达A、B 两端；S 系（地面上）的观看者认为， A 与光相向运动（v、c 反向）， B 与光同向运动，所以光先到达 A 再到达 B， 不同时到达；结论：同时性与参考系有关 这就是同时的相对

9、性；假设两个大事 P1 和 P2， 在 S 系和 S 系中测得其时空坐标为：欢迎下载精品学习资源S： x1，y1，z1，t1S： x1，y1，z1，t1，x2，y2，z2，t 2，x2，y2，z2，t 2欢迎下载精品学习资源由洛伦兹变换得：欢迎下载精品学习资源t2t1vx1 c211v c，t2t2v1xc2 v c欢迎下载精品学习资源在 S 系和 S 系中测得的时间间隔为t2t1和（t2-t1 ）， 它们之间的关系为：欢迎下载精品学习资源1ttt2t1v x2xc2欢迎下载精品学习资源2211v c可见， 两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的；2. 争论欢迎下载精

10、品学习资源2（1） 在 S 系中同时发生： t2= t1， 但在不同地点发生，x2x1 ，就有：欢迎下载精品学习资源这就是同时的相对性；t2t1v x1 1xc2 v c 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（2） 在 S 系中同时发生： t2= t1， 而且在相同 地点发生，2有：x2x1 ， 就欢迎下载精品学习资源t1t2t1t2t11x2x1 v cv c20， t2t1欢迎下载精品学习资源x2x1x2x11v t2t12v c0，x2x1欢迎下载精品学习资源即在 S 系中同时同地点发生的两个大事，在 S系中 也同时同地点发生；（3） 大事的因果关系不会颠倒， 如人诞生的先后假设在

11、 S 系中， t 时刻在 x 处的质点经过t 时间后到达 xx 处， 就由：欢迎下载精品学习资源t得到2ttxv ctxv c221v ct 1u v c2xu欢迎下载精品学习资源221v c 21v c 2t由于 vc，uc， 所以 t 与 t 同号；即大事的因果关系， 相互次序不会颠倒；欢迎下载精品学习资源（4） 上述情形是相对的；同理在 S系中不 同地点同时发生的两个大事， 在 S系看来同样也是不同时的；欢迎下载精品学习资源（ 5）当 vc 时，tt ，回到牛顿力学；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源l二、长度收缩（洛伦兹收缩）假设一刚性棒 A B 静止于 S系中x2x1 ， 在

12、S 系中同时 t1t 2t 测量欢迎下载精品学习资源得 lx2x1 ；由洛伦兹坐标变换式：欢迎下载精品学习资源xx1vt11， x2x2vt22欢迎下载精品学习资源21v c得：1v c欢迎下载精品学习资源x2x1x2x1v t2t12x2x12欢迎下载精品学习资源1v c2即ll1v c1v c欢迎下载精品学习资源1. 固有长度观看者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用 l0 表示；即欢迎下载精品学习资源l2. 洛伦兹收缩（长度缩短）2l01v c欢迎下载精品学习资源2观看 者 与 被 测 物 体 有相 对 运 动 时 ， 长 度 的 测 量 值 等 于

13、 其 原 长 的欢迎下载精品学习资源1短）；v c倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩欢迎下载精品学习资源争论：2（ 1）长度缩短效应具有相对性；如在 S 系中有一静止物体，那么在 S 系中观看者将同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短， 同理有欢迎下载精品学习资源l即看人家运动着的尺子变短了；l1v c欢迎下载精品学习资源（ 2）当 v c 时， 有 ll欢迎下载精品学习资源三、时间膨胀（时间延缓）ttv xxc2欢迎下载精品学习资源t2t1由洛伦兹变换得21211v c 2， 大事 P1、P2 在 S 系欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源中的时间间隔为tt2t1 ， 大

14、事 P1、P2 在 S系中的时间间隔 为tt2t1 ；欢迎下载精品学习资源假如在 S系中两事 件同地点发生， 即x2x1 ， 就有：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源tttt2t1t欢迎下载精品学习资源2211v c1v c 2欢迎下载精品学习资源1. 固有时间（原时）的概念在某一惯性系中同一地点先后发生的两大事之间的时间间隔， 叫固有时间（ 原时） ；欢迎下载精品学习资源用0 表示，且：t2. 时间膨胀在 S 系看来：3. 争论t0；1v c 20 ， 称为时间膨胀；欢迎下载精品学习资源（ 1） 时间膨胀效应具有相对性；如在 S 系中同一地点先后发生两大事的时间间隔为t （称为原时）

15、， 就同理有欢迎下载精品学习资源2tt1v c就好象时钟变慢了， 即看人家运动着的钟变慢了；欢迎下载精品学习资源（ 2）当 v c 时， 有tt（ 3）试验已证明子 ， 介子等基本粒 子的衰变，当它们相对试验室静止和高速运动时，其寿命完全不同；欢迎下载精品学习资源例 1:在 惯性 系 S 中 ， 有 两个大事 同 时发 生， 在 xx轴上 相距欢迎下载精品学习资源1.0103 m处 ， 从 另 一 惯 性 系 S 中 观 察 到 这 两 个 事 件 相 距欢迎下载精品学习资源2.0103 m ；问由 S系测得此两大事的时间间隔为多少？欢迎下载精品学习资源解 ： 由 题 意 知 ， 在S系 中

16、，t 2t1， 即tt 2t10 ，欢迎下载精品学习资源x2x11.0103 m；而在 S系看来， 时间间隔为tt2t1， 空间间欢迎下载精品学习资源21xx2.0隔为103m；欢迎下载精品学习资源由洛伦兹坐标变换式得：欢迎下载精品学习资源xxx2x1v t 2t1x2x11欢迎下载精品学习资源211tt2v c 2t2t1t11v2x2cv c 2x1欢迎下载精品学习资源v2 x1x2c1v22x1v c 2x22欢迎下载精品学习资源1v cc21 21 2欢迎下载精品学习资源v1由（ 1） 式得tx2x1x2x1322c10311431033 c25.7710 6 s欢迎下载精品学习资源代

17、入（ 2）式得2c2:31034.31016 m欢迎下载精品学习资源例半人马星座 星是离太阳系最近的恒星，它距地球为；设有一宇宙飞船自地球来回于人马星座 星之间；如宇宙飞船的速度为0.999 c ，按地球上的时钟运算，飞船来回一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，来回一次的时间又为多少？欢迎下载精品学习资源解： 以地球上的时钟运算：ts24.3v0.99910163108欢迎下载精品学习资源2.871089a （a 为 annual 之首字母） ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2如以飞船上的时钟运算： （ 原时） ， 由于t2t1v c欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以得tt 1v c2.8710810.9992欢迎下载精品学习资源1.28107 s0.4a欢迎下载